Група, алгебра

З пляцоўкі Вікіпедыя
Перайсці да: рух, знайсці

Гру́па — непустое мноства разам з вызначанаю на ім бінарнай аперацыяй, якая задавальняе пэўныя ўмовы (а іменна, замкнёнасць мноства адносна гэтай аперацыі, спалучальны закон, наяўнасць нейтральнага элемента і наяўнасць для кожнага элемента адваротнага да яго).

У дадзеным выпадку бінарная аперацыя, па сутнасці, ёсць правілам, згодна з якім кожнай упарадкаванай пары элементаў мноства ставіцца ў адпаведнасць нейкі трэці элемент таго ж мноства. Акрамя таго, групавая аперацыя павінна падпарадкоўвацца спалучальнаму закону, у мностве павінен існаваць т.зв. нейтральны элемент, а таксама для кожнага элемента мноства ў гэтым мностве павінен існаваць адваротны (адносна групавой аперацыі) элемент.

Сам тэрмін "група" належыць выдатнаму французскаму матэматыку Эварысту Галуа. Аднак некаторыя тэарэмы тэорыі груп былі даказаны яшчэ Лагранжам.

Строгае азначэнне[правіць | правіць зыходнік]

Аксіёмы групы[правіць | правіць зыходнік]

Гру́пай называецца непустое мноства G разам з бінарнай аперацыяй \circ : G \times G \to G, якая задавальняе наступныя ўмовы:

  1. Спалучальны закон: для любых  a, b, c\in G справядліва:
    a \circ (b \circ c) = (a \circ b) \circ c
  2. Існуе нейтральны элемент  e \in G, г.зн. такі элемент, што для любога a\in G справядліва:
     a \circ e = e \circ a = a
  3. Для кожнага элемента a\in G існуе адваротны элемент a^{-1} \in G, г.зн. такі элемент, што
     a \circ a^{-1} = a^{-1} \circ a = e


Заўвага: група не ёсць проста мноствам; увогуле кажучы, на адным і тым жа мностве можна ўвесці розныя бінарныя аперацыі, адносна кожнай з якіх мноства будзе ўтвараць розныя групы. Іменна таму групу пазначаюць як упарадкаваную пару (G,\circ), хоць часам, калі аперацыя відавочная, дзеля зручнасці знак аперацыі апускаюць і пішуць проста "група G ".

Адмысловыя назвы і абазначэнні[правіць | правіць зыходнік]

Часцей за ўсё, дзеля зручнасці, групавую аперацыю \circ называюць множаннем (хоць часам анічога агульнага між гэтай аперацыяй і звычайным множаннем няма). Адпаведна, нейтральны элемент e называюць адзінкаю групы. Пры гэтым сама́ аперацыя абазначаецца гэтак са́ма як і звычайнае множанне:

a \cdot b або нават ab

Такія назвы і абазначэнні называюцца мультыплікаты́ўнымі.

Заўвага: нягледзячы на такую назву, гэта не азначае нават таго, што групавая аперацыя падпарадкоўваецца перастаўляльнаму закону.


Калі групавая аперацыя падпарадкоўваецца перастаўляльнаму закону (г.зн. G ёсць абелевай групай), то яе называюць складаннем і абазначаюць знакам + (такое "складанне" можа быць дужа непадобным да звычайнага складання). Пры гэтым нейтральны элемент e называюць нулём абелевай групы G і абазначаюць яго як 0; адваротны элемент a-1 называюць процілеглым элементам і пішуць -a. Такія назвы і абазначэнні называюцца адыты́ўнымі.

Уласцівасці[правіць | правіць зыходнік]

  • У групе існуе толькі адна адзінка.
  • Для кожнага элемента групы існуе роўна адзін адваротны да яго элемент.

Крыніцы[правіць | правіць зыходнік]

  • Кострикин А.И. Введение в алгебру. Часть I. Основы алгебры — Москва: ФИЗМАТЛИТ, 2004.