Алгебраічнае лікавае поле

Алгебраі́чнае лі́кавае по́ле (ці проста лікавае поле) — гэта канечнае (і як вынік — алгебраічнае) пашырэнне поля рацыянальных лікаў $\mathbb {Q}$. Такім чынам, лікавае поле — гэта поле, якое ўтрымлівае $\mathbb {Q}$ і з’яўляецца канечнамернаю вектарнаю прастораю над ім.

Лікавыя палі і, больш агульна, алгебраічныя пашырэнні поля рацыянальных лікаў з’яўляюцца асноўным аб'ектам вывучэння алгебраічнай тэорыі лікаў.

Прыклады

• Найменшае і базавае лікавае поле — поле рацыянальных лікаў $\mathbb {Q}$.
• Гаусавы рацыянальныя лікі, якія абазначаюцца $\mathbb {Q} (i)$, — першы нетрывіяльны прыклад лікавага поля. Яго элементы — выразы віду

$a+bi,$

дзе $a$ і $b$ — рацыянальныя лікі, $i$ — уяўная адзінка. Такія выразы можна складваць і перамнажаць па звычайных правілах дзеянняў з камплекснымі лікамі, і ў кожнага ненулявога элемента існуе адваротны, як гэта відаць з роўнасці

$(a+bi)\left({\frac {a}{a^{2}+b^{2}}}-{\frac {b}{a^{2}+b^{2}}}i\right)={\frac {(a+bi)(a-bi)}{a^{2}+b^{2}}}=1.$

З гэтага вынікае, што рацыянальныя гаусавы лікі ўтвараюць поле, якое з'яўляецца двухмернаю прастораю над $\mathbb {Q}$ (г. зн. квадратычным полем).

• Больш агульна, для любога свабоднага ад квадратаў цэлага ліку $d$ $\mathbb {Q} ({\sqrt {d}})$ будзе квадратычным пашырэннем поля $\mathbb {Q}$.
• Кругавое поле $\mathbb {Q} (\zeta _{n})$ атрымліваецца дабаўленнем у $\mathbb {Q}$ прымітыўнага кораня n-й ступені з адзінкі. Поле павінна ўтрымліваць і ўсе яго ступені (г. зн. усе карані n-й ступені з адзінкі), яго размернасць над $\mathbb {Q}$ раўняецца функцыі Эйлера $\varphi (n)$.
• Рэчаісныя і камплексныя лікі маюць бесканечную ступень над рацыянальнымі, таму яны не з’яўляюцца лікавымі палямі. Гэта вынікае з незлічальнасці: любое лікавае поле з’яўляецца злічальным.

Кальцо цэлых лікавага поля

Асноўны артыкул: Цэлы алгебраічны лік

Паколькі лікавае поле з’яўляецца алгебраічным пашырэннем поля $\mathbb {Q}$, любы яго элемент з’яўляецца коранем некаторага мнагачлена з рацыянальнымі каэфіцыентамі (г. зн. з’яўляецца алгебраічным). Больш таго, кожны элемент з’яўляецца коранем мнагачлена з цэлымі каэфіцыентамі, бо можна дамножыць усе рацыянальныя каэфіцыенты на здабытак назоўнікаў. Калі ж дадзены элемент з’яўляецца коранем некаторага прыведзенага (унітарнага) мнагачлена з цэлымі каэфіцыентамі, ён называецца цэлым элементам (ці алгебраічным цэлым лікам). Не ўсе элементы лікавага поля цэлыя: напрыклад, лёгка паказаць, што цэлыя элементы поля рацыянальных лікаў $\mathbb {Q}$ — гэта звычайныя цэлыя лікі і толькі яны.

Можна даказаць, што сума і здабытак двух алгебраічных цэлых лікаў — ізноў алгебраічны цэлы лік, таму цэлыя элеманты ўтвараюць падкальцо лікавага поля $K$, якое называецца кальцом цэлых поля $K$ і абазначаецца ${\mathcal {O}}_{K}$. Поле не ўтрымлівае дзельнікаў нуля і гэтая ўласцівасць наследуецца пры пераходзе да падкальца, таму кальцо цэлых цэластнае; поле дзелей кальца ${\mathcal {O}}_{K}$ — гэта само поле $K$. Кальцо цэлых любога лікавага поля валодае наступнымі трыма ўласцівасцямі: яно цэлазамкнутае, нётэрава і аднамернае. Камутатыўнае кальцо з такімі ўласцівасцямі называецца дэдэкіндавым у гонар Рыхарда Дэдэкінда.

Раскладанне на простыя і група класаў

У адвольным дэдэкіндавым кальцы існуе адно і толькі адно раскладанне ненулявых ідэалаў у здабытак простых. Аднак не любое кальцо цэлых мае ўласцівасць фактарыяльнасці: ужо для кальца цэлых квадратычнага поля ${\mathcal {O}}_{\mathbb {Q} ({\sqrt {-5}})}=\mathbb {Z} [{\sqrt {-5}}]$ раскладанне не адзінае:

$6=2\cdot 3=(1+{\sqrt {-5}})(1-{\sqrt {-5}})$

Увёўшы на гэтым кальцы норму, можна паказаць, што гэтыя раскладанні сапраўды розныя, г.зн. адно нельга атрымаць з другога дамнажэннем на абарачальны элемент.

Ступень парушэння ўласцівасці фактарыяльнасці вымяраюць пры дапамозе групы класаў ідэалаў, гэтая група для кальца цэлых заўсёды канечная і яе парадак называюць лікам класаў.

Базісы лікавага поля

Цэлы базіс

Цэлы базіс лікавага поля F ступені n — гэта мноства

B = {b₁, …, b_n}

з n элементаў кальца цэлых поля F, такое што любы элемент кальца цэлых O_F поля F можна толькі адным спосабам запісаць як Z-лінейную камбінацыю элементаў B; г.зн. для любога x з O_F існуе адзінае раскладанне

x = m₁b₁ + … + m_nb_n,

дзе m_i — звычайныя (рацыянальныя) цэлыя лікі. У гэтым выпадку любы элемент F можна запісаць як

m₁b₁ + … + m_nb_n,

дзе m_i — рацыянальныя лікі. Пры такім базісе цэлыя элементы F вылучаюцца тою ўласцівасцю, што гэта дакладна тыя элементы, для якіх усе m_i цэлыя.

Выкарыстоўваючы такія працэдуры як лакалізацыя і эндамарфізм Фрабеніуса, можна пабудаваць такі базіс для любога лікавага поля. Его пабудова з’яўляецца ўбудаванаю функцыяй у многіх сістэмах камп'ютарнай алгебры.

Ступенны базіс

Няхай F — лікавае поле ступені n. Сярод усіх магчымых базісаў F (як Q-вектарнай прасторы), існуюць ступенныя базісы, г.зн. базісы віду

B_x = {1, x, x², …, xⁿ⁻¹}

для некаторага x ∈ F. Згодна з тэарэмаю аб прымітыўным элеменце, такі x заўсёды існуе, яго называюць прымітыўным элементам дадзенага пашырэння.

Норма і след

Асноўныя артыкулы: Норма, тэорыя палёў і След, тэорыя палёў

Алгебраічнае лікавае поле з’яўляецца канечнамернаю вектарнаю прастораю над $\mathbb {Q}$ (абазначым яе размернасць праз $n$), і дамнажэнне на адвольны элемент поля з’яўляецца лінейным пераўтварэннем гэтае прасторы. Няхай $e_{1},e_{2},\ldots e_{n}$ — які-небудзь базіс поля F, тады пераўтварэнню $x\mapsto \alpha x$ адпавядае матрыца $A=(a_{ij})$, вызначаная ўмовай

$\alpha e_{i}=\sum _{j=1}^{n}a_{ij}e_{j},\quad a_{ij}\in \mathbf {Q} .$

Элементы гэтай матрыцы залежаць ад выбару базіса, аднак ад яго не залежаць усе інварыянты матрыцы, такія як вызначнік і след. У кантэксце алгебраічных пашырэнняў, вызначнік матрыцы дамнажэння на элемент называецца нормай гэтага элемента (абазначаецца $N(x)$); след матрыцы — следам элемента (абазначаецца ${\text{Tr}}(x)$).

След элемента з’яўляецца лінейным функцыяналам на F:

${\text{Tr}}(x+y)={\text{Tr}}(x)+{\text{Tr}}(y)$ и ${\text{Tr}}(\lambda x)=\lambda {\text{Tr}}(x),\lambda \in \mathbb {Q}$.

Норма з’яўляецца мультыплікатыўнай і аднароднай функцыяй:

$N(xy)=N(x)\cdot N(y)$ и $N(\lambda x)=\lambda ^{n}N(x),\lambda \in \mathbb {Q} .$

У якасці зыходнага базіса можна выбраць цэлы базіс, дамнажэнню на цэлы алгебраічны лік (г.зн. на элемент кальца цэлых) у гэтым базісе будзе адпавядаць матрыца з цэлымі элементамі. Такім чынам, след і норма любога элемента кальца цэлых з’яўляюцца цэлымі лікамі.

Прыклад выкарыстання нормы

Хай $d$ — натуральны лік, свабодны ад квадратаў, тады $\mathbb {Q} ({\sqrt {d}})$ — квадратычнае поле (і такім чынам, лікавае поле). Выберам у гэтым полі цэлы базіс $(1,{\sqrt {d}})$ (${\sqrt {d}}$ — цэлы элемент, бо ён з’яўляецца коранем прыведзенага мнагачлена $x^{2}-d$). У гэтым базісе дамнажэнню на $a+b{\sqrt {d}}$ адпавядае матрыца

${\begin{pmatrix}a&db\\b&a\end{pmatrix}}$

Такім чынам, $N(a+b{\sqrt {d}})=a^{2}-db^{2}$. На элементах кальца $\mathbb {Z} [{\sqrt {d}}]$ гэтая норма прымае цэлыя значэнні. Норма з’яўляецца гомамарфізмам мультыплікатыўнай групы $\mathbb {Z} [{\sqrt {d}}]$ на мультыплікатыўную групу $\mathbb {Z}$, таму норма абарачальных элементаў кальца можа быць роўная толькі $1$ або $-1$. Для таго, каб рашыць ураўненне Пеля $a^{2}-db^{2}=1$, дастаткова знайсці ўсе абарачальныя элементы кальца цэлых (так званыя адзінкі кальца) і вылучыць сярод іх тыя, што маюць норму $1$. Згодна з тэарэмай Дзірыхле аб адзінках, усе абарачальныя элементы дадзенага кальца з’яўляюцца ступенямі аднаго элемента (з дакладнасцю да множання на $-1$), таму для знаходжання ўсіх рашэнняў ураўнення Пеля дастаткова знайсці адно фундаментальнае рашэнне.

Гл. таксама

• Тэорыя Кумера

Літаратура

• Х. Кох. Алгебраическая теория чисел. — М.: ВИНИТИ, 1990. — Т. 62. — 301 с. — (Итоги науки и техники. Серия «Современные проблемы математики. Фундаментальные направления».).
• Чеботарев Н.Г. Основы теории Галуа. Часть 2. — М.: Едиториал УРСС, 2004.
• Вейль Г. Алгебраическая теория чисел. Пер. с англ.. — М.: Едиториал УРСС, 2011.
• Serge Lang, Algebraic Number Theory, second edition, Springer, 2000