Граніца паслядоўнасці

З пляцоўкі Вікіпедыя
Перайсці да: рух, знайсці
Збяганне паслядоўнасці \scriptstyle(a_n)_{n=1}^\infty да граніцы a

Грані́ца[1][2] паслядо́ўнасці, або лімі́т[3] паслядоўнасці — пэўная сталая велічыня, да якой прыбліжаецца значэнне элемента паслядоўнасці пры неабмежаваным нарастанні яго нумара.

Калі паслядоўнасць мае граніцу, кажуць, што яна збягаецца да сваёй граніцы. У процілеглым выпадку (калі граніца не існуе) кажуць, што паслядоўнасць разбягаецца.

Паняцце граніцы няяўна ўсведамлялася яшчэ ў старажытнасці ў Грэцыі. У якасці яскравага прыкладу можна прывесці апорыю Зянона пра Ахіла і чарапаху. Сучаснае азначэнне паняцця граніцы даў Агюстэн Луі Кашы.

Азначэнне і абазначэнні[правіць | правіць зыходнік]

Няхай элементы паслядоўнасці (x_n)_{n=1}^\infty належаць тапалагічнай прасторы X.

Кажуць, што паслядоўнасць (x_n)_{n=1}^\infty збягаецца да сваёй граніцы a \in X і пішуць

\lim\limits_{n\to \infty} x_n = a,

калі для любога наваколля U(a) элемента a існуе такі нумар NU , што для ўсіх nNU выконваецца x_n \in U(a).

Паслядоўнасць, якая мае канечную граніцу, называецца збе́жнай.

Калі ж паслядоўнасць не мае граніцы, кажуць, што паслядоўнасць разбягаецца, і называюць яе разбе́жнай.

Сам запіс

\lim\limits_{n\to \infty} x_n

можна прачытаць, як «граніца xn пры імкненні n да бесканечнасці».

Граніца лікавай паслядоўнасці[правіць | правіць зыходнік]

Vista-xmag.png Асноўны артыкул: Граніца лікавай паслядоўнасці

Азначэнне[правіць | правіць зыходнік]

Няхай (x_n)_{n=1}^\infty — лікавая паслядоўнасць.

Кажуць, што лікавая паслядоўнасць (x_n)_{n=1}^\infty збягаецца да сваёй граніцы a і пішуць

\lim\limits_{n\to \infty} x_n = a,

калі для любога ε > 0 існуе такі нумар N(ε) , што для ўсіх nN(ε) справядліва няроўнасць |x_n-a|\le \varepsilon.

Заўвага: члены лікавай паслядоўнасці могуць быць рэчаіснымі, рацыянальнымі або камплекснымі лікамі (ці нават p-адычнымі лікамі). Ад таго, якому з гэтых бесканечных палёў належаць члены паслядоўнасці, уласцівасці граніц такіх паслядоўнасцей істотна не зменяцца.

Уласцівасці[правіць | правіць зыходнік]

Няхай існуюць граніцы \lim_{n\to\infty} a_n=a і \lim_{n\to\infty} b_n=b, тады існуюць наступныя граніцы:

  • граніца сумы роўная суме граніц
    \lim_{n\to\infty} \left(a_n+b_n\right)= a+b,
  • граніца рознасці роўная рознасці граніц
    \lim_{n\to\infty} \left(a_n-b_n\right)= a-b,
  • граніца здабытку раўняецца здабытку граніц
    \lim_{n\to\infty} \left(a_n\cdot b_n\right)= a\cdot b.
  • Калі b\neq 0, то граніца дзелі раўняецца дзелі граніц
    \lim_{n\to\infty} \frac{a_n}{b_n}=\frac{a}{b} .
  • Калі  a > 0 , то граніца ступені існуе і
    \lim_{n\to\infty} a_n^{b_n}= a^b .

Важныя прыклады[правіць | правіць зыходнік]

Vista-xmag.png Асноўны артыкул: Спіс граніц

Абагульненні[правіць | правіць зыходнік]

Граніца лікавай паслядоўнасці з'яўляецца найпрасцейшым прыкладам граніцы паслядоўнасці ў метрычнай прасторы.

Няхай Xметрычная прастора, г.зн. X — мноствам, для элементаў якога вызначана функцыя адлегласці (або метрыка) \rho:X\times X \to \R, якая адпавядае умовам:

  • ρ(x,y) = 0, калі і толькі калі x = y;
  • ρ(x,y) = ρ(y,x);
  • ρ(x,y) = ρ(x,z) + ρ(z,y)

для адвольных элементаў x, y, z мноства X.

Няхай (x_n)_{n=1}^\infty — паслядоўнасцю, члены якой належаць метрычнай прасторы X.

Пункт a\in X называюць граніцаю паслядоўнасці (x_n)_{n=1}^\infty пры імкненні n да бесканечнасці, калі для любога ε > 0 існуе такі нумар N(ε) , што для ўсіх nN(ε) спраўджваецца няроўнасць \rho(x_n,a) \le \varepsilon.

Гл. таксама[правіць | правіць зыходнік]

Зноскі[правіць | правіць зыходнік]

  1. Беларуская навуковая тэрміналогія. Выпуск 1. Элементарная матэматыка — Мінск: Інстытут беларускай культуры, 1922.
  2. Булыко А.Н., Полещук Н.В. Белорусско-русский, русско-белорусской словарь — 3-е изд. — Минск: Попурри, 2010. — С. 74, 556.
  3. Матэматычная энцыклапедыя / Гал. рэд. В.Бернік — Мінск: Тэхналогія, 2001.