Вытворная функцыі

У кожным пункце вытворная функцыі $\scriptstyle f(x)=1 + x\sin(x^2)$ роўная тангенсу вугла нахілу датычнай да графіка функцыі. Прамая на рысунку ёсць датычнай да сіняй крывой; яе нахіл роўны значэнню вытворнай у адпаведным пункце. Там дзе вытворная дадатная, прамая становіцца зялёнаю, а дзе вытворная адмоўная, там прамая чырвоная. Калі ж вытворная раўняецца нулю, прамая чорная.

Вытво́рная фу́нкцыі — асноўнае паняцце дыферэнцыяльнага злічэння, якое характарызуе хуткасць змянення функцыі пры змяненні яе аргумента. Вызначаецца як граніца дзелі прыросту функцыі на прырост яе аргумента пры імкненні прыросту аргумента да нуля, калі такая граніца існуе.

Функцыю, якая мае концую вытворную на нейкім мностве, называюць дыферэнцава́льнай на гэтым мностве.

Працэс знаходжання вытворнай называецца дыферэнцава́ннем.

Азначэнне

Скорасць змянення як гранічнае значэнне

Рысунак 1. Датычная ў пункце (x, f(x))

Рысунак 2. Сякучая да крывой y = f(x), вызначаная пунктамі (x, f(x)) і (x+h, f(x+h))

Рысунак 3. Датычная як граніца сякучых

Няхай у некаторым наваколлі $U(x_0)\subset \R$ пункта $x_0 \in \R$ вызначана функцыя $f:U(x_0) \to \R.$

Вытво́рнаю функцыі $f$ у пункце $x_0$ называецца граніца

$f'(x_0) := \lim\limits_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0},$

калі яна існуе і концая.

Вытворную функцыі $y=f(x)$ у пункце $x_0$ звычайна пазначаюць адным з наступных спосабаў

$f'(x_0), \quad D f(x_0), \quad \frac{df(x_0)}{dx},$ або $\dot{y}(x_0).$

Падрабязней пра ўжыванне кожнага са спосабаў гл. раздзел #Абазначэнні вытворнай.

Заўвага: Вытворная $f'(x_0)$ функцыі $f$ у пункце $x_0$ па азначэнні ёсць граніцаю, а таму можа існаваць або не, і быць концай або бясконцай.

Спалучаныя з азначэннем паняцці

• Назавём $\Delta x = x - x_0$ прыро́стам аргуме́нта функцыі, а $\Delta y = f(x_0+\Delta x) - f(x_0)$ прыро́стам значэ́ння функцыі ў пункце $x_0.$ Тады

  $f'(x_0) = \lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}.$

• Няхай функцыя $f:(a,b) \to \R$ мае концую вытворную ў кожным пункце $x_0 \in (a,b).$ Тады вызначана вытво́рная фу́нкцыя

  $f':(a,b) \to \R.$

• Калі вытворная функцыя сама ёсць непарыўнай, то функцыю $f$ называюць непары́ўна дыферэнцава́льнай і пішуць: $f \in C^{(1)}\bigl((a,b)\bigr).$

Дыферэнцавальнасць

Функцыя адной зменнай f(x) называецца дыферэнцава́льнай у пункце x₀, калі існуе концы лік A, такі што ў некаторым наваколлі U(x₀) пункта x₀ справядліва роўнасць

$f(x) = f(x_0) + A (x-x_0) + o(x-x_0)$ пры $x \to x_0,$

дзе o(x-x₀) ёсць бясконца малой велічынею пры x → x₀.

Тэарэма

Функцыя адной зменнай $f(x)$ ёсць дыферэнцавальнай у пункце $x_0$, калі і толькі калі яе вытворная $f'(x_0)$ ў гэтым пункце існуе і концая. Пры гэтым праўдзіцца роўнасць

$A = f'(x_0).$

Заўвага: для функцыі адной зменнай існаванне концай вытворнай і дыферэнцавальнасць функцыі ў пункце раўназначныя між сабою. Аднак у выпадку функцый некалькіх зменных гэта не так: з дыферэнцавальнасці функцыі ў пункце вынікае існаванне частковых вытворных, але не наадварот (гэта значыць, з існавання частковых вытворных у пункце, увогуле кажучы, не вынікае дыферэнцавальнасць функцыі).

Вытворныя вышэйшых парадкаў

Вытворныя вышэйшых парадкаў вызначаюцца зваротным чынам праз вытворныя ніжэйшых парадкаў. А іменна, прымаем па азначэнні, што вытворная нулявога парадку - гэта сама функцыя:

$f^{(0)}(x_0) := f(x_0).$

Калі функцыя $f$ дыферэнцавальная ў $x_0$, то вытворная першага парадку вызначаецца стасункам

$f^{(1)}(x_0) := f'(x_0).$

Няхай цяпер вытворная n-га парадку $f^{(n)}$ вызначана ў некаторым наваколлі кропкі $x_0$ і дыферэнцавальная. Тады (n+1)-ая вытворная вызначаецца як вытворная n-ай вытворнай:

$f^{(n+1)}(x_0) := \left(f^{(n)}\right)'(x_0).$

Вытворныя вышэйшых парадкаў пазначаюцца адным з наступных спосабаў:

$f^{(n)}(x_0), \quad D^n f(x_0),$ або $\frac{d^nf(x_0)}{dx^n}.$

Падрабязней пра абазначэнні гл. раздзел #Абазначэнні вытворнай.

Абазначэнні вытворнай

Ляйбніцавы абазначэнні

Абазначэнні, уведзеныя Готфрыдам Ляйбніцам, былі аднымі з першых. Яны і дагэтуль шырока ўжываюцца ў выпадку, калі раўнанне y = f(x) разглядаецца як функцыянальная залежнасць паміж залежнай і незалежнай зменнымі. Першая вытворная пазначаецца як

$\frac{dy}{dx},\quad\frac{d f}{dx}(x),$ або $\frac{d}{dx}f(x),$

Калісь такі запіс разглядалі як дзель двух бясконца малы́х.

Вытворную n-га парадку функцыі y = f(x) (па зменнай x) запісваюць як

$\frac{d^ny}{dx^n}, \quad\frac{d^n f}{dx^n}(x),$ або $\frac{d^n}{dx^n}f(x).$

Па сутнасці, гэтыя абазначэнні ёсць скарачэннем для кратнага прымянення аператара вытворнай. Напрыклад,

$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx}\right).$

У Ляйбніцавых абазначэннях вытворную функцыі y у пункце x = a можна запісаць двума шляхамі:

$\left.\frac{dy}{dx}\right|_{x=a} = \frac{dy}{dx}(a).$

Абазначэнні Ляйбніца дазваляюць пазначаць зменную дыферэнцавання (у назоўніку "дробу"). Гэта асабліва зручна для частковых вытворных. Таксама такія пазначэнні дапамагаюць запомніць правіла цэ́па:

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}.$

Лагранжавы абазначэнні

Гэтыя абазначэнні былі ўведзены Жазэ́фам-Луі́ Лагра́нжам, і з'яўляюцца аднымі з самых распаўсюджаных сучасных абазначэнняў дыферэнцавання. У гэтых абазначэннях вытворную функцыі f(x) запісваюць як f′(x) ці проста f′, выкарыстоўваючы сімвал штрыха. Таму такія абазначэнні часам называюць штрыхавымі. Гэткім жа чынам пазначаюць другую і трэцюю вытворныя, а менавіта:

$(f')'=f''$ і $(f'')'=f'''.$

Ужо для чацвёртай вытворнай ставіць штрыхі становіцца нязручным, і ўзніквае патрэба ўдасканалення гэтых абазначэнняў. Некаторыя аўтары запісваюць парадак вытворнай рымскімі лічбамі ў верхнім індэксе, іншыя ж запісваюць парадак арабскімі лічбамі ў дужках:

$f^{\mathrm{iv}}$ або $f^{(4)}.$

Апошняе абазначэнне лёгка абагульняецца на адвольны парадак вытворнай: запіс f ⁽ⁿ⁾ для n-ай вытворнай функцыі f найболей ужываны, калі разглядаюць саму вытворную як функцыю (пакідаюча па-за ўвагай "імя" зменнай), тады як Ляйбніцавы абазнчэнні вельмі грувасткія для гэтых мэт.

Ньютанавы абазначэнні

Ньютанавы абазначэнні для дыферэнцавання, таксама называныя кропкавымі абазначэннямі, выкарыстоўваюць кропкі, якія змяшчаюцца над іменем функцыі і сваёю колькасцю пазначаюць парадак вытворнай. Такім чынам, калі y = f(t), тады запісы

$\dot{y}$ і $\ddot{y}$

абазначаюць адпаведна першую і другую вытворныя y па зменнай t. Гэтыя абазначэнні выкарыстоўваюцца амаль выключна для пазначэння вытворных па часе, маючы на ўвазе, што незалежная зменная функцыі ёсць часам (г.зн. адлюстроўвае ход часу). Такія пазначэнні дужа распаўсюджаныя ў фізіцы (асабліва ў механіцы) і галінах матэматыкі, звязаных з фізікаю, такіх як дыферэнцыяльныя раўнанні. І хоць гэтыя абазначэнні непрыдатныя для запісу вытворных высокіх парадкаў, на практыцы ўжываюцца толькі вытворныя малых парадкаў.

Ойлеравы абазначэнні

Ойлеравы абазначэнні выкарыстоўваюць дыферэнцыяльны аператар D, прымяненне якога да функцыі f дае першую вытворную Df. Другая вытворная пазначаецца як D²f, а n-ая вытворная пазачаецца як Dⁿf.

Няхай y = f(x) ёсць функцыяй. Каб падкрэсліць зменную, па якой адбываецца дыферэнцаванне, да сімвала D далучаюць ніжні індэкс x. Тады Ойлеравы пазначэнні запісваюцца як

$D_x y$ або $D_x f(x)$.

Аднак звычайна, калі і так зразумела, якую зменную маюць на ўвазе, ніжні індэкс апускаюць, так, напрыклад, робяць, калі x адзіная зменная ў выразе.

Ойлеравы абазначэнні зручныя для запісу і развязання лінейных дыферэнцыяльных раўнанняў.

Геаметрычны і фізічны сэнс вытворнай

Тангенс вугла нахілу датычнай прамой

Калі функцыя $f:U(x_0) \to \R$ мае концую вытворную ў пункце $x_0,$ то ў наваколлі $U(x_0)$ яе можна наблізіць лінейнай функцыяй

$f_l(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0).$

Функцыя $f_l$ вызначае датычную да графіка $f$ у пункце $x_0.$ Лік $f'(x_0)$ роўны вуглавому каэфіцыенту або тангенсу вугла нахілу датычнай прамой.

Хуткасць змянення функцыі

Хай $s=s(t)$ — закон прамалінейнага руху. Тады $v(t_0)=s'(t_0)$ ёсць імгненнай хуткасцю руху ў момант часу $t_0.$ Другая вытворная $a(t_0) = s''(t_0)$ ёсць імгненным паскарэннем у момант часу $t_0.$

Наогул, вытворная функцыі $y=f(x)$ у пункце $x_0$ выяўляе хуткасць змянення функцыі ў пункце $x_0$, гэта значыць хуткасць працякання працэсу, апісанага стасункам $y=f(x).$

Прыклады

• Хай $f(x) = x^2.$ Тады

$f'(x_0) = \lim\limits_{x \to x_0}\frac{x^2 - x_0^2}{x-x_0} = \lim\limits_{x \to x_0}(x+x_0) = 2x_0.$

• Хай $f(x) = |x|.$ Тады калі $x_0 \neq 0,$ то

$f'(x_0) = \sgn x_0,$

дзе праз $\sgn$ пазначана функцыя знака. Калі ж $x_0 = 0,$ то $f'_+(x_0) = 1,\; f'_-(x_0) = -1,$ і, такім чынам, $f'(x_0)$ не існуе.

Правілы дыферэнцавання

Часцей за ўсё, вытворную знаходзяць не па азначэнні (г.зн. не як граніцу дзелі прыростаў), а з дапамогай правіл дыферэнцавання і табліцы вытворных найпрасцейшых элементарных функцый. Некалькі такіх правіл прыведзены ніжэй.

• Правіла сталай: калі f(x) ёсць ста́лай функцыяй, то

$f' = 0. \,$

• Правіла сумы:

$(\alpha f + \beta g)' = \alpha f' + \beta g' \,$ для любых функцый f і g і любых рэчаісных лікаў $\alpha$ і $\beta$.

• Правіла Ляйбніца або правіла здабытку:

$(fg)' = f 'g + fg' \,$ для любых функцый f і g.

• Правіла дзелі:

$\left(\frac{f}{g} \right)' = \frac{f'g - fg'}{g^2}$ для любых функцый f і g ў любых пунктах x, дзе g(x) ≠ 0.

• Ланцуговае правіла: Няхай $h(x) = f(g(x))$ ёсць складанай функцыяй, тады

$h'(x) = f'(g(x)) \cdot g'(x).$

• Калі функцыя f ёсць адваротнаю функцыяй да g (гэта значыць g(f(x)) = x і f(g(y)) = y), то

$g'(x) = \frac{1}{f'(g(x))}.$

Уласцівасці вытворнай

• калі функцыя дасягае ў пункце $~x$ свайго найбольшага (або найменшага) значэння і дыферэнцавальная ў гэтым пункце, то $~f'(x)=0$ (гэта сцвержданне яшчэ называюць лемай Ферма).

Дыферэнцавальнасць і непарыўнасць

• Функцыя, дыферэнцавальная ў пункце, непарыўная ў ім. Аднак з непарыўнасці дыферэнцавальнасць не вынікае.
• калі функцыя дыферэнцавальная на прамежку $(a,b)$, то яна і непарыўная на гэтым прамежку.

Гл. таксама

• Табліца вытворных
• Вытворная (матэматыка)
• Дыферэнцаванне складанай функцыі
• Першаісная
• Абагульненні вытворных
• Асноўная тэарэма аналізу
• Геаметрычны сэнс вытворнай
• Эканамічны сэнс вытворнай

Літаратура

• Воднев В.Т., Наумович А.Ф., Наумович Н.Ф. Основные математические формулы / Под ред. Богданова Ю.С. — Минск: Вышэйшая школа, 1980.

• В. Г. Болтянский, Что такое дифференцирование?, «Популярные лекции по математике», Выпуск 17, Гостехиздат 1955 г., 64 стр.
• В. А. Гусев, А. Г. Мордкович «Математика»

У Сеціве

Анлайн-калькулятар вытворных