Давядзенне да абсурду

Давядзенне да абсурду або доказ ад "процілеглага" (лац. Reductio ad absurdum) - адзін з самых выкарыстоўваных метадаў доказу сцвярджэнняў. Гэты спосаб заснаваны на праўдзівасці формулы $((A\Rightarrow B) \land \neg B) \Rightarrow \neg A$ ў класічнай логіцы і законе двайнога адмаўлення.

Доказ сцвярджэння $A$ праводзіцца так. Спачатку прымаюць здагадку, што сцвярджэнне $A$ няправільна, а затым даказваюць, што пры такой здагадцы было бы дакладна некаторае сцвярджэнне $B$, якое загадзя памылкова. Атрыманая супярэчнасць даказвае, што зыходная здагадка была памылковай, і таму правільнае сцвярджэнне $\neg\neg A$, якое па закону двайнога адмаўлення раўназначна сцвярджэнню $A$.

У інтуіцыйнай логіцы закон выключанага трэцяга не працуе, таму такія доказы ў ёй не прымаюцца.

Прыклад

Доказ ірацыянальнасці ліку $\sqrt{2}$.

Дапусцім процілеглае: хай $\sqrt{2}$ - рацыянальны лік. Тады яго можна прадставіць у выглядзе нескарачальнага дробу $\frac{m}{n}$, дзе $m$ і $n$ - цэлыя лікі. Узвядзём меркаваную роўнасць у квадрат:

$\sqrt{2} = \frac{m}{n} \Rightarrow 2 = \frac{m^2}{n^2} \Rightarrow m^2 = 2n^2$.

Адгэтуль варта, што $m^2$ цотна, значыць, цотна і $m$. Такім чынам, $m^2$ падзяляецца на 4, значыць, $n^2$ і $n$ таксама цотныя. Гэтае сцвярджэнне супярэчыць нескарачальнасці дробу $\frac{m}{n}$. Значыць, зыходнае сцвярджэнне памылкова, і $\sqrt{2}$ - ірацыянальны лік.