Адваротная функцыя

З пляцоўкі Вікіпедыя
Перайсці да: рух, знайсці
Функцыя f і яе адваротная функцыя f^{-1}. Калі f(a)=3, то f^{-1}(3)=a

Адваро́тная фу́нкцыяфункцыя, якая абарачае вызначаную функцыю: калі функцыя f ад аргумента x дае значэнне y, то яе адваротная функцыя g ад y дае x, г. зн. f(x) = y, і g(y) = x. Коратка гэта можна запісаць так: g(f(x)) = x.

Функцыю, адваротную да функцыі f, звычайна абазначаюць як f −1.

Функцыя, для якой існуе адваротная функцыя, называецца абарачальнаю.

Азначэнне[правіць | правіць зыходнік]

Функцыя g:Y\to X з'яўляецца адваротнаю да функцыі f:X\to Y, калі выконваюцца наступныя тоеснасці:

  • f(g(y))=y для ўсіх y\in Y;
  • g(f(x))=x для ўсіх x\in X.

Існаванне[правіць | правіць зыходнік]

Каб знайсці адваротную функцыю, трэба развязаць ураўненне y = f(x) адносна x. Калі яно мае больш чым адзін корань, то функцыі, адваротнай да f, не існуе. Такім чынам, функцыя f(x) абарачальная на прамежку (a,b) тады і толькі тады, калі на гэтым прамежку яна ін'ектыўная.

Для непарыўнай функцыі F(y) выразіць y з ураўнення x - F(y) = 0 можна ў тым і толькі тым выпадку, калі функцыя F(y) манатонная (см. тэарэма пра няяўную функцыю). Тым не менш, непарыўную функцыю заўсёды можна абярнуць на прамежках яе манатоннасці. Напрыклад, \sqrt{x} з'яўляецца адваротнаю да x^2 на [0, +\infty), хоць на прамежку (-\infty, 0] адваротная функцыя іншая: -\sqrt{x}.

Прыклады[правіць | правіць зыходнік]

  • Калі F:\mathbb{R} \to \mathbb{R}_+,\; F(x) = a^x, дзе a>0, то F^{-1}(x) = \log_a x.
  • Калі F(x) = ax+b, \; x\in \mathbb{R}, дзе a,b\in \mathbb{R} вызначаныя пастаянныя і a \neq 0, то F^{-1}(x) = \frac{x-b}{a}.
  • Калі F(x)=x^n,x \ge 0, n\in \mathbb Z, то F^{-1}(x)=\sqrt [n] {x}.

Уласцівасці[правіць | правіць зыходнік]

  • Вобласцю вызначэння F^{-1} з'яўляецца мноства Y, а вобласцю значэнняў областью значений — мноства X.
  • Па азначэнню маем:
y = F(x) \Leftrightarrow x = F^{-1}(y)

ці

F\left(F^{-1}(y)\right) = y,\; \forall y \in Y,
F^{-1}(F(x)) = x,\; \forall x \in X,

або карацей

 F \circ F^{-1} = \mathrm{id}_Y,
 F^{-1} \circ F = \mathrm{id}_X,

дзе \circ абазначае кампазіцыю функцый, а \mathrm{id}_X, \mathrm{id}_Yтоесныя адлюстраванні на X і Y адпаведна.

  • Функцыя F з'яўляецца адваротнаю да F^{-1}:
\left(F^{-1}\right)^{-1} = F.
  • Няхай F:X \subset \mathbb{R} \to Y \subset \mathbb{R} — біекцыя. Няхай F^{-1}:Y \to X яе адваротная функцыя. Тады графікі функцый y = F(x) і y = F^{-1}(x) сіметрычныя адносна прамой y = x.

Раскладанне ў ступенны рад[правіць | правіць зыходнік]

Адваротную функцыю аналітычнай функцыі можна прадставіць у выглядзе ступеннага рада:


F^{-1}(y) = \sum_{k=0}^\infty A_k(x_0) \frac{(y-f(x_0))^k}{k!},

дзе каэфіцыенты A_k задаюцца рэкурсіўнаю (зваротнаю) формулай:


A_k(x)=\begin{cases}
A_0(x)=x, \\
A_{n+1}(x)=\frac{A_n'(x)}{F'(x)}.
\end{cases}

Гл. таксама[правіць | правіць зыходнік]