Аксіомы Пеана

Аксіомы Пеана — сістэма аксіом, якія вызначаюць шэраг натуральных лікаў.

Аксіомы Пеана дазволілі фармалізаваць арыфметыку. Пасля ўвядзення аксіом сталі магчымыя доказы асноўных уласцівасцяў натуральных і цэлых лікаў, а таксама выкарыстанне цэлых лікаў для пабудовы рацыянальных і рэчыўных лікаў.

Фармулёўкі

Слоўная

1. 1 з'яўляецца натуральным лікам;
2. Лік, наступны за натуральным, таксама з'яўляецца натуральным;
3. 1 не следуе ні за якім натуральным лікам;
4. Калі натуральны лік $a$ непасрэдна следуе як за лікам $b$, так і за лікам $c$, то $b$ і $c$ тоесныя;
5. (Аксіома індукцыі) Калі якае-небудзь прапанова даказана для 1 (база індукцыі) і калі з дапушчэння, што яно дакладна для натуральнага ліку $n$, выцякае, што яно дакладна для наступнага за $n$ натуральнага ліку (індукцыйная прапанова), то гэтая прапанова дакладна для ўсіх натуральных лікаў.

Матэматычная

Увядзем функцыю $S(x)$, якая супастаўляе ліку $x$ наступны за ім лік.

1. $1\in\mathbb{N}$;
2. $x\in\mathbb{N}\rightarrow S(x)\in\mathbb{N}$;
3. $\nexists x\in\mathbb{N}\;(S(x)=1)$;
4. $S(b)=a\rightarrow(S(c)=a\rightarrow b=c)$;
5. $P(1)\rightarrow(\forall n(P(n)\rightarrow P(S(n)))\rightarrow\forall n\in\N(P(n)))$.

Даслоўны тэкст

Тэкст аксіом Пеана, як ён прыведзены ў арыгінальным выданні Пеана.

1. «0 ёсць натуральны лік»;
2. «наступнае за натуральным лікам ёсць натуральны лік»;
3. «0 не следуе ні за якім натуральным лікам»;
4. «усякі натуральны лік следуе толькі за адным натуральным лікам»;
5. Аксіома поўнай індукцыі.

Нататка: тое, што першы элемент тут 0, а не 1, прынцыповага значэння не мае.

Гісторыя

Фармальнае азначэнне натуральных лікаў у XIX стагоддзее сфармуляваў італьянскі матэматык Джузэпэ Пеана.

Аксіомы Пеана засноўваліся на пабудовах Грасмана, хоць менавіта Пеана надаў ім сучасны выгляд.

Літаратура

• Peano, G. Arithmetices principia, nova methodo exposita. Bocca, Torino, 1889.
• Арнольд И. В. Теоретическая арифметика. М.:Учпедгиз, 1938 (змест і djvu-файл з поўным тэкстам).