Дзеянне, фізічная велічыня

З пляцоўкі Вікіпедыя
Перайсці да: рух, знайсці
Дзеянне
S = \int L(q,\dot q,t) ~ \mathrm d t
Размернасць

L2MT−1

Дзеянне ў фізіцыскалярная фізічная велічыня, якая з'яўляецца мерай руху фізічнай сістэмы. Дзеянне з'яўляецца матэматычным функцыяналам, які бярэ ў якасці аргументу траекторыю руху фізічнай сістэмы і вяртае ў якасці выніку рэчыўны лік.

Прынцып найменшага дзеяння ў класічнай механіцы пастулюе, што фізічная сістэма заўсёды наступстве траекторыі з найменшым дзеяннем.

У квантавай механіцы, у фармулёўцы інтэгралаў па траекторыях, фізічная сістэма адначасова наступствуе ўсім магчымым траекторыям, прычым амплітуда верагоднасці прытрымлівання пэўнай траекторыі вызначаецца дзеяннем гэтай траекторыі. Калі характэрнае дзеянне нашмат больш пастаяннай Планка, то амплітуда класічнай траекторыі з найменшай дзеяннем з'яўляецца пераважнай — такім чынам квантавая механіка пераходзіць у класічную.

Дзеянне — адна з найбольш фундаментальных фізічных велічынь, якая ўваходзіць ў сучасную фармулёўку большасці асноўных фізічных тэорый ва ўсіх фундаментальных раздзелах фізікі, якая мае пры гэтым і велізарная тэхнічнае значэнне ў тэарэтычнай фізіцы. Некалькі меншае значэнне можа мець у параўнальна больш прыкладных галінах, хоць і там нярэдка бывае ужывальныя. Ўжываецца роўна і ў квантавай, і ў класічнай, і ў рэлятывісцкай фізіцы.

Мае фізічную размернасць энергія · час = імпульс · адлегласць, супадае з размернасцю моманту імпульсу. Па фізічным сэнсе дзеянне — фаза квантавай «хвалі верагоднасці», дакладней — з-за іншай размернасці ў традыцыйных сістэмах фізічных адзінак (у тым ліку СІ) — прапарцыянальная гэтай фазе: S = \hbar \phi — з пастаяннай размерным каэфіцыентам — пастаяннай Планка.

Калі для нейкай сістэмы напісана дзеянне, то гэта ў прынцыпе вызначае і яе класічныя паводзіны (гэта значыць паводзіны сістэмы ў класічным набліжэнні), і яе квантавыя паводзіны. Першае — праз прынцып стацыянарнага (найменшага) дзеяння, другое — праз фейнманаўскі інтэграл па траекторыях. Пры гэтым само дзеянне запісваецца аднолькава, у адной і той жа форме, і для класічнага і для квантавага выпадку, што робіць яго вельмі зручным інструментам (для квантавання праз фейнманаўскі інтэграл ў прынцыпе трэба ведаць толькі дзеянне, якое вызначанае для звычайных класічных траекторый, гэта значыць, запісанае гэтак жа, як і для класічнага прымянення).

Тэрміналогія[правіць | правіць зыходнік]

Гістарычна тэрміналогія даволі моцна вагалася, але ў цяперашні час прынята называць дзеяннем велічыню

S = \int\limits_{t_1}^{t_2} L(q,\dot q,t)dt

або

S = \int\limits_{t_1}^{t_2} \bigg( \sum_i p_i \dot q_i - H(q,p,t) \bigg) dt,

дзе tчас,q = \{q_1,q_2,\dots,q_N\} — поўны набор каардынат, якія характарызуюць дынамічную сістэму (яе канфігурацыйную прастору), \dot q = \{\dot q_1,\dot q_2,\dots,\dot q_N\} — набор хуткасцяў (вытворных q па часе), L — функцыя Лагранжа, якая залежыць ад N каардынат, N хуткасцяў, і часам яшчэ відавочна ад часу, у класічнай механіцы супадае з рознасцю кінетычнай і патэнцыйнай энергій; H — функцыя Гамільтана , якая прадстаўляе сабой поўную энергію сістэмы, выяўленую праз N каардынат, N спалучаных ім імпульсаў і часам яшчэ відавочна праз час.

(Абедзве велічыні ў прынцыпе супадаюць, але па-рознаму выяўленыя — першая ў адпаведнасці з лагранжавым фармалізмам, другая ў адпаведнасці з гамільтанавым).

Скарочаным дзеяннем прынята называць

S_0 = \int\limits_{A}^{B} \sum_i p_i d q_i = \int\limits_{t_1}^{t_2} \sum_i p_i \dot q_i dt = \int\limits_{t_1}^{t_2} \vec p \cdot \vec v d t,

дзе абазначэнні супадаюць з выкарыстанымі вышэй, а выраз у апошнім інтэграле - скалярны здабытак вектараў імпульсу і хуткасці, які ў выпадку адной часціцы можна разглядаць у звычайным ньютанаўскім сэнсе.

Наогул, у гэтым пункце пад q_i, \dot q_i і p_i маюцца на ўвазе абагульненыя каардынаты (якія не абавязкова супадаюць з дэкартавымі), абагульненыя хуткасці, якія адпавядаюць гэтым каардынатам і кананічна спалучаныя гэтым каардынатам імпульсы. У прыватным выпадку яны могуць быць выбраны ў выглядзе дэкартавых каардынат, тады (у механіцы) адпаведныя імпульсы ўяўляюць сабой звычайныя кампаненты вектарных імпульсаў матэрыяльных пунктаў сістэмы.

Для размеркаваных сістэм (напрыклад, для палёў або пругкіх суцэльных асяроддзяў) дзеянне звычайна можа быць запісана так:

S = \int \mathcal L(q,\dot q,x,t) dV dt

або

S = \int \bigg( \sum_i p_i \dot q_i - \mathcal H(q,p,x,t) \bigg) dV dt,

дзе \mathcal L, \mathcal H — шчыльнасці функцыі Лагранжа і Гамільтана адпаведна, x — кропка прасторы, занятай асяроддзем або полем (часта — звычайнай трохмернай прасторы), dV — элемент аб'ёму гэтай прасторы, q_i, p_i — значэнні абагульненых каардынат (напрыклад, зрушэнняў пругкага асяроддзя або — для поля — палявой зменнай, такі, як, напрыклад, электрамагнітны патэнцыял) і абагульненых імпульсаў для дадзенай кропкі x размеркаванай сістэмы (асяроддзя або поля). Інтэграванне вырабляецца і па прасторы і па часе. Агульная колькасць каардынатаў і імпульсаў q_i, p_i, якія апісваюць сістэму, як бачым, у гэтым выпадку бясконцая, так як вядома іх колькасць толькі для аднаго x, а мноства саміх x бясконцае.

Агульны агляд[правіць | правіць зыходнік]

З сучаснага пункту гледжання дзеянне мае сэнс фазы хвалевай функцыі (праўда, выяўленай традыцыйна — для больш прамой сувязі з класічнай механікай — у іншых адзінках, а канкрэтна S = \hbar \phi, дзе S — дзеянне, \phi — фаза ў радыянах, а \hbar — універсальная пастаянная Планка).

Класічная фізіка (механіка і тэорыя поля) з'яўляецца высокачастотным і караткахвалевым набліжэннем квантавай, калі фазы хваляў вельмі вялікія (S/\hbar >> 1), што азначае, што пры дадзеных («класічных») умовах эксперыменту (характэрныя памеры, характэрныя імпульсы і характэрныя энергіі разгляданай задачы) квантавыя папраўкі да класічнай тэорыі будуць досыць малыя (на практыцы часцей за ўсё настолькі малыя, што эксперыментальна нельга іх выявіць). У гэтым выпадку квантавая задача ў цэлым моцна спрашчаецца, пераходзячы ў класічную, і можна карыстацца прынцыпам найменшага дзеяння і / або ураўненнем Гамільтана — Якобі, у якіх дзеянне працягвае гуляць ключавую ролю.

У квантавай жа фізіцы — пры вырашэнні той жа задачы без ўмовы S/\hbar >> 1, дзеянне гуляе асабліва вялікую ролю ў фармалізме фейнманаўскага інтэграла па траекторыях. Акрамя таго, частка вынікаў тэорыі класічнага поля дастаткова прама пераносіцца ў пэўным сэнсе на квантавы выпадак, а паколькі дзеянне з'яўляецца адным з самых простых аб'ектаў, маніпуляванне з ім (а перш за ўсё само напісанне дзеяння для дадзенай дынамічнай сістэмы — поля, часціцы, палёў або часціц, якія ўзаемадзейнічаюць, або іншых аб'ектаў) часта з'яўляецца адным з вельмі эфектыўных інструментаў пры фармулёўцы квантавай тэорыі розных палёў, нават калі гэта не звязана з напісаннем інтэграла па траекторыях і працы з ім у відавочным выглядзе.

Дзеянне ў класічнай механіцы[правіць | правіць зыходнік]

Дзеянне ў класічнай механіцы запісваецца ў двух формах, у канчатковым выніку эквівалентных:

лагранжавай:

S = \int\limits_{t_1}^{t_2} L(q,\dot q,t)dt

або гамільтанавай:

S = \int\limits_{t_1}^{t_2} \bigg( \sum_i p_i \dot q_i - H(q,p,t) \bigg) dt.

(Аб скарочаным дзеянні — гл ў параграфе «Тэрміналогія» вышэй).

Нягледзячы на ​​эквівалентнасць у канчатковым выніку, лагранжавая і гамільтанавая форма запісу дзеянні валодаюць тэхнічнымі і ідэйнымі перавагамі, што не супадаюць. Кожная з іх можа лічыцца асновай для пабудовы (на аснове прынцыпу найменшага (або стацыянарнага) дзеяння) адпаведна лагранжавай і гамільтанавай формаў механікі. А менавіта, ажыццяўляючы прамое вар'іраванне першага дзеяння па кожнаму \delta q_i незалежна ад іншых — або — што эквівалентна — напісаўшы для гэтага функцыяналу ўраўненні Эйлера — Лагранжа, для другой жа формы — вар'іруючы незалежна па кожным \delta q_i і \delta p_i (запісаўшы ўраўненні Гамільтана), няцяжка атрымаць ўраўненні руху адпаведна ў лагранжавай і гамільтанавай форме. У прыватным выпадку выкарыстання дэкартавых каардынат гэта будуць ньютанаўскія ўраўненні руху.

Праводзячы вывад ураўнанняў руху з прыдатным выбарам каардынат (наогул кажучы, не дэкартавых) і з выкарыстаннем метаду нявызначаных множнікаў Лагранжа, няцяжка атрымаць у зручным выглядзе і ўраўненні руху для сістэм са сувязямі, часам выключаючы з іх рэакцыі сувязяў (што можа прыкметна спрашчаць ураўненні).

Варта заўважыць, што пры ўсёй фундаментальнай значнасці канцэпцыя дзеяння не пакрывае некаторых выпадкаў макраскапічнай механікі, напрыклад, не дазваляе напісаць дзеянне ў выпадку наяўнасці адвольных дысіпатыўных сіл, і адпаведна не дазваляе скарыстацца для іх апісання прынцыпам найменшага дзеянні.

Класічнае дзеянне — з сучаснай пункту гледжання — гэта велічыня, прапарцыянальная фазе квантавай хвалевай функцыі адпаведнай часціцы або сістэмы (па сутнасці гэта і ёсць фаза, толькі вымераная ў іншых адзінках; аднак каэфіцыент прапарцыянальнасці ўнутры класічнай механікі невядомы — гэта істотна квантавая велічыня, з пункту гледжання класічнай механікі важна толькі, што ён вельмі малы). Сама ж класічная механіка ёсць караткахвалевая мяжа квантавай, і можа быць атрымана з яе пераходам \hbar / S \rightarrow 0.

Дзеянне для размеркаваных сістэм[правіць | правіць зыходнік]

Для механічных размеркаваных сістэм (напрыклад, для пругкіх суцэльных асяроддзяў) дзеянне звычайна можа быць запісана так:

S = \int \mathcal L(q,\dot q,x,t) dV dt

або

S = \int \bigg( \sum_i p_i \dot q_i - \mathcal H(q,p,x,t) \bigg) dV dt,

дзе dV — элемент аб'ёму, трохмерны ў выпадку апісання палёў у трохмернай прасторы, \mathcal L, \mathcal H — шчыльнасці функцыі Лагранжа і функцыі Гамільтана, q,\dot q і p — палявыя зменныя (напрыклад, патэнцыялы), якія адпавядаюць хуткасці \dot q = \partial q / \partial t і кананічна спалучаныя імпульсы. Кожная такая палявая зменная, хуткасць і імпульс ёсць функцыя q = q(x,y,z,t), \dot q = \dot q(x,y,z,t), p = p(x,y,z,t) «прасторавых» зменных і часу, прадстаўляючы сабой, такім чынам, бясконцамерны (з улікам фізічнага прадстаўлення аб магчымай атамнай дыскрэтызацыі размеркаванай сістэмы — проста вельмі шматмерны) вектар. Вылучэнне асобнай каардынаты q_i \in \R зводзіцца да раскладання q па нейкім базісу (гэта можа быць, напрыклад, базіс з дэльта-функцый, які зводзіць усё ў сутнасці да мяжы дыскрэтнай задачы, але, мабыць, яшчэ часцей прымяняецца з-за сваёй выгоды пераўтварэнне Фур'е).

Для немеханічных размеркаваных сістэм падобны запіс магчымы на базе аналогіі з механічнымі. У прыватнасці, падобны спосаб працуе для фундаментальных палёў, фармальна таксама падыходных пад вызначэнне размеркаваных сістэм (хоць можна лічыць і гэта толькі аналогіяй, пытанне таго ці іншага выбару тут — у сутнасці тэрміналагічнае). Падрабязна фундаментальныя фізічныя палі разгледжаны ў асобным параграфе, хоць звычайныя размеркаваныя сістэмы, механічныя у асаблівасці, даюць увогуле досыць добрыя мадэлі, якія спрыяюць разуменню пабудовы дынамікі гэтых палёў і, у прыватнасці, пытанняў, звязаных з дзеяннем.

Прыклады:

  • Для аднастайнай ізатропнай суцэльна лінейнай (падпарадкавальнай закону Гука; ў рэальнасці гэта амаль заўсёды прадугледжвае абмежаванне дастасавальнасці мадэлі выпадкамі малых дэфармацый) пругкага асяроддзя, якое запаўняе трохмерную прастору або яе вобласць, можна ў найпростым выпадку запісаць дзеянне як
S = \int ( {\rho\over 2} (\dot u)^2 - {E\over 2}(\nabla u)^2 ) dx dy dz dt,
дзе \rho = const — шчыльнасць асяроддзя, E = const — модуль пругкасці, u = u(x,y,z,t) — адхіленне пругкага асяроддзя ў гэтай кропцы ў дадзены момант часу ад умоўнага становішча раўнавагі — гэта размеркаваная абагульненая каардыната (у дадзенай задачы гэта трохмерны вектар, але менавіта пры сфармуляваных умовах можна разглядаць кожную з яго кампанент асобна), \dot u — хуткасць змены u з часам — размеркаваная хуткасць, таксама, вядома, функцыя x, y, z, t. \nabla тут — аператар градыенту, які можна тут лічыць ўжываюцца асобна да кожнай кампаненце u, пры складанні затым квадратаў трох кампанент.
Вар'іраванне гэтага функцыяналу па u дае ўраўненне руху ў выглядзе звычайнага хвалевага ўраўнення незалежна для кожнай кампаненты u, гэта значыць для u_x, u_y, u_z.
Выпісанае дзеянне лёгка можа быць выкарыстана і для неаднароднага асяроддзя, гэта значыць для непастаянных \rho і :E, таксама яно прама абагульняецца на анізатропнае асяроддзе з тэнзарным E. Ва ўсіх гэтых выпадках ураўненне руху асяроддзя будзе ўжо прыкметна адрознівацца ад звычайнага хвалевага, але можа быць практычна гэтак жа лёгка атрымана вар'іраваннем гэтага дзеяння.

Дзеянне ў класічнай тэорыі поля[правіць | правіць зыходнік]

Дзеянне ў класічнай тэорыі поля выкарыстоўваецца для атрымання ўраўненняў поля (як свабодных, так і з крыніцамі) з прынцыпу стацыянарнага (найменшага) дзеяння (вар'іраваннем па палявых пераменным). Таксама яно выкарыстоўваецца для атрымання ўраўненняў руху часціц пры ўзаемадзеянні з дадзеным полем, таксама праз прынцып стацыянарнага (найменшага) дзеяння, але вар'іраваннем ўжо па каардынатах (а ў гамільтанавым варыянце — і па імпульсах) часціц.

Сам выгляд дзеяння для поля (які ўжываецца як у класічным, так і ў квантавым сэнсе) у агульным вельмі падобны на выгляд дзеяння для размеркаваных сістэм (у прыватнасці, для механічных размеркаваных сістэм, такіх, як струна, мембрана і т. п.). Гэта дазваляе ўсталяваць часам прамую, часам ўмоўную, аналогію паміж тым і другім выпадкам, хоць у дэталях тое і іншае можа прыкметна адрознівацца (так што прамая механічная аналогія магчымая не заўсёды, а часам яе проста аказваецца не занадта лёгка пабудаваць і выкарыстоўваць).

Часцей за ўсё (у выпадку лінейных палёў або вывучэння іх у лінейным набліжэнні) дзеянне мае досыць просты выгляд і распадаецца на тры члены:

S = S_f + S_{int} + S_s,

дзе S_f — «дзеянне вольнага поля» — якое істотнае для вывучэння паводзінаў поля без яго ўзаемадзеяння з «рэчывам» (іншымі палямі), S_{int} — член ўзаемадзеяння, з якога выводзіцца дзеянне «рэчывы» (іншых палёў) на дадзенае поле, S_s — дзеянне для свабоднага «рэчывы» (іншых палёў), якое вызначае іх паводзіны ў адсутнасць дадзенага поля, у прыватнасці, такія ўласцівасці «рэчывы», як яго інертнасць. Форма другога члена вызначае у ўраўненнях поля члены, якія прадстаўляюць яго крыніцу, і вызначае дзеянне дадзенага поля на «рэчыва» (іншыя поля), напрыклад, ураўненні руху зараджанай часціцы ў дадзеным полі (канкрэтней, сілы, якія дзейнічаюць на яе) выводзяцца з S_{int} і S_s.

Аднак для істотна нелінейных палёў такое разбіццё на тры асобных складнікаў, наогул кажучы, не атрымоўваецца (і нават пры вычлянення лінейнага набліжэння часцяком застаюцца пэўнага роду праблемы, хоць само па сабе яно часта бывае асэнсавана і магчыма). Напрыклад, у агульнай тэорыі адноснасці (і іншых метрычных тэорыях гравітацыі) гравітацыйнае поле трапляе ў член, які тычыцца «рэчывы» (і негравітацыйных палёў) у выглядзе метрыкі, якая ўваходзіць у элемент аб'ёму і ў каварыянтныя вытворныя. Гэты факт забяспечвае ўзаемадзеянне гравітацыі з «рэчывам», не патрабуючы асобнага члена S_{int} (выпадак так званай мінімальнай сувязі), і ён жа робіць ураўненне гравітацыйнага поля істотна нелінейным. Іншы прыклад (праўда, які адносіцца да квантавай тэорыі поля, але які мае і аналогіі ў класічнай): квантавая электрадынаміка — яе лінейнае набліжэнне пры разліку па тэорыі абурэнняў ў пятлявых дыяграмах прыводзіць да бясконцых бессэнсоўным вынікаў, звязаных з сапраўднай немагчымасцю вылучыць голыя (затравочные, неўзаемадзеючыя) палі зараджанай часціцы і электрамагнітнага поля. Шляхам вырашэння гэтай праблемы стала праграма перанарміровак, якая аднаўляе лагранжыян сапраўдных (тых, якія ўзаемадзейнічаюць) палёў.

Скалярнае поле[правіць | правіць зыходнік]

Сярод фундаментальных фізічных палёў скалярныя палі, хоць і прысутнічаюць у тэорыі, але пакуль само іх існаванне носіць у значнай меры гіпатэтычны характар, а ўласцівасці, адпаведна, дастаткова дрэнна вядомыя. Аднак гэта самы просты выпадак, да таго ж, акрамя фундаментальных палёў прадстаўляюць цікавасць такія макраскапічныя поля, як, напрыклад, поле ціску газу ў акустыцы, якое ў выпадку малых (і гладкіх) адхіленняў ад раўнавагі можа быць у пэўным сэнсе, прама прыпадобню абстрактнаму скалярнаму полю.

Найпростым выглядам дзеянні для скалярнага поля \phi, вядучым да лінейнага ураўнення поля, з'яўляецца выгляд:

S = 
S_f + S_{int} + S_s = 
\int \frac{1}{\alpha}(\frac{1}{c^2} (\partial_t \phi)^2 - (\nabla \phi)^2 - m^2 \phi^2) dV dt + S_{int} + S_s,

(Запісана ў форме, якая адпавядае полю ў трохмернай прасторы; тут \alpha — «сілавая канстанта», c — хуткасць распаўсюджвання хваль поля \phi, якая для фундаментальных палёў звычайна — каб не парушаўся прынцып адноснасці — павінна быць роўнай хуткасці святла, \nabla — трохмерны градыент, m — маса поля \phi (m = 0 для безмасавых палёў), dV — элемент трохмернага аб'ёму). Як бачым, S_f лорэнц-інварыянтна, і яго вельмі лёгка перапісаць у чатырохмерных пазначэннях, у якіх гэта яшчэ больш відавочна.

Будучы правар'іравана па \phi (для свабоднага поля, гэта значыць для S_{int} = S_s = 0), гэта дзеянне дае ураўненне Клейна — Гордана, а пры m = 0 — хвалевае ураўненне. Выпадак m^2 < 0 дае варыянт ураўнення Клейна — Гордана для тахіённага скалярнага поля, якое таксама можа мець прымяненне ў тэорыі (гэта поле з няўстойлівай раўнавагай пры \phi = 0 у бясконцай прасторы або без накладання межавых умоў, якія прыводзяць да устойлівасці).

  • Член ўзаемадзеяння S_{int} не будзем тут канкрэтызаваць, так як мы не разглядаем тут нейкае канкрэтнае скалярнае поле і яго ўзаемадзеянне з нечым канкрэтным яшчэ. Аднак заўважым, што калі мы не хочам парушэння прынцыпу адноснасці, гэты член павінен быць таксама Лорэнц-інварыянтным (як і S_f, S_s). Напрыклад, для ўзаемадзеяння з іншым скалярных полем u гэты член можа быць  const\cdot\int \phi u\, dV dt або const' \cdot \int (\partial_i \phi) (\partial^i u)\, d^4x або іх сумай і т. п.).

Электрамагнітнае поле[правіць | правіць зыходнік]

Стандартнае дзеянне для электрамагнітнага поля запісваецца так

S = S_f + S_{int} + S_s,

дзе

S_f = -\frac{1}{2\alpha} \int F_{ij}F^{ij} dx dy dz dt = \frac{1}{\alpha}\int (E^2 - H^2) dx dy dz dt

— дзеянне для свабоднага поля (F_{ij} тут — тэнзар электрамагнітнага поля, \alpha — канстанта, якая залежыць ад выкарыстоўванай сістэмы адзінак, маецца на ўвазе сумаванне па i,j па правілу Эйнштэйна),

член ўзаемадзеяння можа быць запісаны па-рознаму:

S_{int} = - \int A_i j^i dx dy dz dt

ці

S_{int} = - \int q A_i u^i d\tau = - \frac{1}{c}\int q A_i dx^i = \int (- q \phi + q \vec A \cdot \vec v /c) dt,

(Першая форма зручная для вываду ураўнення (ураўненняў) поля (з крыніцамі), а другая — для вываду ўраўнення руху зараджанай часціцы; тут A_i — электрамагнітны патэнцыял, qзарад часціцы, u^i — 4-хуткасць, d\tau — дыферэнцыял ўласнага часу (інтэрвалу, дзеленага на c), \phi і \vec A — электрычны і трохмерны вектарны патэнцыял, \vec v — трохмерная хуткасць, c — хуткасць святла, а dx^i = (dx^0,dx^1,dx^2,dx^3) = (c dt, dx,dy,dz) — чатырохмерныя прасторава-часавыя каардынаты; для некалькіх часціц варта ўзяць некалькі членаў такога выгляду — па адным для кожнай),

S_s — дзеянне для «рэчывы» (свабодных часціц), якое разам з S_{int} выкарыстоўваецца для высновы ўраўненняў руху зараджаных часціц. Для хуткіх («рэлятывісцкіх») часціц (гл. ніжэй) варта ўзяць (у грэбаванні спінам) дзеянне
S_s = -\int m c^2 d\tau = -\int m c^2 \sqrt{1 - v^2/c^2} dt,

дзе m — маса (маса спакою) часціцы, c — хуткасць святла, d\tau —дыферэнцыял ўласнага часу (для некалькіх часціц трэба ўзяць суму некалькіх членаў такога выгляду).

Калі ж рух часціц павольны у параўнанні з хуткасцю святла і досыць ньютанаўскага набліжэння, то можна ўзяць адпаведнае набліжанае дзеянне, звычайнае для класічнай механікі:

S_s = \int \frac{m v^2}{2} dt.

Прасцей за ўсё атрымаць ураўненні Максвела ў форме

\partial_i F^{ik} = \alpha j^k,

вар'іруючы запісанае вышэй дзеянне па A_i і выкарыстоўваючы вызначэнне F_{ij} = \partial_i A_j - \partial_j A_i.

Вар'іруючы па x^i, атрымліваюць ўраўненні руху, якія прасцей за ўсё выглядаюць у чатырохмернай форме:

d p^i/d\tau = m d u^i / d\tau = q F^i_j u^j,

дзе правая частка супадае з звычайнай сілай Лорэнца, якая можа быць таксама запісана (а пры жаданні і атрымана відавочна) і ў трохмерным выглядзе; гэта значыць, у трохмерным выглядзе ўраўненне руху будзе такім:

\frac {d \mathbf p}{dt} = q \mathbf E + q\ \mathbf v \times \mathbf B.

Рэлятывісцкае дзеянне[правіць | правіць зыходнік]

Дзеянне для электрамагнітнага поля (і яго член для свабоднаша поля, і член, які апісвае узаемадзеянне з токамі) з самага пачатку лорэнц-інварыянтны. Тое ж можна сказаць аб дзеянні для ўсіх фундаментальных палёў, вядомых у сучасных тэорыях (кажучы некалькі дакладней — у агульнапрызнаных тэорыях, якія прайшлі эксперыментальную праверку).

Аднак дзеянне класічнай (ньютанаўскай) механікі, не важна, у якой форме яно запісана, гамільтанавай або лагранжавай, не валодае уласцівасцю лорэнц-інварыянтнасці. Гістарычна ў пэўны момант (на мяжы XIX і XX стагоддзяў) паўстала неабходнасць прывесці механіку ў адпаведнасць з прынцыпам адноснасці, а значыць, зрабіць яе лорэнц-каварыянтнай. Найпросты шлях для гэтага — напісаць для часціцы («матэрыяльнага пункту») такое дзеянне, якое б было лорэнц-інварыянтным, а затым звычайнай працэдурай вар'іравання атрымаць з яго ўраўненне руху, якое будзе ўжо лорэнц-каварыянтным (набліжана, пры павольных рухаў, такая механіка павінна супадаць з ньютанаўскай, так як тая добра праверана для малых хуткасцяў).

Найпростае дзеянне для свабоднай часціцы, якое можна прапанаваць, зыходзячы з геаметрыі Мінкоўскага, — гэта велічыня, з дакладнасцю да пастаяннага множніка супадае з даўжынёй сусветнай лініі дадзенай часціцы (а меркаванні размернасці вызначаць каэфіцыент):

S = - \int mc^2 d\tau = - \int mc\ ds = -mc^2 \int u^i u_i\ d\tau = - mc^2 \int \sqrt{1 - v^2/c^2}\ dt,

дзе m — маса (маса спакою), \tau — уласны час, як вымяраецца ўздоўж лініі свету часціцы, ds — элемент інтэрвалу ўздоўж яе, u^i — 4-хуткасць, v — трохмерная хуткасць, t — час («каардынатны час», час лабараторнай сістэмы адліку).

Расклаўшы \sqrt{1 - v^2/c^2} ў парадку драбніцы велічыні v^2/c^2 (у выпадку, калі яна досыць малая, шмат менш адзінкі), лёгка атрымліваем нерэлятывісцкае дзеянне класічнай механікі:

S = - mc^2 \int \sqrt{1 - v^2/c^2} dt \approx \int (-mc^2 + \frac{mv^2}{2}) dt = const\cdot (t_2 - t_1) + \int \frac{mv^2}{2} dt = const\cdot (t_2 - t_1) + S_{newtonian}

дзе першы член можна адкінуць, так як ён не дае ніякага ўкладу ў ўраўненні руху (за выключэннем ўкладу ў ўраўненні гравітацыйнага поля, у якіх яго ўплыў не знікае нават у гэтым набліжэнні; тут жа ідзе гаворка пра ўраўненні руху самай часціцы, для якой напісана дзеянне, а гравітацыя ў эйнштэйнаўскім сэнсе не разглядаецца). Пры жаданні можна ў праробленым раскладанні захаваць і члены наступных парадкаў па v^2/c^2, якія даюць рэлятывісцкія папраўкі для выпадку малых хуткасцяў (замест таго, каб выкарыстоўваць дакладнае рэлятывісцкае дзеянне і дакладныя ўраўненні руху, калі такое чамусьці мэтазгодна).

Дзеянне ў тэорыі гравітацыі[правіць | правіць зыходнік]

Для ньютанаўскай тэорыі прыцягнення дзеянне можна б было запісаць як S = {1 \over 16\pi G}\int (\nabla \phi)^2 dxdydzdt + S_m, дзе S_m — дзеянне «матэрыі», як прынята казаць у тэорыях гравітацыі — гэта значыць усяго, акрамя гравітацыі, а \nabla \phi — трохмерны градыент гравітацыйнага патэнцыялу (што азначае бясконцую хуткасць распаўсюджвання гравітацыйнага ўзаемадзеяння). Гэтая велічыня відавочна не лорэнц-інварыянтная, таму, як і ўся класічная механіка, можа распаўсюджвацца — набліжана — на выпадак павольнага (у параўнанні з хуткасцю святла) руху і не вельмі моцных гравітацыйных палёў (хоць бы таму, што моцныя палі, наогул кажучы, будуць разганяць целы да вялікіх хуткасцяў). Ёсць шмат тэорый, якія тым ці іншым чынам ўносілі папраўкі ў гэтае дзеянне з мэтай зрабіць яго лорэнц-інварыянтным (гл. Альтэрнатыўныя тэорыі гравітацыі), аднак большасць з іх маюць цяпер толькі гістарычнае значэнне або наадварот пакуль не даказалі навуковаму супольнасці сваіх пераваг. Таксама некаторыя перспектыўныя для апісання гравітацыі (хоць і таксама даволі далёкія ад канчатковага зацвярджэння) тэорыі, такія, як, напрыклад, тэорыя струн і яе абагульненні, да таго ж досыць складаныя і ахопліваюць не толькі гравітацыю, таму заслугоўваюць асобнага разгляду.

Таму тут абмяжуемся тым, што прывядзем дзеянне, якое адпавядае асноўнай (няквантавай) тэорыі гравітацыі сучаснай фізікі — агульнай тэорыі адноснасці. Гэта дзеянне Эйнштэйна — Гілберта:

S={1\over 16\pi G}\int R \sqrt{-g}d^4 x+S_m\,,

дзе G\,гравітацыйная пастаянная Ньютана, R=R_\mu^\mu\,скалярная крывізна (скаляр Рычы) прасторы-часу, g=|g_{\mu\nu}|\, — вызначальнік матрыцы кампанентаў метрычнага тэнзару, а S_m\, — дзеянне для негравітацыйных палёў (масіўных часціц, электрамагнітнага поля і так далей).

Вар'іраваннем гэтага дзеяння па метрыцы g_{ij} прасторы-часу (якая іграе ролю гравітацыйнага патэнцыялу, г. зн. палявых зменных у гэтай тэорыі) атрымліваюцца ўраўненні Эйнштэйна (часам званыя таксама ураўненнямі Эйнштэйна — Гілберта) у выглядзе:

R_{\mu\nu} - {R \over 2}  g_{\mu\nu} = {8 \pi G \over c^4} T_{\mu\nu}

(Менавіта такім чынам іх атрымаў ўпершыню ў 1915 Гілберт, Эйнштэйн ішоў іншым шляхам).

Член ураўнення, які апісвае крыніцу гравітацыйнага поля (правая частка) атрымліваецца пры гэтым таму, што метрыка g_{\mu\nu}, па якой ажыццяўляецца вар'іраванне, уваходзіць і ў S_m = \int \mathcal L \sqrt{-g}d^4x як мінімум праз множнік \sqrt{-g}, які ўваходзіць у выраз элемента (чатырохмернага) аб'ёму (тут \mathcal L — шчыльнасць функцыі Лагранжа для «рэчывы» — гэта значыць усіх негравітацыйных палёў, а T_{\mu\nu} — іх тэнзар энергіі-імпульсу).

Дзеянне для гравітацыйнага поля АТА можа быць перапісана і ў іншым выглядзе, эквівалентным дадзеным за выключэннем межавых умоў (а калі межавыя чамусьці абнуляюцца, то ў цалкам эквівалентным), і які змяшчае пад інтэгралам замест тэнзару крывізны канструкцыю з \Gamma^\lambda_{\mu\nu}, якую можна інтэрпрэтаваць як квадрат напружанасці гравітацыйнага поля — гэта значыць у форме, аналагічнай таму, як звычайна запісваецца дзеянне для больш простых — скалярных і вектарных — палёў, напрыклад, электрамагнітнага.

Дапаўняючы ж напісанае вышэй дзеянне членам \int \Lambda \sqrt{-g}d^4 x, атрымліваем ураўненні Эйнштэйна з \Lambda-членам:

R_{\mu\nu} - {R \over 2}  g_{\mu\nu} + \Lambda g_{\mu\nu} = {8 \pi G \over c^4} T_{\mu\nu}

Цалкам здавальняючай квантавай тэорыі гравітацыі, наколькі вядома, у цяперашні час не існуе. Аднак многія з тэорый, якія з большай ці меншай падставай могуць прэтэндаваць на гэтую ролю, даюць звычайна эфектыўнае дзеянне Эйнштэйна — Гілберта ў нізкаэнергетычнай мяжы.

Дзеянне і квантавая механіка[правіць | правіць зыходнік]

Дзеянне для ферміённых палёў[правіць | правіць зыходнік]

Для ферміённых (у прыватнасці, для спінарных) палёў можна не толькі напісаць дзеянне, але і атрымаць фармальна класічныя ўраўненні для гэтых палёў, вар'іруючы такое дзеянне. Аднак у адрозненне ад базонных, ферміённыя паля назіраныя у іх класічным выглядзе горш, так як прынцып Паўлі забараняе больш чым аднаму ферміёну знаходзіцца ў адным стане, што дазволена для базонаў і дазваляе ім, знаходзячыся ў аднолькавым квантавым стане ў вялікай колькасці, назірацца як звычайнае класічнае поле, напрыклад, электрамагнітнае. Але пры гэтым ёсць тэарэма, якая сцвярджае (па меншай меры ў рамках прымянімасці тэорыі абурэнняў), што вынік другаснага квантавання для такіх ферміённых палёў супадае з інтэрпрэтацыяй такіх «класічных» палёў як хвалевых функцый ферміёнаў у сэнсе першаснага квантавання.

Такім чынам, напрыклад, атрыманае з дапамогай прынцыпу стацыянарнага дзеяння з той ці іншай формы запісу дзеяння для часціцы са спінам 12 ураўненне Дзірака мае прамое стаўленне да квантавага апісання такога ферміёна (напрыклад, электрона).

У ўраўненні Дзірака ёсць уласцівасць, якая прадстаўляе пэўную цяжкасць для атрымання яе з дзеяння з квадратычным лагранжыянам (ды і якім-небудзь іншым, калі карыстацца звычайнымі правіламі вар'іравання і лічыць кампаненты спінараш звычайнымі лікамі). Гэтая ўласцівасць — першы парадак вытворных ў ураўненні Дзірака.

Са становішча часам выходзяць, проста увёўшы штучныя фармальныя мадыфікацыі абмежавання на правілы вар'іравання або дзеянні аператараў вытворных.

Больш сістэматычны, па-відаць, падыход заключаецца ў тым, што ферміённыя поля (спінары і іх кампаненты) лічацца грасманавымі, г. зн. антыкамутуючымі лікамі, што змяняе знак членаў з вытворнымі першага і другога парадку па параўнанні з звычайным, з-за чаго члены другога парадку пры вар'іраванні знішчаюцца, а першага застаюцца.

Фейнманаўскі інтэграл па траекторыях[правіць | правіць зыходнік]

Фейнманаўскі інтэграл па траекторыях выкарыстоўваецца і ў дачыненні да квантавага апісання як кропкавых часціц у звычайнай прасторы, так і палёў (як размеркаваных сістэм) у канфігурацыйнай прасторы (і гэтая дастасавальнасць да абодвух выпадках у прынцыпе нядзіўна, паколькі фармальнае адрозненне паміж кропкавай часціцай і шматмернай, нават бясконцамернай, дынамічнай сістэмай — толькі ў размернасці канфігурацыйнай прасторы, што ў цэлым добра зразумела ўжо ў рамках класічнай механікі).

Калі дзеянне S[x] (у сутнасці, супадае з звычайным класічным дзеяннем, па меншай меры для сістэм, апісанне якіх не настолькі экзатычна, каб абцяжарваць такое словаўжыванне) вядома, гэта значыць яго можна напісаць для звычайнай класічнай траекторыі x(\tau) у «звычайнай» або канфігурацыйнай прасторы (\tau можа быць часам або проста зменнай пры параметрычным заданні ў чатырохмерным запісу), то квантавая хвалевая функцыя такой сістэмы c кропкавай крыніцай у прасторава-часовай кропцы x_1[1] можа быць запісана ў выглядзе функцыянальнага інтэграла

\Psi(x_2,x_1) = \int Dx e^{iS[x]/\hbar},

дзе x — траекторыя, якая пачынаецца ў x_1 і канчае ў x_2, інтэграл азначае сумаванне па ўсіх мажлівым такім траекторыям, для кожнай з якіх дзеянне S[x] мае сваё значэнне. Прычым у рэлятывісцкім выпадку сярод траекторый ёсць і траекторыі з ўчасткамі зваротнага руху ў часе, якія могуць быць інтэрпрэтаваныя як траекторыі віртуальнай антычасціцы ў часе наперад, а кропкі павароту — як віртуальнае нараджэнне і знішчэнне пар часціца-антычасціца.

У квантавай тэорыі поля ўжываецца інтэграванне як па траекторыях часціц у звычайным прасторы (дакладней, у прасторы-часу), якое звычайна называюць у гэтым выпадку першасным квантаваннем, так і па траекторыях ў прасторы палявых зменных, што завецца другасным квантаваннем. Той і іншы спосаб, наколькі вядома, дае эквівалентныя вынікі ў рамках тэорыі абурэнняў.

Фейнманаўскі інтэграл па траекторыях — адзін з найбольш папулярных у сучасных фізікаў-тэарэтыкаў спосабаў квантавання (пабудовы квантавай тэорыі). Адначасова гэта адзін з найбольш прамых спосабаў супастаўлення квантавай карціны з класічнай, што з'яўляецца адным з сур'ёзных яго псіхалагічных пераваг, так як кожная траекторыя ў ім у прынцыпе ўспрымаецца як класічная, а дзеянне вылічаецца ў дакладнасці па класічным рэцэпце, што ў шэрагу выпадкаў і аспектаў робіць тэорыю прыкметна больш агляднай і лёгка разумеецца, чым іншыя падыходы. У ліку іншага гэта ўласцівасць зручна для ажыццяўлення гранічнага пераходу да класікі (гл. ніжэй), і пераход да яе зыходзячы з інтэграла па траекторыях з'яўляецца ў гэтым сэнсе адным з найбольш стандартных шляхоў у сучаснай фізіцы. Тое ж адносіцца і да дастатковай выгады атрымання такім шляхам квазікласічнага набліжэння (таксама гл. ніжэй).

У шэрагу выпадкаў (вельмі абмежаваным — калі дзеянне квадратычна па каардынатах або палявых пераменным і іх вытворных, і інтэграл зводзіцца да шматмернага гаусава з гранічным пераходам да бясконцамернага выпадку) фейнманаўскі інтэграл па траекторыях можа быць вылічаны відавочна і дакладна. Практыкуецца яго разлік лікавымі метадамі. У многіх выпадках гэты інтэграл карысны ў розных пераўтварэннях і іншых тэарэтычных разліках.

Няцяжка ўсталяваць эквівалентнасць падыходу інтэгравання па траекторыях ураўнення Шродзінгера, па меншай меры пры трывіяльнай тапалагічнай сітуацыі.

Для свабодных (тых, якія не ўзаемадзейнічаюць адно з адным) палёў на пустым плоскім прасторы інтэграванне па траекторыях дазваляе часта атрымаць у відавочным выглядзе прапагатар, які аказваецца супадальным з прапагатарам, які атрымліваецца з дыферэнцыяльнага ураўнення для адпаведнага поля (напрыклад, з хвалевага ўраўнення для безмасавага скалярнага поля). Пры гэтым аказваецца, што для палёў, якія ўзаемадзейнічаюць, інтэграл па траекторыях з'яўляецца, бадай, найбольш натуральным (і папулярным сярод сучасных тэарэтыкаў) спосабам абгрунтавання тэхнікі дыяграм Фейнмана. Справа ў тым, што інтэграл па траекторыях для сістэмы часціц (палёў), якія ўзаемадзейнічаюць, лёгка разбіваецца на часткі, дзе ўзаемадзеяння няма (а вынік, як мы казалі ледзь вышэй, для гэтага выпадку вядомы — гэта прапагатАр, які адпавядае паводзінам свабоднага поля, які можа быць даволі лёгка вылічаны любым спосабам), дапоўненыя кропкавым узаемадзеяннем, якое ўжо зводзіцца да звычайнага канечнамернага інтэгравання — у адпаведнасці з правіламі Фейнмана.

Аднак квантаванне з дапамогай інтэграла па траекторыях не абмежавана тэорыяй абурэнняў (дыяграмамі Фейнмана). Гэты спосаб знаходзіць і больш нетрывіяльныя прымяненні, як у тэарэтычнай фізіцы, так і ў некаторых абласцях чыстай матэматыкі.[2][3][4]

Зноскі

  1. У сутнасці ў такой фармулёўцы гаворка ідзе пра прапагатары (функцыі Грына).
  2. Witten E. Quantum field theory and the Jones polynomial. — 1989. — В. 3. — Т. 121. — С. 351-399. — DOI:10.1007/BF01217730
  3. Alvarez-Gaume L. Supersymmetry and the Atiyah-Singer index theorem. — 1983. — В. 2. — Т. 90. — С. 161-173. — DOI:10.1007/BF01205500
  4. Kontsevich, M. Deformation quantization of Poisson manifolds. — 2003. — В. 3. — Т. 66. — С. 157-216. — DOI:10.1023/B:MATH.0000027508.00421.bf

Літаратура[правіць | правіць зыходнік]

Гл. таксама[правіць | правіць зыходнік]