Вонкавая мера

З пляцоўкі Вікіпедыя
Перайсці да: рух, знайсці

Вонкавая мера (або знешняя мера) — адно з абагульненняў паняццяў даўжыні, плошчы і аб'ёму; з'яўляецца рэчаісназначнаю функцыяй, вызначанай на ўсіх падмноствах прасторы, якая адпавядае некаторым дадатковым умовам.

Гісторыя[правіць | правіць зыходнік]

Агульная тэорыя вонкавае меры была распрацована Канстанцінам Каратэадоры з мэтай стварыць падмурак для тэорыі вымерных мностваў і злічальна-адытыўных мер. Працы Каратэадоры па вонкавай меры знайшлі нямала прымяненняў у тэорыі вымерных мностваў. Напрыклад, вонкавая мера выкарыстоўваецца ў доказе фундаментальнай тэарэмы Каратэадоры аб працягу меры), таксама яна была выкарыстана Хаусдорфам для вызначэння метрычнага інварыянта, які абагульняе паняцце размернасці, цяпер ён называецца размернасцю Хаусдорфа.

Выпадак лікавай прамой[правіць | правіць зыходнік]

Для адвольнага падмноства E лікавай прамой можна знайсці неабмежавана многа розных сістэм, які складаюцца з канечнай ці злічальнай колькасці прамежкаў, аб'яднанне якіх утрымлівае мноства E. Назавём такія сістэмы пакрыццямі. А раз для любога пакрыцця сума даўжынь прамежкаў, якія яго ўтвараюць, — велічыня неадмоўная, то яна абмежавана знізу, і таму мноства даўжынь усіх пакрыццяў мае дакладную ніжнюю мяжу. Гэта мяжа, якая залежыць толькі ад мноства E, і называецца вонкаваю мерай:

m^*E=\inf\left\{\sum_{i}\Delta_i\right\}.

Іншы раз вонкавую меру абазначаюць як:

m^*E=\varphi(E)=|E|^*.

Аксіяматычнае азначэнне[правіць | правіць зыходнік]

Няхай X — пэўнае ўніверсальнае мноства.

Вонкавая мера на мностве X — гэта функцыя

\mu^{*}\colon 2^{X} \to [0, +\infty],

якая вызначана на ўсіх падмноствах мноства X і адпавядае наступным умовам:

  1. нуль на пустом мностве: пустое мноства мае нулявую вонкавую меру
    \mu^{*}(\varnothing) = 0;
  2. манатоннасць: для любых двух падмностваў A і B мноства X
     A \subseteq B \Rightarrow \mu^{*}(A) \leqslant \mu^{*}(B);
  3. злічальная паўадытыўнасць: для любой паслядоўнасці \{A_n\} падмностваў мноства X справядліва няроўнасць:
    \mu^{*}\left(\bigcup_{n = 1}^{\infty}A_n\right) \leqslant \sum_{n = 1}^{\infty}\mu^{*}(A_n).

Пашырэнне мер (канструктыўнае азначэнне)[правіць | правіць зыходнік]

Няхай \mu — мера, вызначаная на некаторым колцы K падмностваў мноства X. Справядліва наступная тэарэма:

Няхай функцыя \mu^{*} вызначана на мностве 2^X з дапамогай правіла:

  1. калі існуе хоць адно злічальнае пакрыццё мноства A\subseteq X элементамі з колца K, то
    \mu^{*}(A) := \inf\left\{ \sum_{n = 1}^{\infty}\mu(A_{n}) : A_n \in K, \ n \ge 1, \ A \subseteq \bigcup_{n = 1}^{\infty} A_n \right\},
  2. у адваротным выпадку
    \mu^{*}(A) := +\infty.

Тады \mu^{*} з'яўляецца вонкавай мерай на X, а на колцы K супадае з мерай \mu.

Часта гэту тэарэму прымаюць у якасці азначэння вонкавай меры. Пры гэтым аксіёмы вонкавай меры (а іменна, нуль на пустом мностве, манатоннасць і злічальная паўадытыўнасць) выводзяцца з аксіём звычайнай меры як уласцівасці (тэарэмы).

Уласцівасці вонкавай меры[правіць | правіць зыходнік]

  • Для любога падмноства A і любой паслядоўнасці \{A_n\} падмностваў мноства X
     A \subseteq \bigcup_{n = 1}^{\infty}A_n \Rightarrow \mu^{*}(A) \leqslant \sum_{n = 1}^{\infty}\mu^{*}(A_n).

Доказ: з аксіём манатоннасці і злічальнай адытыўнасці маем:

 A \subseteq \bigcup_{n = 1}^{\infty}A_n \Rightarrow \mu^{*}(A) \leqslant \mu^{*}\left(\bigcup_{n = 1}^{\infty}A_n\right) \leqslant \sum_{n = 1}^{\infty}\mu^{*}(A_n).

μ*-вымерныя мноствы[правіць | правіць зыходнік]

Дапаўненне мноства E ў X абазначым як E':

E' = X\setminus E.

Няхай \mu^{*} — некаторая вонкавая мера, вызначаная на мностве X.

Мноства E \subset X называецца \mu^{*}-вымерным, калі для любога A \subset X справядліва роўнасць:

 \mu^{*}(A) = \mu^{*}(A \cap E) + \mu^{*}(A \cap E').

Гл. таксама[правіць | правіць зыходнік]

Літаратура[правіць | правіць зыходнік]

  • Халмош П.Р. Теория меры. М.: Изд-во иностр. лит., 1953
  • Дороговцев А.Я. Элементы общей теории меры и интеграла. Киев, 1989