Геаметрычная прагрэсія

З пляцоўкі Вікіпедыя.
Перайсці да: рух, знайсці
Кожны наступны фіялетавы квадрат атрыманы змяншэннем у 2 разы старон папярэдняга квадрата (пры гэтым ягоная плошча змяншаецца ў 4 разы). Сума плошчаў усіх фіялетавых квадратаў раўняецца траціне плошчы вялікага квадрата.

Геаметры́чная прагрэ́сія — паслядоўнасць лікаў b1, b2, b3, ... (членаў прагрэсіі), кожны з якіх атрымліваецца з папярэдняга дамнажэннем на пастаянны лік q ≠ 0 (назо́ўнік прагрэсіі)[1][2].

b_n=b_{n-1}q, \qquad n = 2,3,\dots.

Сума ўсіх членаў геаметрычнай прагрэсіі (су́ма бяско́нцай геаметры́чнай прагрэ́сіі) называецца геаметры́чным ра́дам. Часта геаметрычным радам называюць і канечную суму некалькіх першых членаў геаметрычнай прагрэсіі.

Такім чынам, любая геаметрычная паслядоўнасць выглядае на ўзор

a,\ aq,\ aq^2,\ aq^3,\ aq^4,\ \dots,

дзе a — першы член геаметрычнай прагрэсіі, q ≠ 0 - назоўнік геаметрычнай прагрэсіі.

У такіх абазначэннях геаметрычны рад мае выгляд:

a + aq + aq^2 + aq^3 + aq^4 + \dots.

Апісанне[правіць | правіць зыходнік]

n-ы член геаметрычнай прагрэсіі можна вылічыць па формуле:

b_n=b_1q^{n-1} \quad

Калі b_1>0 і q>1, прагрэсія з'яўляецца нарастаючай паслядоўнасцю, калі 0<q<1, — спадаючай паслядоўнасцю, а пры q<0знакачаргавальнай[2].

Сваю назву прагрэсія атрымала дзякуючы сваёй адме́тнай уласці́васці:

 |b_{n}| = \sqrt{b_{n-1} b_{n+1}},

гэта значыць, кожны член роўны сярэдняму геаметрычнаму сваіх суседзяў.

Уласцівасці[правіць | правіць зыходнік]

  • Пашыраная адметная ўласцівасць геаметрычнай прагрэсіі:
 b_{n}^2 = b_{n-i} b_{n+i}, \qquad 0\le i < n
  • Здабытак першых n элементаў геаметрычнай прагрэсіі можна вылічыць па формуле:
P_{n} = (b_1\cdot b_n)^\frac{n}{2}
  • Здабытак членаў геаметрычнай прагрэсіі з нумарамі ад k да n можна вылічыць па формуле:
P_{k,n} = \frac{P_{n}}{P_{k-1}}
  • Сума n першых членаў геаметрычнай прагрэсіі:
S_n = \sum_{i=1}^n  b_i = \begin{cases}
  b_1\frac{1-q^{n}}{1-q}, & q \ne 1, \\
  nb_1, & q = 1.
\end{cases}

Геаметрычны рад[правіць | правіць зыходнік]

На рысунку паказаны тры геаметрычныя рады ўзору rn-1 (з назоўнікамі 1/2, 1/3 і 1/4) на 6 крокаў углыб. Першая "цагліна" адлюстроўвае адзінку. Штрыхавая лінія паказвае бясконцую суму паслядоўнасці — лік, да якога канечная сума набліжаецца пры павелічэнні колькасці складнікаў, але ніколі не дасягае (у дадзеным выпадку гэты лік роўны 2, 3/2, і 4/3, адпаведна).

Геаметры́чны ра́д — такі бясконцы рад, дзель паслядоўных членаў якога ёсць сталая велічыня. Часам геаметрычны рад яшчэ называюць сумай бясконцай геаметрычнай прагрэсіі. У агульным выпадку, геаметрычны рад можна прадставіць у выглядзе:

a + aq + aq^2 + aq^3 + aq^4 + \dots

або

\sum_{k=0}^\infty aq^k.

Геаметрычны рад збягаецца, калі і толькі калі |q| < 1. Суму рада азначаюць як граніцу паслядоўнасці яго частковых сум Sn:


\sum_{k=0}^\infty aq^k = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=0}^n aq^k = \lim_{n\to\infty} a\frac{1-q^{n}}{1-q}.

А раз |q| < 1, то велічыня qn імкнецца да нуля пры неабмежаваным нарастанні n. Адсюль атрымліваем, што сума геаметрычнага рада раўняецца:

a + aq + aq^2 + aq^3 + aq^4 + \dots = \frac{a}{1-q}.

Калі ж |q| ≥ 1, геаметрычны рад разбягаецца.

Рысунак паказвае геаметрычны рад 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ..., які збягаецца да значэння 2

Перыядычныя дзесятковыя дробы[правіць | правіць зыходнік]

Геаметрычныя рады маюць адно цікавае дастасаванне. Так, любы перыядычны дзесятковы дроб, па сутнасці, ёсць запіс пэўнага геаметрычнага рада. Справядліва наступная тэарэма:

Бясконцы дзесятковы дроб з'яўляецца перыядычным, калі і толькі калі гэта запіс пэўнага рацыянальнага ліку (г.зн. нейкага звычайнага дробу).

Такім чынам, узнікае задача пераводу перыядычнага дзесятковага дробу ў звычайны.

Прыклады:


0{,}(7) = 0{,}77777\dots = 0{,}7+0{,}07+0{,}007+\dots = 7\frac{1}{10} + 7\left(\frac{1}{10}\right)^2 + 7\left(\frac{1}{10}\right)^3 + \dots = \frac{\frac{7}{10}}{1-\frac{1}{10}} = \frac{7}{9}

0{,}(9) = 0{,}99999\dots = 0{,}9+0{,}09+0{,}009+\dots = 9\frac{1}{10} + 9\left(\frac{1}{10}\right)^2 + 9\left(\frac{1}{10}\right)^3 + \dots = \frac{\frac{9}{10}}{1-\frac{1}{10}} = \frac{9}{9} = 1

0{,}(143) = 0{,}143143\dots = 0{,}143+0{,}000143+0{,}000000143+\dots = 143\frac{1}{1000} + 143\left(\frac{1}{1000}\right)^2 + 143\left(\frac{1}{1000}\right)^3 + \dots = \frac{\frac{143}{1000}}{1-\frac{1}{1000}} = \frac{143}{999}

0{,}85(3) = 0{,}85333\dots = 0{,}85+0{,}003+0{,}0003+\dots = \frac{85}{100} + \frac{3}{1000} + \frac{3}{1000}\cdot\frac{1}{10} + \frac{3}{1000}\left(\frac{1}{10}\right)^2 + \dots = \frac{17}{20} + \frac{\frac{3}{1000}}{1-\frac{1}{10}} = \frac{17}{20} + \frac{1}{300} = \frac{64}{75}

Прыклады геаметрычных прагрэсій[правіць | правіць зыходнік]

  • Паслядоўнасць плошчаў квадратаў, дзе кожны наступны квадрат атрымліваецца злучэннем сярэдзін старон папярэдняга — бясконцая геаметрычная прагрэсія з назоўнікам 1/2. Плошчы трохвугольнікаў, якія атрыліваюцца на кожным кроку, таксама ўтвараюць бясконцую геаметрычную прагрэсію з назоўнікам 1/2, сума якой роўная плошчы пачатковага квадрата[3].
  • 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, 2048, 4096, 8192 — трынаццаць паслядоўных элементаў геаметрычнай прагрэсіі з назоўнікам 2.
  • 50; −25; 12,5; −6,25; 3,125; … — бясконцая спадаючая геаметрычная прагрэсія з назоўнікам -½.
  • \pi, \pi, \pi, \pi — геаметрычная прагрэсія з назоўнікам 1.

Гл. таксама[правіць | правіць зыходнік]

Спасылкі і крыніцы[правіць | правіць зыходнік]

  1. БЭ ў 18 т. Т. 5.
  2. 2,0 2,1 Матэматычная энцыклапедыя / Гал. рэд. В.І. Бернік — Мінск: Тэхналогія, 2001.
  3. Роу С. Геометрические упражнения с куском бумаги — 2-е изд. — Одесса: Mathesis, 1923.