Артаганальная матрыца

З пляцоўкі Вікіпедыя
Перайсці да: рух, знайсці

Артаганальная матрыца — квадратная матрыца A з рэчаіснымі элементамі, вынік множання якой на A^{T} роўны адзінкавай матрыцы:[1]

AA^{T} = A^{T}A = E,

або, што эквівалентна, яе адваротная матрыца роўная транспанаванай матрыцы:

\! A^{-1} = A^{T}.

Уласцівасці[правіць | правіць зыходнік]

  • Стоўбцы і радкі артаганальнай матрыцы ўтвараюць сістэмы ортанарміраваных вектараў, гэта значыць:
\! \sum_{i} A_{ij} A_{ik}=\delta_{jk}
і
\! \sum_{i} A_{ji} A_{ki}=\delta_{jk}
дзе  i\in \{1,\;\ldots,\;n\}, n — парадак матрыцы, а \delta_{jk} — сімвал Кронекера.

Іншымі словамі, скалярны здабытак радка на сам сябе роўна 1, а на любы іншы радок — 0. Гэтак жа і для слупкоў.

  • Вызначнік артаганальнай матрыцы роўны  \pm 1, што вынікае з уласцівасцей вызначальнікаў:
  • \! 1 = \det(I) = \det(A^TA)=\det(A^T)\det(A)=\det(A)\det(A)=\det(A)^2=1.
  • Мноства артаганальных матрыц парадку n над полем k ўтварае групу па множанню, так званую артаганальную групу, якая пазначаецца  O_n(k) або  O(n,\;k) (калі k апускаецца, то мяркуецца  k=\R).
  • Артаганальнай матрыцы адпавядаюць лінейным аператарам, якая пераводзiць ортанарміраванны базіс лінейнай прасторы ў ортанарміраваны.
  • Любая рэчаісная артаганальная матрыца падобная блокава-дыяганальнай матрыцы з блокамі выгляду
 (\pm 1) и \begin{pmatrix}\ \ \ \cos\varphi&\sin\varphi\\-\sin\varphi&\cos\varphi\end{pmatrix}.

Прыклады[правіць | правіць зыходнік]

  • 
\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & -1 \\
\end{pmatrix}

Гл. таксама[правіць | правіць зыходнік]

Заўвагі[правіць | правіць зыходнік]

  1. Ильин В. А., Позняк, Э. Г. Линейная алгебра. 4-е изд. М: Наука, 1999. Стр. 158. ISBN 5-02-015235-8.