Вытворная функцыі

З пляцоўкі Вікіпедыя
Перайсці да: рух, знайсці
У кожным пункце вытворная функцыі \scriptstyle f(x)=1 + x\sin(x^2) роўная тангенсу вугла нахілу датычнай да графіка функцыі. Прамая на рысунку з'яўляецца датычнай да сіняй крывой; яе нахіл роўны значэнню вытворнай у адпаведным пункце. Там дзе вытворная дадатная, прамая становіцца зялёнаю, а дзе вытворная адмоўная, там прамая чырвоная. Калі ж вытворная раўняецца нулю, прамая чорная.

Вытво́рная фу́нкцыі — асноўнае паняцце дыферэнцыяльнага злічэння, якое характарызуе хуткасць змянення функцыі пры змяненні яе аргумента. Вызначаецца як граніца дзелі прыросту функцыі на прырост яе аргумента пры імкненні прыросту аргумента да нуля, калі такая граніца існуе.

Функцыю, якая мае канечную вытворную на нейкім мностве, называюць дыферэнцава́льнай на гэтым мностве.

Працэс знаходжання вытворнай называецца дыферэнцава́ннем.

Азначэнне[правіць | правіць зыходнік]

Скорасць змянення як гранічнае значэнне
Рысунак 1. Датычная ў пункце (x, f(x))
Рысунак 1. Датычная ў пункце (x, f(x))
Рысунак 2. Сякучая да крывой y = f(x), вызначаная пунктамі (x, f(x)) і (x+h, f(x+h))
Рысунак 2. Сякучая да крывой y = f(x), вызначаная пунктамі (x, f(x)) і (x+h, f(x+h))
Рысунак 3. Датычная як граніца сякучых
Рысунак 3. Датычная як граніца сякучых

Няхай у некаторым наваколлі U(x_0)\subset \R пункта x_0 \in \R вызначана функцыя f:U(x_0) \to \R.

Вытво́рнаю функцыі f у пункце x_0 называецца граніца

f'(x_0) := \lim\limits_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0},

калі яна існуе і канечная.

Вытворную функцыі y=f(x) у пункце x_0 звычайна абазначаюць адным з наступных спосабаў

f'(x_0), \quad D f(x_0), \quad \frac{df(x_0)}{dx}, або \dot{y}(x_0).

Падрабязней пра ўжыванне кожнага са спосабаў гл. раздзел #Абазначэнні вытворнай.

Заўвага: Вытворная f'(x_0) функцыі f у пункце x_0 па азначэнні ёсць граніцаю, а таму можа існаваць або не, і быць канечнай ці бесканечнай.

Спалучаныя з азначэннем паняцці[правіць | правіць зыходнік]

  • Назавём \Delta x = x - x_0 прыро́стам аргуме́нта функцыі, а \Delta y = f(x_0+\Delta x) - f(x_0) прыро́стам значэ́ння функцыі ў пункце x_0. Тады
    f'(x_0) = \lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}.
  • Няхай функцыя f:(a,b) \to \R мае канечную вытворную ў кожным пункце x_0 \in (a,b). Тады вызначана вытворная функцыя
    f':(a,b) \to \R.
  • Калі вытворная функцыя сама з'яўляецца непарыўнай, то функцыю f называюць непары́ўна дыферэнцава́льнай і пішуць: f \in C^{(1)}\bigl((a,b)\bigr).

Дыферэнцавальнасць[правіць | правіць зыходнік]

Функцыя адной зменнай f(x) называецца дыферэнцава́льнай у пункце x0, калі існуе канечны лік A, такі што ў некаторым наваколлі U(x0) пункта x0 справядліва роўнасць

f(x) = f(x_0) + A (x-x_0) + o(x-x_0) пры x \to x_0,

дзе o(x-x0) ёсць бесканечна малая велічыня пры xx0.

Тэарэма

Функцыя адной зменнай f(x) з'яўляецца дыферэнцавальнай у пункце x_0, калі і толькі калі яе вытворная f'(x_0) ў гэтым пункце існуе і канечная. Пры гэтым спраўджваецца роўнасць
A = f'(x_0).

Заўвага: для функцыі адной зменнай існаванне канечнай вытворнай і дыферэнцавальнасць функцыі ў пункце раўназначныя між сабою. Аднак у выпадку функцый некалькіх зменных гэта не так: з дыферэнцавальнасці функцыі ў пункце вынікае існаванне частковых вытворных, але не наадварот (гэта значыць, з існавання частковых вытворных у пункце, увогуле кажучы, не вынікае дыферэнцавальнасць функцыі).

Вытворныя вышэйшых парадкаў[правіць | правіць зыходнік]

Вытворныя вышэйшых парадкаў вызначаюцца зваротным чынам праз вытворныя ніжэйшых парадкаў. А іменна, прымаем па азначэнні, што вытворная нулявога парадку — гэта сама функцыя:

f^{(0)}(x_0) := f(x_0).

Калі функцыя f дыферэнцавальная ў x_0, то вытворная першага парадку вызначаецца як

f^{(1)}(x_0) := f'(x_0).

Няхай цяпер вытворная n-га парадку f^{(n)} вызначана ў некаторым наваколлі кропкі x_0 і дыферэнцавальная. Тады (n+1)-ая вытворная вызначаецца як вытворная n-ай вытворнай:

f^{(n+1)}(x_0) := \left(f^{(n)}\right)'(x_0).

Вытворныя вышэйшых парадкаў абазначаюцца адным з наступных спосабаў:

f^{(n)}(x_0), \quad D^n f(x_0), або \frac{d^nf(x_0)}{dx^n}.

Падрабязней пра абазначэнні гл. раздзел #Абазначэнні вытворнай.

Абазначэнні вытворнай[правіць | правіць зыходнік]

Лейбніцавы абазначэнні[правіць | правіць зыходнік]

Абазначэнні, уведзеныя Готфрыдам Лейбніцам, былі аднымі з першых. Яны і дагэтуль шырока ўжываюцца ў выпадку, калі ўраўненне y = f(x) разглядаецца як функцыянальная залежнасць паміж залежнай і незалежнай зменнымі. Першая вытворная абазначаецца як

\frac{dy}{dx},\quad\frac{d f}{dx}(x), або \frac{d}{dx}f(x),

Калісь такі запіс разглядалі як дзель двух бесканечна малы́х.

Вытворную n-га парадку функцыі y = f(x) (па зменнай x) запісваюць як

\frac{d^ny}{dx^n}, \quad\frac{d^n f}{dx^n}(x), або \frac{d^n}{dx^n}f(x).

Па сутнасці, такія абазначэнні — скарачэнне для кратнага прымянення аператара вытворнай. Напрыклад,

\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx}\right).

У Лейбніцавых абазначэннях вытворную функцыі y у пункце x = a можна запісаць двума шляхамі:

\left.\frac{dy}{dx}\right|_{x=a} = \frac{dy}{dx}(a).

Абазначэнні Лейбніца дазваляюць пазначаць зменную дыферэнцавання (у назоўніку «дробу»). Гэта асабліва зручна для частковых вытворных. Таксама такія пазначэнні дапамагаюць запомніць правіла цэпа[1]:

\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}.

Лагранжавы абазначэнні[правіць | правіць зыходнік]

Гэтыя абазначэнні былі ўведзены Жазэфам-Луі Лагранжам, і з'яўляюцца аднымі з самых распаўсюджаных сучасных абазначэнняў дыферэнцавання. У гэтых абазначэннях вытворную функцыі f(x) запісваюць як f′(x) ці проста f, выкарыстоўваючы сімвал штрыха. Таму такія абазначэнні часам называюць штрыхавымі[2]. Гэткім жа чынам пазначаюць другую і трэцюю вытворныя, а менавіта:

(f')'=f'' і (f'')'=f'''.

Ужо для чацвёртай вытворнай ставіць штрыхі становіцца нязручным, і ўзнікае патрэба ўдасканалення гэтых абазначэнняў. Некаторыя аўтары запісваюць парадак вытворнай рымскімі лічбамі ў верхнім індэксе, іншыя ж запісваюць парадак арабскімі лічбамі ў дужках:

f^{\mathrm{iv}} або f^{(4)}.

Апошняе абазначэнне лёгка абагульняецца на адвольны парадак вытворнай: запіс f (n) для n-ай вытворнай функцыі f найбольш ужываны, калі разглядаюць саму вытворную як функцыю (пакідаюча па-за ўвагай «імя» зменнай), тады як Лейбніцавы абазначэнні вельмі грувасткія для гэтых мэт.

Ньютанавы абазначэнні[правіць | правіць зыходнік]

Ньютанавы абазначэнні для дыферэнцавання, таксама называныя кропкавымі абазначэннямі, выкарыстоўваюць кропкі, якія размяшчаюцца над іменем функцыі і сваёю колькасцю пазначаюць парадак вытворнай. Такім чынам, калі y = f(t), тады запісы

\dot{y} і \ddot{y}

абазначаюць адпаведна першую і другую вытворныя y па зменнай t. Гэтыя абазначэнні выкарыстоўваюцца амаль выключна для пазначэння вытворных па часе, маючы на ўвазе, што незалежная зменная функцыі — гэта час (г.зн. адлюстроўвае ход часу). Такія абазначэнні шырока распаўсюджаныя ў фізіцы (асабліва ў механіцы) і галінах матэматыкі, звязаных з фізікаю, такіх як дыферэнцыяльныя ўраўненні. І хоць гэтыя абазначэнні непрыдатныя для запісу вытворных высокіх парадкаў, на практыцы ўжываюцца толькі вытворныя малых парадкаў.

Ойлеравы абазначэнні[правіць | правіць зыходнік]

Ойлеравы абазначэнні выкарыстоўваюць дыферэнцыяльны аператар D, прымяненне якога да функцыі f дае першую вытворную Df. Другая вытворная абазначаецца як D2f, а n-ая вытворная абазачаецца як Dnf.

Няхай y = f(x) — функцыя. Каб падкрэсліць зменную, па якой адбываецца дыферэнцаванне, да сімвала D далучаюць ніжні індэкс x. Тады Ойлеравы абазначэнні запісваюцца як

D_x y або D_x f(x).

Аднак звычайна, калі і так зразумела, якую зменную маюць на ўвазе, ніжні індэкс апускаюць, так, напрыклад, робяць, калі x адзіная зменная ў выразе.

Ойлеравы абазначэнні зручныя для запісу і развязання лінейных дыферэнцыяльных ураўненняў.

Геаметрычны і фізічны сэнс вытворнай[правіць | правіць зыходнік]

Тангенс вугла нахілу датычнай прамой[правіць | правіць зыходнік]

Калі функцыя f:U(x_0) \to \R мае канечную вытворную ў пункце x_0, то ў наваколлі U(x_0) яе можна прыблізіць лінейнай функцыяй

f_l(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0).

Функцыя f_l вызначае датычную да графіка f у пункце x_0. Лік f'(x_0) роўны вуглавому каэфіцыенту або тангенсу вугла нахілу датычнай прамой.

Хуткасць змянення функцыі[правіць | правіць зыходнік]

Хай s=s(t) — закон прамалінейнага руху. Тады v(t_0)=s'(t_0) ёсць імгненная хуткасць руху ў момант часу t_0. Другая вытворная a(t_0) = s''(t_0) ёсць імгненнае паскарэнне ў момант часу t_0.

Наогул, вытворная функцыі y=f(x) у пункце x_0 выражае хуткасць змянення функцыі ў пункце x_0, гэта значыць хуткасць працякання працэсу, апісанага ўраўненнем y=f(x).

Прыклады[правіць | правіць зыходнік]

  • Хай f(x) = x^2. Тады
f'(x_0) = \lim\limits_{x \to x_0}\frac{x^2 - x_0^2}{x-x_0} = \lim\limits_{x \to x_0}(x+x_0) = 2x_0.
  • Хай f(x) = |x|. Тады калі x_0 \neq 0, то
f'(x_0) = \sgn x_0,

дзе праз \sgn пазначана функцыя знака. Калі ж x_0 = 0, то f'_+(x_0) = 1,\; f'_-(x_0) = -1, і, такім чынам, f'(x_0) не існуе.

Правілы дыферэнцавання[правіць | правіць зыходнік]

Часцей за ўсё, вытворную знаходзяць не па азначэнні (г.зн. не як граніцу дзелі прыростаў), а з дапамогай правіл дыферэнцавання і табліцы вытворных найпрасцейшых элементарных функцый. Некалькі такіх правіл прыведзена ніжэй.

f' = 0. \,
(\alpha f + \beta g)' = \alpha f' + \beta g' \, для любых функцый f і g і любых рэчаісных лікаў \alpha і \beta.
(fg)' = f 'g + fg' \, для любых функцый f і g.
\left(\frac{f}{g} \right)' = \frac{f'g - fg'}{g^2} для любых функцый f і g ў любых пунктах x, дзе g(x) ≠ 0.
h'(x) = f'(g(x)) \cdot g'(x).
  • Калі функцыя f — адваротная да g (гэта значыць g(f(x)) = x і f(g(y)) = y), то
g'(x) = \frac{1}{f'(g(x))}.

Уласцівасці вытворнай[правіць | правіць зыходнік]

  • Калі функцыя дасягае ў пункце ~x свайго найбольшага (або найменшага) значэння і дыферэнцавальная ў гэтым пункце, то ~f'(x)=0 (гэта сцвярджэнне яшчэ называюць лемай Ферма).

Дыферэнцавальнасць і непарыўнасць[правіць | правіць зыходнік]

  • Функцыя, дыферэнцавальная ў пункце, непарыўная ў ім. Аднак з непарыўнасці дыферэнцавальнасць не вынікае.
  • Калі функцыя дыферэнцавальная на прамежку (a,b), то яна і непарыўная на гэтым прамежку.

Гл. таксама[правіць | правіць зыходнік]

Зноскі

  1. Пры пабудове матэматычнага аналізу на аснове паняцця граніцы, сімвал du розныя аўтары разглядаюць па-рознаму. Некаторыя аўтары не надзяляюць ніякім сэнсам сімвал du сам па сабе, і разглядаюць яго толькі як частку складанага сімвала du/dx. Іншыя ж вызначаюць dx як незалежную зменную, а сімвал du — як du = f′(xdx. У нестандартным аналізе du вызначаецца як бесканечна малая велічыня. Яе таксама вытлумачваюць як вонкавую вытворную функцыі u. Падрабязней гл. дыферэнцыял (бесканечна малая).
  2. The Notation of Differentiation. MIT (1998). Праверана 24 кастрычніка 2012.

Літаратура[правіць | правіць зыходнік]

  • Воднев В.Т., Наумович А.Ф., Наумович Н.Ф. Основные математические формулы / Под ред. Богданова Ю.С. — Минск: Вышэйшая школа, 1980.

Спасылкі[правіць | правіць зыходнік]