Артаганальная група

З пляцоўкі Вікіпедыя
Перайсці да: рух, знайсці
Група, матэматыка
Rubik's cube.svg
Тэорыя груп
Гл. таксама «Фізічны партал»


Артаганальная групагрупа ўсіх лінейных пераўтварэнняў n-мернай вектарнай прасторы V над полем k, якія захоўваюць фіксаваную невыраджаную квадратычную форму Q на V (гэта значыць такіх лінейных пераўтварэнняў \varphi, што Q(\varphi(v))=Q(v) для любога v\in V).

Абазначэнні і звязаныя вызначэнні[правіць | правіць зыходнік]

  • Элементы артаганальнай групы называюцца артаганальнымі (адносна Q) пераўтварэннямі V, а таксама аўтамарфізмамі формы Q (дакладней, аўтамарфізмамі прасторы V адносна формы Q).
  • Абазначаецца O_n, O_n(k), O_n(Q) і т. п. Калі квадратычная форма не абазначана відавочна, то маецца на ўвазе форма, якая задаецца сумай квадратаў каардынат, г. зн. якая выражаецца адзінкавай матрыцай.
  • Над полем рэчаісных лікаў, артаганальная група незнакавызначай формы з сігнатурай (l плюсаў, m мінусаў) дзе n = l + m, абазначаецца O(l,m.

Уласцівасці[правіць | правіць зыходнік]

  • F(u,\;v)=Q(u+v)-Q(u)-Q(v).
Тады артаганальная група складаецца ў дакладнасці з тых лінейных пераўтварэнняў прасторы V, якія захоўваюць F, і абазначаецца праз O_n(k,\;F) або (калі ясна аб якім полі k і форме F ідзе гаворка) проста праз O_n.
  • Калі B — матрыца формы F ў нейкім базісе прасторы V, то артаганальная група можа быць атаясамлена з групай ўсіх такіх матрыц A з каэфіцыентамі ў k, што
  • A^TBA=B.
    У прыватнасці, калі базіс такі, што Q з'яўляецца сумай квадратаў каардынат (гэта значыць, матрыца B адзінкавая), то такія матрыцы A называюцца артаганальнымі.

Іншыя групы[правіць | правіць зыходнік]

Артаганальная група з'яўляецца падгрупай поўнай лінейнай групы GL(n). Элементы артаганальнай групы, вызначнік якіх роўны 1 (гэта ўласцівасць не залежыць ад базісу), утвараюць падгрупу — спецыяльную артаганальную групу SO(n,Q), якая абазначае гэтак жа як і артаганальную групу але з даданнем літары «S». SO(n,Q), па пабудове, з'яўляецца таксама падгрупай спецыяльнай лінейнай групы SL(n).

Гл. таксама[правіць | правіць зыходнік]