Вышыня трохвугольніка

З пляцоўкі Вікіпедыя
Перайсці да: рух, знайсці
Вышыня ў трохвугольніках розных відаў

Вышыня́ трохвугольнікаперпендыкуляр, праведзены з вяршыні трохвугольніка да прамой, якая ўтрымлівае процілеглую старану. У залежнасці ад віду трохвугольніка вышыня можа праходзіць унутры трохвугольніка (для востравугольнага трохвугольніка), супадаць з яго стараною (катэтам прамавугольнага трохвугольніка) ці праходзіць па-за трохвугольнікам (для тупавугольнага).

Уласцівасці[правіць | правіць зыходнік]

Вышыні трохвугольніка
  • Вышыні трохвугольніка перасякаюцца ў адным пункце, так званым артацэнтры. Гэта сцвярджэнне лёгка даказаць, карыстаючыся вектарнаю тоеснасцю, справядліваю для любых пунктаў A, B, C, E (нават калі яны не ляжаць у адной плоскасці):
\overrightarrow{EA}\cdot\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{EB}\cdot\overrightarrow{CA} + \overrightarrow{EC}\cdot\overrightarrow{AB} = 0

(Каб даказасць тоеснасць, трэба скарыстаць формулы

\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{EB} - \overrightarrow{EA},\,\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{EC} - \overrightarrow{EB},\,\overrightarrow{CA} = \overrightarrow{EA} - \overrightarrow{EC}

У якасці пункта E трэба ўзяць перасячэнне дзвюх вышынь трохвугольніка.)

Найменшая з вышынь трохвугольніка мае экстрэмальныя уласцівасці. Напрыклад:

  • Найменшая артаганальная праекцыя трохвугольніка на прамыя, што ляжаць у плоскасці трохвугольніка, мае даўжыню, роўную найменшай з яго вышынь.
  • Найменшы прамалінейны разрэз у плоскасці, праз які можна працягнуць незгінальную трохвугольную пласціну, павінен мець даўжыню, роўную найменшай з вышынь гэтай пласціны.
  • Пры непарыўным руху двух пунктаў па перыметры трохвугольніка насустрач адзін аднаму, найбольшая адлегласць паміж імі не можа быць меншаю за даўжыню найменшай з вышынь трохвугольніка.

Найменшая вышыня ў трохвугольніку заўсёды праходзіць унутры гэтага трохвугольніка.

Асноўныя суадносіны[правіць | правіць зыходнік]

  • h_a=b \sin \gamma=c \sin \beta,
  • h_a=\frac{2S}{a},

дзе Sплошча трохвугольніка, a — даўжыня стараны трохвугольніка, на якую апушчана вышыня.

h_c=\frac{1}{2}\sqrt{4a^2-c^2},

дзе c — аснова.

  • h=\frac{a\sqrt 3}{2} — вышыня ў роўнастароннім трохвугольніку.

Тэарэма аб вышыні прамавугольнага трохвугольніка[правіць | правіць зыходнік]

Калі вышыня даўжынёю h, праведзеная з вяршыні прамога вугла, дзеліць гіпатэнузу даўжынёю c на адрэзкі m і n, адпаведныя катэтам b і a, то верныя наступныя роўнасці:

  • h^2=nm
  • a^2=cn
  • b^2=cm
  • hc=ab

Мнеманічны верш[правіць | правіць зыходнік]

Вышыня
Падобна на ката́,
Што выгнуў спі́ну
І пад прамым вуглом
Злучыў вяршыню
І старану хвастом.

Спасылкі[правіць | правіць зыходнік]