Група Лі

З пляцоўкі Вікіпедыя
Перайсці да: рух, знайсці
Група, алгебра
Rubik's cube.svg
Тэорыя груп
Гл. таксама «Фізічны партал»

Групай Лі над полем K (K=\R або \mathbb C) называецца група G, забяспечаная структурай дыферэнцавальнай (гладкай) мнагастайнасці над K такім чынам, што адлюстраванні \operatorname{mul} і \operatorname{inv}:

\operatorname{mul}: G\times G \to G; \quad \operatorname{mul} (x, y) = xy,
\operatorname{inv}: G\to G;\quad \operatorname{inv} x = x^{-1}

з'яўляюцца гладкімі (у выпадку поля \mathbb C патрабуюць галаморфнасці уведзеных адлюстраванняў).

Усякая комплексная n-мерная група Лі з'яўляецца рэчаіснай групай Лі размернасці 2n. Усякая камплексная група Лі па азначэнню з'яўляецца аналітычнай мнагастайнасцю, але і ў рэчаісным выпадку на любой групе Лі існуе аналітычны атлас, у якім адлюстраванні \operatorname{mul} і \operatorname{inv} запісваюцца аналітычнымі функцыямі.

Групы былі названы ў гонар Софуса Лі. Групы Лі натуральна ўзнікаюць пры разглядзе непарыўных сіметрый. Напрыклад, рухі плоскасці ўтвараюць групу Лі. Групы Лі з'яўляюцца ў сэнсе багацця структуры лепшымі з мнагастайнасцей і ў такой якасці вельмі важныя ў дыферэнцыяльнай геаметрыі і тапалогіі. Яны таксама іграюць значную ролю ў геаметрыі, фізіцы і матэматычным аналізе.

Тыпы груп Лі[правіць | правіць зыходнік]

Групы Лі класіфікуюцца па сваіх алгебраічных уласцівасцях (прастаце, паўпрастаце, вырашальнасці, нільпатэнтнасці, абелевасці), а таксама па тапалагічных уласцівасцях (звязнасці, адназвязнасці і кампактнасці).

Падгрупы Лі[правіць | правіць зыходнік]

Падгрупа H групы Лі G называецца яе падгрупай Лі, калі яна з'яўляецца падмнагастайнасцю ў мнагастайнасці G, гэта значыць знойдзецца m>0 такое, што H задаецца ў наваколлі кожнага свайго пункта p сістэмай з k функцый, якая мае ў p ранг m. Не ўсякая падгрупа з'яўляецца падгрупай Лі: напрыклад, падгрупа пар віду (e^{ix}, e^{i\pi x}) у торы \{(e^{ix},e^{iy})\mid x,y\in\R\} не падгрупа Лі (яна дае усюды шчыльную абмотку тора). Падгрупа Лі заўсёды замкнутая. У рэчаісным выпадку справядліва і адваротнае: замкнутая падгрупа з'яўляецца падгрупай Лі. У камплексным выпадку гэта не так: бываюць рэчаісныя падгрупы Лі камплекснай групы Лі, якія маюць няцотную размернасць, напрыклад, унітарныя матрыцы ў групе абарачальных камплексных матрыц 2\times 2.

Хай H — падгрупа Лі групы Лі G. Мноства G/H сумежных класаў (усё роўна, левых ці правых) можна адзіным чынам надзяліць структурай дыферэнцавальнай мнагастайнасці так, каб кананічная праекцыя была дыферэнцавальным адлюстраваннем. Пры гэтым атрымаецца лакальна трывіяльнае расслаенне, і калі Hнармальная падгрупа, то фактаргруппа будзе групай Лі.

Дзеянні груп Лі[правіць | правіць зыходнік]

Групы Лі часта выступаюць як сіметрыі якой-небудзь структуры на некаторай мнагастайнасці, а таму натуральна, што вывучэнне дзеянняў груп Лі на розных мнагастайнасцях з'яўляецца важным раздзелам тэорыі. Кажуць, што група Лі G дзейнічае на гладкай мнагастайнасці M, калі зададзены гомамарфізм груп a: G → Diff M, дзе Diff M — група дыфеамарфізмаў M. Такім чынам, кожнаму элементу g групы G павінна адпавядаць дыфеаморфнае пераўтварэнне ag мнагастайнасці M, прычым здабытку элементаў і ўзяццю адваротнага элемента адпавядаюць кампазіцыя дыфеамарфізмаў і адваротны дыфеамарфізм. Калі з кантэксту ясна, пра якое дзеянне ідзе гаворка, то вобраз ag(m) пункта m пры дыфеамарфізме, які вызначаецца элементам g, абазначаецца проста gm.

Група Лі натуральна дзейнічае на сабе левымі і правымі зрухамі, а таксама спалучэннямі. Гэтыя дзеянні традыцыйна абазначаюцца l, r и a:

lg(h) = gh,
rg(h) = hg,
ag(h) = ghg−1.

Іншым прыкладам дзеяння з'яўляецца дзеянне групы Лі G на мностве сумежных класаў гэтай групы па якой-небудзь падгрупе Лі NG:

g (hN) = (gh)N,

Дзеянне групы Лі G на дыферэнцавальнай мнагастайнасці M называецца транзітыўным, калі любы пункт M можна перавесці ў любы іншы з дапамогай дзеяння некаторага элемента G. Мнагастайнасць, на якой зададзена транзітыўнае дзеянне групы Лі называецца аднароднай прасторай гэтай групы. Аднародныя прасторы адыгрываюць важную ролю ў многіх раздзелах геаметрыі. Аднародная прастора групы G дыфеаморфная G / st x, дзе st x — стабілізатар адвольнага пункта.

Алгебра Лі групы Лі[правіць | правіць зыходнік]

Са ўсякай групай Лі можна звязаць некаторую алгебру Лі, якая цалкам адлюстроўвае лакальную структуру групы, ва ўсякім выпадку, калі група Лі звязная.

Вектарнае поле на групе Лі G называецца леваінварыянтным, калі яно перастаўляльнае з левымі зрухамі, гэта значыць

V(lg* f) = lg* (Vf) для ўсіх g з G, і любой дыферэнцавальнай функцыі f.

Раўназначна,

dlg (Vx) = Vgx для ўсіх x, g з G.

Відавочна, любое леваінварыянтнае вектарнае поле V на групе Лі цалкам вызначаецца сваім значэннем Ve ў адзінцы. Наадварот, задаўшы адвольны вектар V у датычнай прасторы Ge да адзінкі, можна разнесці яго левымі зрухамі па ўсёй групе. Атрымліваецца ўзаемна адназначная адпаведнасць паміж датычнай прасторай да групы ў адзінцы і прасторай леваінварыянтных вектарных палёў.

Дужка Лі [X,Y] леваінварыянтных вектарных палёў будзе леваінварыянтным вектарным полем. Таму Ge з'яўляецца алгебрай Лі. Гэтая алгебра называецца алгебрай Лі групы G. Звычайна яна абазначаецца адпаведнай малой гатычнай літарай.

Гл. таксама[правіць | правіць зыходнік]

Літаратура[правіць | правіць зыходнік]

  • Винберг Э. Б., Онищик А. Л. Семинар по группам Ли и алгебраическим группам. 1988, 1995
  • Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. Т.20. Группы Ли и алгебры Ли — 1. М.: ВИНИТИ. 1988
  • Адамс Дж. Ф., Лекции по группам Ли, «Наука», 1979
  • Бурбаки Н. Группы и алгебры Ли. Главы I—III. М.: Мир, 1976. 496 с.
  • Бурбаки Н. Группы и алгебры Ли. Глава IX. М.: Мир, 1986. 174 с.

Ресурсы физико-математической библиотеки сайта EqWorld - "Мир математических уравнений":