Граніца, матэматыка

З пляцоўкі Вікіпедыя
Перайсці да: рух, знайсці

Грані́ца[1][2], або лімі́т[3] − адно з асноўных паняццяў матэматыкі. Сутнасць паняцця граніцы заключаецца ў тым, што некаторая велічыня, залежная ад зменнай, пры пэўным змяненні апошняй адвольна блізка набліжаецца да пэўнай сталай велічыні. Паняцце блізкасці асноўнае пры азначэнні граніцы. У залежнасці ад таго, ў якіх прасторах яно ўводзіцца, паняцце граніцы набывае пэўны сэнс.

На паняцці граніцы грунтуюцца асноўныя паняцці матэматычнага аналізу: непарыўнасць, вытворная, дыферэнцыял, інтэграл.

Граніца ў матэматычным аналізе[правіць | правіць зыходнік]

Граніца паслядоўнасці[правіць | правіць зыходнік]

Vista-xmag.png Асноўны артыкул: Граніца паслядоўнасці

Граніца паслядоўнасці азначаецца для паслядоўнасці (x_n)_{n=1}^{\infty} элементаў xn тапалагічнай прасторы X пры імкненні n да бесканечнасці. Кажуць, што паслядоўнасць (x_n)_{n=1}^{\infty} збягаецца да сваёй граніцы a\in X, калі для любога наваколля U(a) элемента a існуе нумар NU , такі што для ўсіх nNU выконваецца x_n\in U(a).

Збежнасць паслядоўнасці (x_n)_{n=1}^{\infty} да граніцы a запісваюць як

\lim\limits_{n\to \infty} x_n = a.

Граніца функцыі[правіць | правіць зыходнік]

Vista-xmag.png Асноўны артыкул: Граніца функцыі

Няхай X і Y — тапалагічныя прасторы. Няхай функцыя f : EY вызначана на мностве E, якое з'яўляецца падмноствам прасторы X. Будзем лічыць, што ў любым наваколлі пункта x_0 \in X ёсць хаця б адзін пункт мноства E.

Пункт a\in Y называюць граніцаю функцыі f пры імкненні x да x0 , калі для ўсякага наваколля V пункта a ў прасторы Y існуе такое наваколле U0 пункта x0 у прасторы X, што для адвольнага пункта x\in E\cap U_0 яго вобраз f(x) належыць V, г.зн. f(E\cap U_0)\subset V.

Пры гэтым пішуць

\lim\limits_{x\to x_0} f(x) = a,

або f(x) → a пры xx0.

Граніца інтэгральных сум[правіць | правіць зыходнік]

Vista-xmag.png Асноўны артыкул: Інтэграванне

Няхай на адрэзку [a, b] вызначана функцыя y = f(x). Падзелім гэты адрэзак пунктамі a = x0 < x1 < ... < xn = b на n частак і на кожным з атрыманых меншых адрэзкаў возьмем адвольны лік \xi_k \in [x_{k-1}, x_k]. Інтэгральная сума вызначаецца як


S_n = f(\xi_1) (x_1-x_0) + f(\xi_2) (x_2-x_1) + \dots + f(\xi_n) (x_n-x_{n-1}).

Калі існуе канечная граніца інтэгральных сум пры імкненні да нуля найбольшай з рознасцей xixi-1, то яна называецца вызначаным інтэгралам Рымана ад функцыі f на адрэзку [a, b].

Інтэграл Лебега таксама вызначаецца як граніца інтэгральных сум, толькі гэтыя сумы будуюцца інакш.

Зноскі[правіць | правіць зыходнік]

  1. Беларуская навуковая тэрміналогія. Выпуск 1. Элементарная матэматыка — Мінск: Інстытут беларускай культуры, 1922.
  2. Булыко А.Н., Полещук Н.В. Белорусско-русский, русско-белорусской словарь — 3-е изд. — Минск: Попурри, 2010. — С. 74, 556.
  3. Матэматычная энцыклапедыя / Гал. рэд. В.Бернік — Мінск: Тэхналогія, 2001.