Дыскрэтнае пераўтварэнне Абеля

З пляцоўкі Вікіпедыя
Перайсці да: рух, знайсці

У матэматычным аналізе дыскрэтным пераўтварэннем А́беля называецца наступная тоеснасць:

\sum\limits_{k=1}^N a_k b_k = \sum\limits_{k=1}^{N-1} B_k (a_k - a_{k+1}) + a_N B_N,

дзе элементы a_k, b_k зададзены, а B_k — частковая сума элементаў b_i (па індэксах ад 1 да k уключна):

B_k = \sum_{i=1}^k b_i = b_1 + b_2 + \dots + b_k.

Пераўтварэнне Абеля з'яўляецца дыскрэтным адпаведнікам інтэгравання па частках і іншы раз называецца сумаваннем па частках.

Пераўтварэнне было названа ў гонар нарвежскага матэматыка Нільса Хенрыка Абеля і выкарыстоўваецца пры доказе прыкметы збежнасці Дзірыхле.

У літаратуры пераўтварэнне Абеля можа сустракацца ў розных эквівалентных фармулёўках.

Доказ[правіць | правіць зыходнік]

Ёсць дзве паслядоўнасці (a_n) і (b_n), пры n \in \N. Разгледзім наступны рад:

S_N = \sum_{n=0}^N a_n b_n.

Абазначым

B_n = \sum_{k=0}^n b_k,

тады для ўсіх n > 0 маем

b_n = B_n - B_{n-1}.

Адкуль адразу ж атрымліваем

S_N = a_0 b_0 + \sum_{n=1}^N a_n (B_n - B_{n-1}),
S_N = a_0 b_0 - a_1 B_0 + a_N B_N + \sum_{n=1}^{N-1} B_n (a_n - a_{n+1}).

У выніку атрымліваем наступную роўнасць:

S_N = a_N B_N - \sum_{n=0}^{N-1} B_n (a_{n+1} - a_n).