Вызначнік, алгебра

З пляцоўкі Вікіпедыя
Перайсці да: рух, знайсці

Вызначнік[1] (або дэтэрмінант) матрыцы − адмысловая функцыя ад каэфіцыентаў квадратнай матрыцы (мнагачлен ад n2 зменных), якая раўняецца нулю, калі і толькі калі матрыца выраджаная. Вызначнік як функцыя ад слупкоў (радкоў) матрыцы валодае шэрагам адметных уласцівасцей, сярод якіх лінейнасць па кожным з аргументаў і косасіметрычнасць (перастаноўка суседніх аргументаў мяняе знак функцыі).

Вызначнік выкарыстоўваецца пры развязанні сістэм лінейных алгебраічных ураўненняў, пры вылічэнні аб'ёмаў (плошчаў, мер), пры замене каардынат і г.д.

Строгае азначэнне[правіць | правіць зыходнік]

Напрамую праз каэфіцыенты матрыцы[правіць | правіць зыходнік]

Няхай


A = \begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n}\\
a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n}\\
\dots & \dots & \dots & \dots\\
a_{n1} & a_{n2} & \dots & a_{nn}
\end{pmatrix}.

Вызначнік n × n-матрыцы A − гэта мнагачлен ад яе каэфіцыентаў, роўны:

\det A = \sum_{\sigma \in S_n} \operatorname{sgn}(\sigma) a_{1, \sigma(1)} a_{2, \sigma(2)} \dots a_{n, \sigma(n)},

дзе складанне адбываецца па ўсіх перастаноўках σ мноства {1,...,n} , sgn(σ) − знак перастаноўкі σ, роўны +1, калі σ цотная, і роўны -1, калі σ няцотная.

Праз адметныя ўласцівасці[правіць | правіць зыходнік]

Няхай


A = \begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n}\\
a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n}\\
\dots & \dots & \dots & \dots\\
a_{n1} & a_{n2} & \dots & a_{nn}
\end{pmatrix}

матрыца, каэфіцыенты aij якой належаць колцу R, у якім аперацыя множання перастаўляльная і спалучальная, і, акрамя таго, існуе адзінка.

Абазначым праз ai i-ты слупок матрыцы A:

a_i = \begin{pmatrix}
a_{i1}\\ a_{i2}\\ \dots\\ a_{in}
\end{pmatrix}.

Вызначнікам называецца функцыя ад матрыцы A, якая прымае значэнні з колца R і задавальняе наступныя ўмовы:

  1. Вызначнік адзінкавай матрыцы (на дыяганалі якой стаяць адзінкі, на астатніх месцах − нулі) роўны адзінцы:
    \det E = 1
  2. Вызначнік як функцыя ад n слупкоў матрыцы лінейны па кожным сваім асобным аргуменце (слупку):
    \det \begin{bmatrix} a_1 & \dots & \lambda a'_j + \mu a''_j & \dots & a_n \end{bmatrix} =
\lambda \det \begin{bmatrix} a_1 & \dots & a'_j & \dots & a_n \end{bmatrix} \ + \ 
\mu \det \begin{bmatrix} a_1 & \dots & a''_j & \dots & a_n \end{bmatrix}
  3. Вызначнік як функцыя ад n слупкоў матрыцы косасіметрычны (г.зн. мяняе знак на процілеглы пры перастаноўцы двух суседніх слупкоў):
    \det\begin{bmatrix} a_1 & \dots & a_j & a_{j+1} & \dots & a_n \end{bmatrix} = -\det\begin{bmatrix} a_1 & \dots & a_{j+1} & a_j & \dots & a_n \end{bmatrix}

Уласцівасці[правіць | правіць зыходнік]

  • Вызначнік адзінкавай матрыцы роўны адзінцы:
    \det E = 1
  • Вызначнік здабытку матрыц раўняецца здабытку вызначнікаў гэтых матрыц:
    \det (AB) = \det (A) \cdot \det (B)
  • Калі матрыца A трохвугольная (г.зн. для верхняй трохвугольнай матрыцы: aij = 0 пры i > j; для ніжняй трохвугольнай матрыцы: aij = 0 пры i < j), то яе вызначнік роўны здабытку яе дыяганальных элементаў:
    \det A = a_{11} a_{22} \dots a_{nn}.

Вызначнікі малых парадкаў[правіць | правіць зыходнік]

Для матрыцы першага парадку вызначнік роўны адзінаму элементу гэтай матрыцы:

\Delta=\begin{vmatrix} a_{11}\end{vmatrix} = a_{11}

Для матрыцы 2 × 2 вызначнік роўны

\Delta=\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix}=a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}

Для матрыцы n × n вызначнік можна вылічыць праз вызначнікі меншых парадкаў з дапамогай зваротнага стасунку (вядомага як раскаданне па першым радку):

\Delta=\sum_{j=1}^n (-1)^{1+j} a_{1j} M_{1j},

дзе  M_{1j}дадатковы мінор элемента a_{1j}.

Заўвага: каб атрымаць дадатковы мінор Mij элемента aij, трэба закрэсліць i-ты радок і j-ты слупок (на перасячэнні якіх знаходзіцца гэты элемент); тое, што застанецца, і будзе дадатковым мінорам.

Адсюль вынікае, што вызначнік матрыцы 3 × 3 раўняецца:

\Delta = 
\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} =
a_{11}\begin{vmatrix}    a_{22} & a_{23} \\  a_{32} & a_{33} \end{vmatrix}-a_{12}\begin{vmatrix}    a_{21} & a_{23} \\  a_{31} & a_{33} \end{vmatrix}+a_{13}\begin{vmatrix}    a_{21} & a_{22} \\  a_{31} & a_{32} \end{vmatrix} =
= a_{11}a_{22}a_{33} - a_{11}a_{23}a_{32}  - a_{12}a_{21}a_{33}+ a_{12}a_{23}a_{31} + a_{13}a_{21}a_{32} - a_{13}a_{22}a_{31}

Зноскі

  1. Матэматычная энцыклапедыя / Гал. рэд. В.Бернік — Мінск: Тэхналогія, 2001.

Крыніцы[правіць | правіць зыходнік]

  • Винберг Э.Б. Курс алгебры — Москва: Факториал Пресс, 2002.