Давядзенне да абсурду

З пляцоўкі Вікіпедыя.
Перайсці да: рух, знайсці

Давядзенне да абсурду або доказ ад "процілеглага" (лац. Reductio ad absurdum) - адзін з самых выкарыстоўваных метадаў доказу сцвярджэнняў. Гэты спосаб заснаваны на праўдзівасці формулы ((A\Rightarrow B) \land \neg B) \Rightarrow \neg A ў класічнай логіцы і законе двайнога адмаўлення.

Доказ сцвярджэння A праводзіцца так. Спачатку прымаюць здагадку, што сцвярджэнне A няправільна, а затым даказваюць, што пры такой здагадцы было бы дакладна некаторае сцвярджэнне B, якое загадзя памылкова. Атрыманая супярэчнасць даказвае, што зыходная здагадка была памылковай, і таму правільнае сцвярджэнне \neg\neg A, якое па закону двайнога адмаўлення раўназначна сцвярджэнню A.

У інтуіцыйнай логіцы закон выключанага трэцяга не працуе, таму такія доказы ў ёй не прымаюцца.

Прыклад[правіць | правіць зыходнік]

Доказ ірацыянальнасці ліку \sqrt{2}.

Дапусцім процілеглае: хай \sqrt{2} - рацыянальны лік. Тады яго можна прадставіць у выглядзе нескарачальнага дробу \frac{m}{n}, дзе m і n - цэлыя лікі. Узвядзём меркаваную роўнасць у квадрат:

\sqrt{2} = \frac{m}{n} \Rightarrow 2 = \frac{m^2}{n^2} \Rightarrow m^2 = 2n^2.

Адгэтуль варта, што m^2 цотна, значыць, цотна і m. Такім чынам, m^2 падзяляецца на 4, значыць, n^2 і n таксама цотныя. Гэтае сцвярджэнне супярэчыць нескарачальнасці дробу \frac{m}{n}. Значыць, зыходнае сцвярджэнне памылкова, і \sqrt{2} - ірацыянальны лік.