Гаусавы цэлыя лікі

З пляцоўкі Вікіпедыя
Перайсці да: рух, знайсці
Рашотка гаусавых лікаў на камплекснай плоскасці

Гаусавы цэлыя лікі (гаусавы лікі, цэлыя камплексныя лікі) — гэта камплексныя лікі, у якіх і рэчаісная, і ўяўная частка — цэлыя лікі[1]. Упершыню ўведзены Гаусам у манаграфіі «Тэорыя біквадратычных вылікаў»[2] (1828—1832)[3]. Мноства гаусавых цэлых лікаў прынята абазначаць \mathbb{Z}[i], іх уласцівасці падобныя на ўласцівасці мноства звычайных цэлых лікаў \mathbb{Z}, але ёсць і істотныя адрозненні.

Агульныя ўласцівасці[правіць | правіць зыходнік]

Азначэнне і класіфікацыя[правіць | правіць зыходнік]

Фармальнае азначэнне:

\mathbb{Z}[i] = \{a+bi : a,b\in \mathbb{Z} \}.

Мноства \mathbb{Z}[i] утрымлівае мноства звычайных цэлых лікаў \mathbb{Z} і з'яўляецца яго пашырэннем[4]. Сума, рознасць і здабытак гаусавых лікаў з'яўляюцца гаусавымі лікамі; такая алгебраічная структура называецца колцам[5]. Увесці ў гэтым камплексным колцы ўпарадкаванасць немагчыма. Адзначым таксама, што спалучаны да гаусавага ліку a+bi ёсть таксама гаусаў лік a-bi.

Кожны лік z=a+bi задавальняе квадратнае ўраўненне:

(z-a)^2+b^2=0.

Таму гаусаў лік ёсць цэлы алгебраічны лік.

Норма[правіць | правіць зыходнік]

Норма для гаусавага ліку a + bi вызначаецца як квадрат яго модуля[6]:

N \left(a+bi \right) = a^2+b^2 = (a+bi)\overline{(a+bi)}.

Уласцівасці нормы[7]:

  • Норма роўная нулю толькі для нуля. У астатніх выпадках норма — дадатны цэлы лік.
  • Нормы спалучаных лікаў супадаюць.
  • Норма звычайнага цэлага ліку роўная яго квадрату.
  • Калі норма няцотная, то яна мае від 4n + 1, г. зн. пры дзяленні яе на 4 атрымліваецца астача 1. Ніякі гаусаў лік не можа мець норму віду 4n + 3.

Норма, як і модуль, мае ўласцівасць мультыплікатыўнасці[7]:

N(u\cdot v) = N(u)\cdot N(v).

Адсюль вынікае[8], што абарачальнымі элементамі колца (дзельнікамі адзінкі) з'яўляюцца тыя элементы, чыя норма роўная 1, г. зн. \{1; -1; i; -i \}.

Два гаусавыя лікі называюцца асацыіраванымі, калі адзін атрымліваецца з другога дамнажэннем на дзельнік адзінкі. Лёгка бачыць, што асацыіраванасць — дачыненне эквівалентнасці[8]. Прыклад: гаусавы лікі 1 + i і 1 − i асацыіраваныя, бо:

1+i = i(1-i).

У кожнага ненулявога гаусавага ліку ёсць тры асацыіраваныя з ім. Нормы ўсіх чатырох асацыіраваных паміж сабою лікаў супадаюць.

Тэорыя дзялімасці[правіць | правіць зыходнік]

Дзяленне цалкам[правіць | правіць зыходнік]

Дзяленне цалкам гаусавых лікаў вызначаецца звычайным чынам[7]:

Кажуць, што гаусаў лік u дзеліцца (цалкам) на гаусаў лік v, калі існуе трэці гаусаў лік q такі, што u=vq.

Абазначэнне: v|u.

Чытанне: адзін з трох раўназначных варыянтаў,

  • u дзеліцца на v;
  • v дзеліць u;
  • v — дзельнік u.

Ужываюцца традыцыйныя тэрміны: дзеліва ці кратнае (u), дзельнік (v) і дзель (q). Колькасць дзельнікаў гаусавага ліку заўсёды канечная, колькасць кратных бесканечная.

Прыклад: лік 2 дзеліцца цалкам на 1 + i, таму што ~2=(1+i)(1-i).

Усе гаусавы лікі дзеляцца на дзельнікі адзінкі, таму любы гаусаў лік, які не дзеліць адзінку, мае сама менш 8 дзельнікаў: 4 дзельнікі адзінкі і 4 іх здабыткі на сам лік. Гэтыя дзельнікі называюцца трывіяльнымі[9].

Дзяленне цалкам у \mathbb{Z}[i] па сваіх уласцівасцях падобнае на дзяленне цалкам цэлых лікаў. Некаторыя асаблівасці дзялімасці гаусавых лікаў[8][7]:

  • Калі гаусаў лік z дзеліцца цалкам на звычайны цэлы лік, то на гэты цэлы лік дзеляцца як рэчаісная, так і ўяўная частка z.
  • Калі u|v і v|u, то гэтыя лікі асацыіраваныя.
  • Калі u|v, то любы з 3 лікаў, асацыіраваных з v, дзеліцца на любы з 3 лікаў, асацыіраваных з u.
  • Калі u дзеліцца на v\; (u=vq), то спалучаны да дзялімага ліку \overline u дзеліцца на спалучаны да дзельніка \overline v \; (\overline u=\overline v\overline q).
  • Усе дзельнікі гаусавага ліку z з'яўляюцца таксама дзельнікамі яго нормы N(z)=z \cdot \overline{z}.
  • Норма гаусавага ліку цотная тады і толькі тады, калі гэты лік дзеліцца на ~1+i.
  • Калі v|u, то і норма дзеліва, па мультыплікатыўнасці, дзеліцца цалкам на норму дзельніка. Пры гэтым:
N\left(\frac{u}{v}\right) = \frac {N(u)} {N(v)}.

Геаметрычнае прадстаўленне дзялімасці[правіць | правіць зыходнік]

Файл:Gaussian multiples.jpg
Рашотка кратных для 1+2i

У кожнага гаусавага ліку z ёсць 4 кратныя з тою ж нормаю (і, адпаведна, тым жа модулем) — гэта сам z і асацыіраваныя з ім 3 лікі, атрыманыя паслядоўным дамнажэннем z на i:

z,\ iz,\ -z,\ -iz.

Але дамнажэнне на i геаметрычна на камплекснай плоскасці адпавядае павароту радыус-вектара ліку на 90° супраць гадзіннікавай стрэлкі, прычым модуль здабытку будзе той жа. Такім чынам, усе 4 лікі ўтвараюць роўнастаронні крыж (выдзелены чырвоным на рысунку), цэнтр і вяршыні якога кратныя z. Паслядоўна ссоўваючы гэты крыж ва ўсе бакі на адну з 4 велічынь, асацыіраваных з z, атрымліваем на ўсёй плоскасці квадратную рашотку, усе вузлы якой (вяршыні квадратаў) кратныя z. Напрыклад, на рысунку ~4-2i=-2i(1+2i). Наадварот, любое кратнае z супадае з адным з вузлоў рашоткі.

Простыя гаусавы лікі[правіць | правіць зыходнік]

Размеркаванне гаусавых простых лікаў на камплекснай плоскасці (простыя лікі выдзелены чырвоным колерам)

Просты гаусаў лік — гэта ненулявы лік, які не мае іншых дзельнікаў, акрамя трывіяльных. Лік, які не з'яўляецца простым, называецца састаўным. Пры гэтым дзельнікі адзінкі, як і натуральная адзінка, не лічацца ні простымі, ні састаўнымі лікамі[10].

Некаторыя ўласцівасці простых гаусавых лікаў:

  • Калі a+bi — просты гаусаў лік, то і спалучаны з ім гаусаў лік a-bi таксама просты.
  • Калі просты гаусаў лік з'яўляецца дзельнікам здабытку гаусавых лікаў, то ён з'яўляецца дзельнікам хоць аднаго з сумножнікаў.
  • Норма любога простага гаусавага ліку, акрамя асацыіраваных з 1+i, заўсёды няцотная і таму мае від 4n+1.

Натуральны просты лік можа не быць гаусавым простым лікам. Напрыклад, лікі 2 і 5 у \mathbb{Z}[i] ужо не простыя:

2 = (1+i)(1-i);\quad 5 = (2+i)(2-i).

Узаемна простыя лікі[правіць | правіць зыходнік]

Калі гаусаў лік w з'яўляецца дзельнікам для двух гаусавых лікаў u і v, ён называецца іх агульным дзельнікам. Мноства агульных дзельнікаў двух лікаў заўсёды ўтрымлівае 4 дзельнікі адзінкі; калі іншых агульных дзельнікаў няма, гэтыя лікі называюцца ўзаемна простымі[11].

Адзначым, што калі нормы гаусавых лікаў ~u, v узаемна простыя як цэлыя лікі, то і самі лікі ~u, v узаемна простыя як гаусавы лікі. Адваротнае несправядліва: нормы ўзаемна простых гаусавых лікаў могуць мець агульныя дзельнікі — напрыклад, 5+2i і 5-2i узаемна простыя, але іх нормы супадаюць і таму не ўзаемна простыя.

Прывядзём дзве ўласцівасці, падобныя на ўласцівасці цэлых лікаў.

  • Калі кожны з двух гаусавых лікаў u,v узаемна просты з гаусавым лікам w, то і іх здабытак uv узаемна просты[11] з w.
  • Калі z|uv і пры гэтым z узаемна просты з u, то[12] z|v.

Крытэрый Гауса[правіць | правіць зыходнік]

Гаус указаў вызначальныя прыкметы простага ліку ў \mathbb{Z}[i][13].

Гаусаў лік a+bi з'яўляецца простым тады і толькі тады, калі:

  • альбо адзін з лікаў a, b нулявы, а другі — цэлы просты лік віду \pm(4n+3);
  • альбо a, b абодва не нулі, і норма a^2+b^2 — просты натуральны лік.

Прывядзём прыклады простых гаусавых лікаў.

  • Да першай часткі крытэрыя: \pm 3;\ \pm 7;\ \pm 3i.
  • Да другой часткі крытэрыя: 1 \pm i;\ 1 \pm 2i;\ 1 \pm 4i;\ 4+5i;\ 2-3i;\ 15+22i.

Некаторыя крыніцы дзеля большае яснасці раздзяляюць другую частку крытэрыя на дзве[14]:

  1. Лікі, асацыіраваныя з 1+i. Іх норма роўная 2.
  2. Лікі, чыя норма ёсць просты натуральны лік віду 4n+1.

Сам Гаус такога раздзялення не рабіў[15].

Вынікі.

  • Ніякі просты натуральны лік віду 4n+1 не можа быць простым гаусавым лікам. Простыя натуральныя лікі віду 4n+3 з'яўляюцца і простымі гаусавымі лікамі.
  • Норма простага гаусавага ліку з'яўляецца альбо простым натуральным лікам, альбо квадратам простага натуральнага ліку[16].
  • Просты натуральны лік віду 4n+1 можна прадставіць як здабытак спалучаных простых гаусавых лікаў (a+b i)(a-b i) ці, што тое самае, як суму квадратаў a^2+b^2. Гэты факт вядомы як Тэарэма Ферма — Эйлера. Іменна пры даследаванні гэтай тэмы, а таксама тэорыі біквадратычных рэшт, Гаус з поспехам прымяніў цэлыя камплексныя лікі. Наадварот, калі просты лік можна прадставіць як суму натуральных квадратаў, то ў \mathbb{Z}[i] ён састаўны і раскладваецца на два спалучаныя гаусавыя простыя[17].
  • Кожны просты гаусаў лік з'яўляецца дзельнікам аднаго і толькі аднаго простага натуральнага ліку[17]. Гэта значыць, раскладаючы натуральныя простыя на гаусавы множнікі, можна атрымаць усе гаусавы простыя.

Раскладанне на простыя множнікі[правіць | правіць зыходнік]

У \mathbb{Z}[i] спраўджваецца аналаг асноўнай тэарэмы арыфметыкі: кожны гаусаў лік, не роўны нулю ці дзельніку адзінкі, раскладаецца на простыя множнікі, прычым гэта раскладанне адназначнае з дакладнасцю да парадку і асацыіраванасці множнікаў[1][18].

Прыклад: 5=(1+2i)(1-2i)=(2-i)(2+i). Множнікі гэтых двух, з выгляду розных, раскладанняў папарна асацыіраваныя: 1+2i=i(2-i);\ 1-2i=(-i)(2+i), так што адназначнасць не парушаецца.

Каб практычна раскласці гаусаў лік z на простыя множнікі, можно выкарыстаць прыведзеную вышэй уласцівасць: усе дзельнікі гаусавага ліку з'яўляюцца таксама дзельнікамі яго нормы. Пры гэтым норма ўтрымлівае таксама «лішнія» простыя множнікі, якія адпавядаюць спалучанаму з z ліку.

Такім чынам, пачаць трэба з раскладвання нормы ліку z на простыя натуральныя множнікі[19].

  1. Множнік 2, калі ён ёсць у раскладанні нормы, раскладваецца як (1+i)(1-i). Трэба ўключыць у выніковае раскладанне тыя з гэтых множнікаў (у адпаведнай ступені), на якія z дзеліцца цалкам.
  2. Акрамя 2, астатнія множнікі нормы — няцотныя. Множнік віду 4n+3 з'яўляецца простым гаусавым лікам, таму ён дзеліць не толькі норму N(z)=~z \overline{z}, але і сам z. Але тады гэты множнік дзеліць і спалучаны лік \overline{z}. Адсюль выцякае, што множнік віду 4n+3 уваходзіць у раскладанне нормы заўсёды ў цотнай ступені, а ў раскладанне самога z — у ступені, удвая меншай.
  3. Множнік віду 4n+1 можна раскласці на здабытак спалучаных простых гаусавых лікаў (ці, што тое самае, на суму квадратаў натуральных лікаў). І тут трэба дзяленнем высветліць, які з сумножнікаў адносіцца да зыходнага ліку, а які — да спалучанага.

Прыклад. Раскладзём на простыя множнікі 9+12i. Норма гэтага ліку роўная 225, раскладзём яе на простыя натуральныя множнікі: ~225=3^2 \cdot 5^2. Згодна з вышэйсказаным, ~5=(2-i)(2+i). Праверкаю пераконваемся, што 9+12i дзеліцца толькі на ~2+i і не дзеліцца на ~2-i. Дзель 9+12i на ~3(2+i) роўная ~2+i, таму канчаткова атрымліваем:

9+12i=3\cdot(2+i)^2.

Тэорыя параўнанняў[правіць | правіць зыходнік]

Параўнанні па гаусаваму модулю[правіць | правіць зыходнік]

Паняцце параўнання па модулю вызначаецца ў \mathbb{Z}[i] аналагічна таму, як гэта робіцца для цэлых лікаў[20]:

Няхай w — некаторы гаусаў лік. Два гаусавыя лікі u, v называюцца параўнальнымі па модулю w, калі рознасць u-v дзеліцца (цалкам) на w.

Гэта запісваецца так: ~u\equiv v\pmod w.

Уласцівасці параўнанняў у \mathbb{Z}[i] у асноўным такія ж, як у цэлых лікаў. Дачыненне параўнальнасці ёсць дачыненне эквівалентнасці, таму \mathbb{Z}[i] разбіваецца на неперасечныя класы вылікаў — кожны такі клас утрымлівае ўсе параўнальныя адзін з адным (па вызначанаму модулю) гаусавы лікі. Для класаў, як і ў выпадку цэлых лікаў, можна вызначыць складанне і множанне, так што атрымліваецца колца вылікаў па гаусаваму модулю.

Прыклад. Возьмем у якасці модуля параўнання 1+i. Тады \mathbb{Z}[i] разбіваецца на два класы вылікаў: лікі a+bi, у якіх a,b аднолькавай цотнасці, трапяць у адзін клас (які ўтрымлівае кратныя для модуля), а лікі з рознай цотнасцю a,b — у другі.

У гаусавага параўнання ёсць некаторыя асаблівасці. Напрыклад, калі для цэлых лікаў па модулю 3 існуе 3 класы вылікаў з прадстаўнікамі 0;\ 1;\ 2, то для гаусавых лікаў па таму ж модулю колькасць класаў значна большая. Іх прадстаўнікі:

0;\ 1;\ 2;\ i;\ 1 + i;\ 2 + i;\ 2i;\ 1 + 2i;\ 2 + 2i.

Як устанавіў Гаус, колца вылікаў па модулю a+bi утрымлівае ~N(a+bi)=a^2+b^2 элементаў[20]. З гэтае прычыны прыходзіцца змяняць фармулёўкі некаторых класічных тэарэм, каб яны заставаліся справядлівымі і для гаусавых лікаў. Напрыклад, малая тэарэма Ферма для цэлых лікаў сцвярджае, што (a^p-a) дзеліцца на p для любога простага p і натуральнага a. Для гаусавых лікаў гэта несправядліва, нават калі абмежавацца натуральнымі значэннямі p; напрыклад, для цэлых лікаў a^3-a заўсёды дзеліцца на 3, а для гаусавых i^3-i=-2i, і гэта значэнне на 3 не дзеліцца. Адпаведнік малой тэарэмы Ферма для гаусавых лікаў фармулюецца наступным чынам[20]:

Для простага гаусавага ліку w=a+bi і любога гаусавага ліку u
(u^{N(w)}-u) = (u^{a^2+b^2}-u) дзеліцца на w.

Праверым на тым жа прыкладзе з w=3; u=i. Атрымаем: ~(i^9-i)=0 — дзеліцца на 3.

Назавём клас вылікаў па модулю w, у якім утрымліваецца лік u, абарачальным, калі параўнанне

~ux \equiv 1\pmod w

мае рашэнне адносна x. Клас абарачальны тады і толькі тады, калі гаусавы лікі u і w узаемна простыя[20]. У прыватнасці, калі модуль параўнанняў w — гаусаў просты лік, то кожны ненулявы клас вылікаў мае адваротны элемент, а гэта значыць, што класы вылікаў па простаму модулю ў \mathbb{Z}[i], як і ў \mathbb{Z}, утвараюць поле.

Функцыя Эйлера для гаусавых лікаў[правіць | правіць зыходнік]

Увядзём аналаг функцыі Эйлера для гаусавых лікаў. Азначэнне для цэлых лікаў не падыходзіць хаця б таму, што выраз «ад 1 да n», які ўваходзіць у гэта азначэнне, не мае сэнсу для камплексных лікаў. Новае азначэнне[20]:

Функцыя Эйлера \varphi(z) для гаусавага ліку z вызначаецца як лік абарачальных класаў вылікаў па модулю z.

Вызначаная такім чынам функцыя, як і яе прататып для цэлых лікаў, мультыплікатыўная, таму дастаткова знаць яе значэнні для простых лікаў і іх натуральных ступеней. Калі z — просты гаусаў лік, то[20]:

\varphi(z)=N(z)-1; \quad \varphi(z^k)=N(z)^{k-1}(N(z)-1).

Прыклад:

\varphi(3+4i) = \varphi((2+i)^2) = N(2+i)(N(2+i)-1) = 5\cdot 4 = 20.

Цяпер можна абагульніць прыведзеную ў папярэднім раздзеле малую тэарэму Ферма на выпадак адвольнага (не абавязкова простага) модуля параўнання, г. зн. прывесці аналаг тэарэмы Эйлера[20]:

Калі гаусаў лік z узаемна просты з модулем w, то:

z^{\varphi(w)} \equiv 1 \pmod w


Геаметрычнае прадстаўленне параўнання па модулю[правіць | правіць зыходнік]

Файл:Gaussian congruent.jpg
Параўнанне па модулю 1+2i

Разгледзім для прыкладу параўнанне па модулю w=1+2i. Як сказана ў раздзеле аб геаметрычным прадстаўленні дзялімасці, можна разбіць камплексную плоскасць на квадраты так, што вузлы гэтай рашоткі (вяршыні квадратаў) прадстаўляюць усе магчымыя камплексныя кратныя ~1+2i. Тады, па азначэнню, лікі параўнальныя па модулю w, калі іх рознасць супадае з адным з вузлоў рашоткі кратных.

Кожны квадрат рашоткі атрымліваецца з любога іншага квадрата зрушэннем (пераносам) на велічыню, кратную w, таму рознасць любой кропкі квадрата і выніку яе зрушэння таксама кратная w. Адсюль вынікае канчатковы вывад[20]:

Гаусавы лікі параўнальныя па модулю w тады і толькі тады, калі яны займаюць аднолькавае адноснае становішча ў сваіх квадратах рашоткі кратных.

Напрыклад, параўнальныя ўсе цэнтры квадратаў, ці ўсе сярэдзіны іх адпаведных старон і пад.

Дзяленне з астачаю[правіць | правіць зыходнік]

Азначэнне[правіць | правіць зыходнік]

У колцы \mathbb{Z}[i] можна вызначыць дзяленне з астачаю (на любы ненулявы гаусаў лік), увёўшы патрабаванне, каб норма астачы была меншая за норму дзельніка[21]:

Любы гаусаў лік u можна раздзяліць з астачаю на любы ненулявы гаусаў лік v, г. зн. прадставіць у выглядзе:

u = vq + r,

тут дзель q і астача r — гаусавы лікі, прычым N(r)<N(v).

Нескладана паказаць, што ў якасці дзелі ад дзялення з астачаю можна ўзяць гаусаў лік, найбліжэйшы да дзелі звычайнага дзялення камплексных лікаў[22].

Неабходна адзначыць, што ўмова «норма астачы меншая за норму дзельніка» недастатковая, каб гарантаваць адназначнасць астачы ад дзялення цалкам. У \mathbb{Z}[i], у адрозненне ад \mathbb{Z}, астача неадназначная. Напрыклад, ~7+2i можна раздзяліць на ~3-i двума спосабамі:

7+2i = (3-i)(2+i)+i = (3-i)(1+i)+3.

Можна гарантаваць толькі тое, што ўсе астачы пападаюць у адзін клас вылікаў па модулю дзельніка.

Прыклад. Раздзелім з астачаю 11+10i на 4+i. Спачатку знойдзем дзель ад звычайнага камплекснага дзялення:

\frac{11+10i}{4+i} = \frac{(11+10i)(4-i)}{(4+i)(4-i)} = \frac{54+29i}{17} \approx 3{,}17+1{,}7i

Найбліжэйшы да выніку гаусаў лік ровен 3+2i, тады астача роўная ~11+10i - (4+i)(3+2i) = 1-i. У выніку атрымліваем:

11+10i = (4+i)(3+2i) + 1-i.

Найбольшы агульны дзельнік[правіць | правіць зыходнік]

Колца гаусавых лікаў з'яўляецца еўклідавым, і ў ім заўсёды можна вызначыць найбольшы агульны дзельнік, прычым адназначна з дакладнасцю да дзельнікаў адзінкі[23].

Найбольшым агульным дзельнікам НАД(u, v) для гаусавых лікаў u і v, хаця б адзін з якіх ненулявы, называецца іх агульны дзельнік d, які дзеліцца на любы іншы агульны дзельнік u і v.

Эквівалентнае азначэнне: НАД(u, v) ёсць той агульны дзельнік u, v, у якога норма найбольшая[24].

Уласцівасці НАД
  • Калі вядомы некаторы НАД, то любы з трох лікаў, асацыіраваных з ім, таксама будзе НАД. У прыватнасці, калі адзін з НАД — дзельнік адзінкі, то такімі ж будуць і астатнія тры НАД.
  • Гаусавы лікі ўзаемна простыя тады і толькі тады, калі іх НАД ёсць дзельнік адзінкі.
  • Мае месца аналаг суадносін Безу[25]:

Няхай u, v — гаусавы лікі, і хоць адзін з іх не нуль. Тады існуюць такія гаусавы лікі x, y, што спраўджваюцца суадносіны:

НАД(u, v) = xu + yv.
Іншымі словамі, найбольшы агульны дзельнік двух гаусавых лікаў можна заўсёды прадставіць як лінейную камбінацыю гэтых лікаў з гаусавымі каэфіцыентамі.
  • Вынік суадносін Безу[25]: калі гаусавы лікі u, v узаемна простыя, то ўраўненне
~xu + yv = 1

адносна x, y мае рашэнне ў \mathbb{Z}[i]. Замест 1 ў прыведзеным ураўненні можа стаяць любы іншы дзельнік адзінкі, тэарэма пры гэтым застанецца вернаю.

Алгарытм Еўкліда і практычнае вылічэнне НАД[правіць | правіць зыходнік]

Для вызначэння НАД ў \mathbb{Z}[i] зручна карыстацца алгарытмам Еўкліда, цалкам аналагічным таму, які прымяняецца для цэлых лікаў. НАД атрымліваецца ў гэтай схеме як апошняя ненулявая астатача[26]. Алгарытм Еўкліда можна таксама выкарыстоўваць для знаходжання каэфіцыентаў x, y у суадносінах Безу[20].

Прыклад 1. Знойдзем НАД для 32+9i і 4+11i.

Крок 1: 32+9i = (4+11i) (2-2i) + 2-5i (падзялілі з астачаю першы лік на другі)
Крок 2: 4+11i = (2-5i) (-2+i) + 3-i (падзялілі з астачаю папярэдні дзельнік на астачу папярэдняга кроку)
Крок 3: 2-5i = (3-i) (1-i) -i (тое ж дзеянне)
Крок 4: 3-i = (-i) (1+3i) (тое ж дзеянне, лік падзяліўся цалкам)

Адзначым, што на кожным кроку норма астачы манатонна памяншаецца. Апошняя ненулявая астача роўная -i, гэта дзельнік адзінкі, таму робім вывад, што зыходныя лікі ўзаемна простыя.

Прыклад 2. Знойдзем НАД для 11+3i і 1+8i.

Крок 1: 11+3i = (1+8i) (1-i) +2-4i
Крок 2: 1+8i = (2-4i) (-1+i) +(-1+2i)
Крок 3: 2-4i = (-1+2i) (-2) (лік падзяліўся цалкам)

Апошняя ненулявая астача роўная -1+2i, гэта і ёсць шукаемы НАД. Паслядоўна падстаўляючы замест левых частак роўнасцей правыя (пачынаючы з прадапошняе роўнасці, знізу ўверх), атрымаем суадносіны Безу для НАД:

-1+2i = (11+3i)(1-i) + (1+8i)(1+2i).

Некаторыя прыкладанні[правіць | правіць зыходнік]

Гаус выкарыстаў адкрытую ім алгебраічную структуру для глыбокага даследавання біквадратычных вылікаў. Можна назваць і іншыя вобласці паспяховага прымянення гаусавых лікаў[27]. Паказальна, што значная іх частка адносіцца да тэорыі не камплексных, а натуральных лікаў.

Раскладанне натуральных лікаў на сумы квадратаў[правіць | правіць зыходнік]

З крытэрыя Гауса выцякае, што просты натуральны лік віду 4n+1 можна прадставіць у выглядзе сумы квадратаў натуральных лікаў, прычым толькі адным спосабам. Прыклад: ~29=(2+5i)(2-5i)=2^2+5^2.

Раскладанне натуральных лікаў іншага віду не заўсёды магчымае — напрыклад, 15; 19; 27; 103 і іншыя лікі віду 4n+3 нельга прадставіць у выглядзе сумы квадратаў натуральных лікаў. Састаўныя лікі могуць таксама мець больш чым адзін спосаб раскладання, напрыклад[27]: ~65=4^2+7^2=1^2+8^2.

Агульная тэарэма[17]:

Натуральны лік можна прадставіць у выглядзе сумы двух квадратаў тады і толькі тады, калі ў яго кананічнае раскладанне ўсе простыя множнікі віду 4n+3 уваходзяць у цотных ступенях.

Прыклад: 35=5\cdot 7 нельга прадставіць як суму квадратаў, бо лік 7=4\cdot 1+3 мае няцотную ступень. Але 35\cdot 7=5\cdot 7^2 прадставіць можна: 245=7^2+14^2.

Падлік колькасці прадстаўленняў у выглядзе сумы квадратаў[правіць | правіць зыходнік]

Лік прадстаўленняў \rho(m) натуральнага ліку m у выглядзе сумы квадратаў можна вызначыць наступным чынам[28]. Раскладзём m на простыя натуральныя множнікі:

m=2^\lambda p_1^{\lambda_1} p_2^{\lambda_2} \dots  p_r^{\lambda_r} q_1^{\mu_1} q_2^{\mu_2}\dots  q_s^{\mu_s},

тут p_i — множнікі віду 4n+1, а q_j — множнікі віду 4n+3. Тады магчымыя 3 выпадкі.

  1. Калі хаця б адзін паказчык ступені \mu_j няцотны, лік m нельга прадставіць у выглядзе сумы квадратаў.
  2. Няхай усе \mu_j цотныя. Канчатковая формула залежыць ад цотнасці \lambda_i. Калі ўсе яны таксама цотныя, формула выглядае так:
\rho(m)=\frac{1}{2} [(\lambda_1+1)  (\lambda_2+1) \cdots  (\lambda_r+1) + 1 ].
  1. Калі не ўсе \lambda_i цотныя, то формула трохі адрозніваецца:
\rho(m)=\frac{1}{2} (\lambda_1+1)  (\lambda_2+1) \cdots  (\lambda_r+1).

Тэорыя піфагоравых троек[правіць | правіць зыходнік]

Піфагорава тройка — гэта адно з цэлалікавых рашэнняў ураўнення:

x^2+y^2=z^2.

Агульнае рашэнне ўраўнення залежыць ад двух цэлых параметраў m,n:

x=m^2-n^2; \; y=2mn; \; z=m^2+n^2.

Для генерацыі піфагоравых троек можна скарыстаць такі прыём. Няхай a+bi — адвольны гаусаў лік, у якога абедзве кампаненты a,b ненулявыя. Узводзячы гэты лік у квадрат, атрымаем некаторы гаусаў лік ~c+di. Тады тройка ~\{|c|; |d|; N(c+di)\} будзе піфагоравай[27].

Прыклад: для зыходнага ліку ~17+12i атрымліваем піфагораву тройку: ~(145; 408; 433).

Рашэнне дыяфантавых ураўненняў[правіць | правіць зыходнік]

Рашэнне многіх дыяфантавых ураўненняў удаецца знайсці, калі скарыстаць апарат гаусавых лікаў. Напрыклад, для ўраўнення ~x^2+y^2=2z^2 нескладаныя пераўтварэнні даюць два тыпы цэлых узаемна простых рашэнняў[29], залежных ад цэлых параметраў a,b:

  1. x=a^2-2ab-b^2, \; y=a^2+2ab-b^2;
  2. x=-a^2-2ab+b^2, \; y=a^2-2ab-b^2.

У 1850 годзе Віктор Лебег, выкарыстоўваючы гаусавы лікі, даследаваў ураўненне ~x^2+1=y^n і даказаў яго невырашальнасць у натуральных ліках. Іншымі словамі, сярод натуральных лікаў віду ~n^2+1 няма ні аднаго поўнага куба ці іншае ступені, вышэйшай за другую[27].

Нярэшаныя праблемы[правіць | правіць зыходнік]

  • Знайсці колькасць гаусавых лікаў, норма якіх меншая за вызначаную натуральную сталую R. У раўназначнай фармулёўцы гэта задача вядома як «Гаусава праблема круга» ў геаметрыі лікаў[30]. Гл. паслядоўнасць A000328 у OEIS.
  • Знайсці прамыя на камплекснай плоскасці, на якіх бесканечна многа простых гаусавых лікаў. Дзве такія прамыя відавочныя — гэта каардынатныя восі; невядома, ці існуюць іншыя[31].
  • Задача, вядомая пад назваю «Гаусаў роў»: ці можна дайсці да бесканечнасці, пераходзячы ад аднаго простага гаусавага ліку да другога скачкамі загадзя абмежаванай даўжыні? Задача пастаўлена ў 1962 годзе і дагэтуль не развязана[32].

Відазмяненні і абагульненні[правіць | правіць зыходнік]

Трохвугольная рашотка лікаў Эйзенштэйна

Яшчэ адным гістарычна важным еўклідавым колцам, падобным па ўласцівасцях на цэлыя лікі, сталі «цэлыя лікі Эйзенштэйна».

Гаусавы рацыянальныя лікі, якія абазначаюцца \mathbb Q(i), — гэта камплексныя лікі віду a+bi, дзе a, bрацыянальныя лікі. Гэта мноства замкнута адносна ўсіх 4 арыфметычных аперацый, уключаючы дзяленне, і таму з'яўляецца полем, якое пашырае колца гаусавых лікаў.

Гісторыя[правіць | правіць зыходнік]

У 1820-х гадах Карл Фрыдрых Гаус даследаваў біквадратычны закон узаемнасці, вынікам стала манаграфія «Тэорыя біквадратычных вылікаў» (1828—1832). Іменна ў гэтай працы праявілася карысць цэлых камплексных лікаў для рашэння задач тэорыі лікаў, хоць фармулёўка гэтых задач ніяк не звязана з камплекснымі лікамі. Гаус пісаў, што «натуральную крыніцу агульнай тэорыі трэба шукаць у пашырэнні вобласці арыфметыкі»[3].

Карл Фрыдрых Гаус у 1828 годзе

У кнізе Гауса было паказана, што новыя лікі па сваіх уласцівасцях шмат у чым напамінаюць звычайныя цэлыя лікі. Аўтар апісаў чатыры дзельнікі адзінкі, вызначыў дачыненне асацыіраванасці, паняцце простага ліку, даў крытэрый прастаты і даказаў аналагі асноўнай тэарэмы арыфметыкі, малой тэарэмы Ферма. Далей Гаус падрабязна разгледзеў рэшты па камплекснаму модулю, індэксы і першаісныя карані. Галоўным дасягненнем пабудаванай тэорыі стаў біквадратычны закон узаемнасці, які Гаус абяцаў даказаць у наступным томе; гэты том так і не быў апублікаваны, але ў Гаусавых рукапісах была знойдзена падрабязная схема строгага доказу[3].

Гаус выкарыстоўваў уведзеныя ім лікі таксама і ў іншых сваіх працах, напрыклад, па алгебраічных ураўненнях[33]. Ідэі Гауса былі развіты ў працах Карла Густава Якаба Якобі і Фердынанда Готхальда Эйзенштэйна. У сярэдзіне XIX стагоддзя Эйзенштэйн, Дзірыхле і Эрміт увялі і даследавалі абагульненае паняцце цэлага алгебраічнага ліку.

Колца гаусавых цэлых лікаў было адным з першых прыкладаў алгебраічнай структуры з непрывычнымі ўласцівасцямі. З часам была адкрыта вялікая колькасць структур такога тыпу, а ў канцы XIX стагоддзя зарадзілася абстрактная алгебра, якая вывучае алгебраічныя ўласцівасці асобна ад аб'ектаў-носьбітаў гэтых уласцівасцей.

Гл. таксама[правіць | правіць зыходнік]

Зноскі[правіць | правіць зыходнік]

  1. 1,0 1,1 Математическая энциклопедия, 1977
  2. Гаусс К. Ф., 1959, с. 655—754.
  3. 3,0 3,1 3,2 Математика XIX века. Том I: Математическая логика, алгебра, теория чисел, теория вероятностей, 1978, с. 88—92.
  4. Кузьмин Р. О., Фаддеев Д. К., 1939, с. 146.
  5. Айерлэнд К., Роузен М., 1987, с. 23.
  6. Окунев Л. Я., 1941, с. 27—28.
  7. 7,0 7,1 7,2 7,3 Кузьмин Р. О., Фаддеев Д. К., 1939, с. 147—149.
  8. 8,0 8,1 8,2 Окунев Л. Я., 1941, с. 29.
  9. Окунев Л. Я., 1941, с. 32.
  10. Кузьмин Р. О., Фаддеев Д. К., 1939, с. 150.
  11. 11,0 11,1 Кузьмин Р. О., Фаддеев Д. К., 1939, с. 155.
  12. Кузьмин Р. О., Фаддеев Д. К., 1939, с. 156.
  13. Окунев Л. Я., 1941, с. 41, 44.
  14. A classification of gaussian primes, с. 10.
  15. Гаусс К. Ф., 1959, с. 698.
  16. Кузьмин Р. О., Фаддеев Д. К., 1939, с. 158.
  17. 17,0 17,1 17,2 Conrad, Keith, Глава 9.
  18. Окунев Л. Я., 1941, с. 33—34.
  19. Conrad, Keith, Глава 6.
  20. 20,0 20,1 20,2 20,3 20,4 20,5 20,6 20,7 20,8 Conrad, Keith, Глава 7.
  21. Conrad, Keith, Глава 3.
  22. Окунев Л. Я., 1941, с. 30—31.
  23. Окунев Л. Я., 1941, с. 35—36.
  24. Conrad, Keith, Глава 4.
  25. 25,0 25,1 Conrad, Keith, Глава 5.
  26. Кузьмин Р. О., Фаддеев Д. К., 1939, с. 153—155.
  27. 27,0 27,1 27,2 27,3 Conrad, Keith, Глава 8.
  28. Кузьмин Р. О., Фаддеев Д. К., 1939, с. 164—166.
  29. Кузьмин Р. О., Фаддеев Д. К., 1939, с. 162—163.
  30. Conway J. H., Sloane N. J. A. Sphere Packings, Lattices and Groups — Springer-Verlag. — P. 106.
  31. Ribenboim, Paulo. The New Book of Prime Number Records, Ch.III.4.D Ch. 6.II, Ch. 6.IV — 3rd ed.. — New York: Springer, 1996. — ISBN 0-387-94457-5..
  32. Guy Richard K. Unsolved problems in number theory — 3rd ed.. — New York: Springer, 2004. — P. 55—57.. — ISBN 978-0-387-20860-2.
  33. Hardy G. H., Wright E. M., 1968, с. 189.

Літаратура[правіць | правіць зыходнік]

  • Айерлэнд К., Роузен М. Классическое введение в современную теорию чисел — М.: Мир, 1987. — 416 с.
  • Гаусс К. Ф. Труды по теории чисел — М.: Изд-во АН СССР, 1959. — С. 695—754.
  • Гауссово число // Математическая энциклопедия (в 5 томах) — М.: Советская Энциклопедия, 1977. — Т. 1.
  • Калужнин Л. А. Основная теорема арифметики — М.: Наука, 1969. — 32 с. — (Популярные лекции по математике).
  • Колмогоров А. Н., Юшкевич А. П. (ред.). Математика XIX века. Математическая логика, алгебра, теория чисел, теория вероятностей — М.: Наука, 1978. — Т. I.
  • Кузьмин Р. О., Фаддеев Д. К. Алгебра и арифметика комплексных чисел. Пособие для учителей — М.: Учпедгиз, 1939. — 187 с.
  • Окунев Л. Я. Целые комплексные числа — М.: Гос. уч.-пед. изд-во Наркомпроса РСФСР, 1941. — 56 с.
  • Сендеров В., Спивак А. Суммы квадратов и целые гауссовы числа // Квант. — 1999. — № 3. — С. 14-22.
  • Hardy G. H., Wright E. M. An introduction to the theory of numbers — 4th edition. — Oxford.: Oxford University Press, 1968. — 421 с.

Спасылкі[правіць | правіць зыходнік]