Геаметрычная прагрэсія

Кожны наступны фіялетавы квадрат атрыманы змяншэннем у 2 разы старон папярэдняга квадрата (тым часам ягоная плошча змяншаецца ў 4 разы). Сума плошчаў усіх фіялетавых квадратаў раўняецца траціне плошчы вялікага квадрата.

Геаметры́чная прагрэ́сія — паслядоўнасць лікаў b₁, b₂, b₃, ... (членаў прагрэсіі), кожны з якіх атрымліваецца з папярэдняга множаннем на пастаянны лік q ≠ 0 (назо́ўнік прагрэсіі).

$b_n=b_{n-1}q, \qquad n = 2,3,\dots.$

Сума ўсіх членаў геаметрычнай прагрэсіі (су́ма бяско́нцай геаметры́чнай прагрэ́сіі) называецца геаметры́чным шэ́рагам. Часта геаметрычным шэрагам называюць і концую суму некалькіх першых членаў геаметрычнай прагрэсіі.

Такім чынам, любая геаметрычная паслядоўнасць выглядае на ўзор

$a,\ aq,\ aq^2,\ aq^3,\ aq^4,\ \dots,$

дзе a - першы член геаметрычнай прагрэсіі, q ≠ 0 - назоўнік геаметрычнай прагрэсіі.

У такіх абазначэннях геаметрычны шэраг мае выгляд:

$a + aq + aq^2 + aq^3 + aq^4 + \dots.$

Апісанне

n-ы член геаметрычнай прагрэсіі можна вылічыць па формуле:

$b_n=b_1q^{n-1} \quad$

Калі $b_1>0$ і $q>1$, прагрэсія з'яўляецца нарастальнай паслядоўнасцю, калі $0<q<1$, — спадальнай паслядоўнасцю, а пры $q<0$ — знакачаргавальнай.

Сваю назву прагрэсія атрымала дзякуючы сваёй адме́тнай уласці́васці:

$|b_{n}| = \sqrt{b_{n-1} b_{n+1}},$

гэта значыць, кожны член роўны сярэдняму геаметрычнаму сваіх суседзяў.

Уласцівасці

• Лагарыфмы членаў геаметрычнай прагрэсіі (калі вызначаны) утвараюць арыфметычную прагрэсію

Доказ

Няхай $w_n = \log_p b_n\$. Тады для любога n > 1

$\frac{w_{n-1} + w_{n+1}}{2} = \frac{\log_pb_{n-1} + \log_pb_{n+1}}{2} = \frac{\log_pb_1q^{n-2} + \log_pb_1q^{n}}{2} = \frac{\log_p(b_1^2q^{2n-2})}{2} = \frac{2\cdot \log_pb_1q^{n-1}}{2} = \log_p b_n = w_n$

Атрыманая роўнасць ёсць адметнай уласцівасцю арыфметычнай прагрэсіі.

• Пашыраная адметная ўласцівасць геаметрычнай прагрэсіі:

$b_{n}^2 = b_{n-i} b_{n+i}, \qquad 0\le i < n$

Доказ

$b_n^2 = b_n b_n = b_1 q^{n - 1} b_1q^{n - 1} = b_1q^{n - 1 - i} b_1q^{n - 1 + i} = b_{n - i} b_{n + i}$

• Здабытак першых n элементаў геаметрычнай прагрэсіі можна вылічыць па формуле:

$P_{n} = (b_1\cdot b_n)^\frac{n}{2}$

Доказ

$P_n = \prod_{i=1}^nb_i = \prod_{i=1}^nb_1q^{i-1} = b_1^n\prod_{i=1}^nq^{i-1} = b_1^{\frac{n}{2}}b_1^{\frac{n}{2}}q^{\frac{n(0 + (n - 1))}{2}} = (b_1b_1q^{n-1})^{\frac{n}{2}} = (b_1b_n)^{\frac{n}{2}}$

• Здабытак членаў геаметрычнай прагрэсіі з нумарамі ад k да n можна вылічыць па формуле:

$P_{k,n} = \frac{P_{n}}{P_{k-1}}$

Доказ

$P_{k,n} = \prod_{i=k}^nb_i = \frac{\prod_{i=1}^nb_i}{\prod_{j=1}^{k-1}b_j} = \frac{P_n}{P_{k-1}}$

• Сума n першых членаў геаметрычнай прагрэсіі:

$S_n = \sum_{i=1}^n b_i = \begin{cases} b_1\frac{1-q^{n}}{1-q}, & q \ne 1, \\ nb_1, & q = 1. \end{cases}$

Доказ

• Праз пераўтварэнні сумы:

  $S_n = \sum_{i=1}^n b_1q^{i-1} = b_1 + \sum_{i=2}^n b_1q^{i-1} = b_1 + q\sum_{i=2}^n b_1q^{i-2} = b_1 + q\sum_{i=1}^{n-1}b_1q^{i-1} = b_1+q\sum_{i=1}^nb_1q^{i-1} - b_1q^n = q S_n + b_1(1-q^n)$

  Адсюль вынікае

  $(1 - q)S_n = b_1(1 - q^n).$

• індукцыяй па n:

  $n = 1 : S_1 = \sum_{i=1}^1 b_i = b_1 = b_1\frac{1 - q^1}{1 - q}$

  $n \rightarrow n + 1 : S_{n+1} = \sum_{i=1}^{n+1}b_i = \sum_{i=1}^nb_i + b_{n+1} = b_1 \frac{1 - q^n}{1 - q} + b_1q^n = b_1\left(\frac{1 - q^n}{1 - q} + q^n\right) = b_1 \left(\frac{1 - q^n + q^n - q^{n+1}}{1 - q}\right) = b_1\frac{1 - q^{n+1}}{1 - q}$

Геаметрычны шэраг

На рысунку паказаны тры геаметрычныя шэ́рагі ўзору r^n-1 (з назоўнікамі 1/2, 1/3 і 1/4) на 6 крокаў углыб. Першая "цагліна" адлюстроўвае адзінку. Штрыхавая лінія паказвае бясконцую суму паслядоўнасці - лік, да якога концая сумма набліжаецца пры павелічэнні колькасці складнікаў, але ніколі не дасягае (у дадзеным выпадку гэты лік роўны 2, 3/2, і 4/3, адпаведна).

Геаметры́чны шэ́раг — такі бясконцы шэраг, дзель паслядоўных членаў якога ёсць сталай велічынёю. Часам геаметрычны шэраг яшчэ называюць сумай бясконцай геаметрычнай прагрэсіі. У агульным выпадку, геаметрычны шэраг можна пада́ць у выглядзе:

$a + aq + aq^2 + aq^3 + aq^4 + \dots$

або

$\sum_{k=0}^\infty aq^k.$

Геаметрычны шэраг збягаецца, калі і толькі калі |q| < 1. Суму шэрагу азначаюць як граніцу паслядоўнасці яго частковых сум S_n:

$\sum_{k=0}^\infty aq^k = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=0}^n aq^k = \lim_{n\to\infty} a\frac{1-q^{n}}{1-q}.$

А раз |q| < 1, то велічыня qⁿ імкнецца да нуля пры неабмежаваным нарастанні n. Адсюль атрымліваем, што сума геаметрычнага шэрагу раўняецца:

$a + aq + aq^2 + aq^3 + aq^4 + \dots = \frac{a}{1-q}.$

Калі ж |q| ≥ 1, геаметрычны шэраг разбягаецца.

Рысунак паказвае геаметрычны шэраг 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ..., які збягаецца да значэння 2

Перыядычныя дзесятковыя дробы

Геаметрычныя шэрагі маюць адно цікавае дастасаванне. Так, любы перыядычны дзесятковы дроб, па сутнасці, ёсць запісам пэўнага геаметрычнага шэрагу. Справядліва наступная тэарэма:

Бясконцы дзесятковы дроб ёсць перыядычным, калі і толькі калі гэта запіс пэўнага рацыянальнага ліку (г.зн. нейкага звычайнага дробу).

Такім чынам, узнікае задача пераводу перыядычнага дзесятковага дробу ў звычайны.

Прыклады:

$0{,}(7) = 0{,}77777\dots = 0{,}7+0{,}07+0{,}007+\dots = 7\frac{1}{10} + 7\left(\frac{1}{10}\right)^2 + 7\left(\frac{1}{10}\right)^3 + \dots = \frac{\frac{7}{10}}{1-\frac{1}{10}} = \frac{7}{9}$

$0{,}(9) = 0{,}99999\dots = 0{,}9+0{,}09+0{,}009+\dots = 9\frac{1}{10} + 9\left(\frac{1}{10}\right)^2 + 9\left(\frac{1}{10}\right)^3 + \dots = \frac{\frac{9}{10}}{1-\frac{1}{10}} = \frac{9}{9} = 1$

$0{,}(143) = 0{,}143143\dots = 0{,}143+0{,}000143+0{,}000000143+\dots = 143\frac{1}{1000} + 143\left(\frac{1}{1000}\right)^2 + 143\left(\frac{1}{1000}\right)^3 + \dots = \frac{\frac{143}{1000}}{1-\frac{1}{1000}} = \frac{143}{999}$

$0{,}85(3) = 0{,}85333\dots = 0{,}85+0{,}003+0{,}0003+\dots = \frac{85}{100} + \frac{3}{1000} + \frac{3}{1000}\cdot\frac{1}{10} + \frac{3}{1000}\left(\frac{1}{10}\right)^2 + \dots = \frac{17}{20} + \frac{\frac{3}{1000}}{1-\frac{1}{10}} = \frac{17}{20} + \frac{1}{300} = \frac{64}{75}$

Прыклады геаметрычных прагрэсій

• Паслядоўнасць плошчаў квадратаў, дзе кожны наступны квадрат атрымліваецца злучэннем сярэдзін старон папярэдняга — бясконцая геаметрычная прагрэсія з назоўнікам 1/2. Плошчы трохвугольнікаў, якія атрыліваюцца на кожным кроку, таксама ўтвараюць бясконцую геаметрычную прагрэсію з назоўнікам 1/2, сума якой роўная плошчы пачатковага квадрата.
• 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, 2048, 4096, 8192 — трынаццаць паслядоўных элементаў геаметрычнай прагрэсіі з назоўнікам 2.
• 50; −25; 12,5; −6,25; 3,125; … — бясконцая спадальная геаметрычная прагрэсія з назоўнікам -½.
• $\pi, \pi, \pi, \pi$ — геаметрычная прагрэсія з назоўнікам 1.

Гл. таксама

• Арыфметычная прагрэсія
• Паказнікавая функцыя