Задача Кашы

З пляцоўкі Вікіпедыя
Перайсці да: рух, знайсці

Задача Кашы — адна з асноўных задач тэорыі дыферэнцыяльных раўнанняў (звычайных і з прыватнымі вытворнымі); складаецца ў знаходжанні рашэння (інтэграла) дыферэнцыяльнага раўнання, задавальняе так званым пачатковым умовам (пачатковым дадзеных).

Задача Кашы звычайна ўзнікае пры аналізе працэсаў, якiя вызначаюцца дыферэнцыяльным законам эвалюцыі і пачатковым станам (матэматычным выразам якіх і з'яўляюцца раўнанне і пачатковая ўмова). Гэтым матывуецца тэрміналогія і выбар пазначэнняў: пачатковыя дадзеныя задаюцца пры t=0, а рашэнне адшукваецца пры t>0.

Ад краявых задач задача Кашы адрозніваецца тым, што вобласць, у якой павінна быць вызначана шуканае рашэнне, тут загадзя не паказваецца. Тым не менш, задачу Кашы можна разглядаць як адну з краявых задач.

Асноўныя пытанні, якія звязаны з задачай Кашы, такія:

  1. Ці існуе (хоць бы лакальна) рашэнне задачы Кашы?
  2. Калі рашэнне існуе, то якая вобласць яго існавання?
  3. Ці з'яўляецца рашэнне адзіным?
  4. Калі рашэнне адзіна, то ці будзе яно карэктным, гэта значыць бесперапынным (у якім-небудзь сэнсе) адносна пачатковых дадзеных?

Кажуць, што задача Кашы мае адзінае рашэнне, калі яна мае рашэнне y=f(x) і ніякае іншае рашэнне не адказвае інтэгральнай крывой, якая ў калі заўгодна малым выкалатым наваколлі кропкі (x_0,y_0) мае поле напрамкаў, супадае з полем напрамкаў y=f(x). Кропка (x_0,y_0) задае пачатковыя ўмовы.

Розныя пастаноўкі задачы Кашы[правіць | правіць зыходнік]

  • ЗДР першага парадку, дазволенае адносна вытворнай
\left\{\begin{array}{lcl}y' &=& f(x,y) \\ y(x_0) &=& y_0\end{array}\right.
\left\{\begin{array}{lcl}y'_1 &=& f_1(x,y_1,\ldots,y_n) \\ & \ldots & \\ y'_n &=& f_n(x,y_1,\ldots,y_n) \\ y_1(x_0) &=& y_{01} \\ & \ldots & \\ y_n(x_0) &=& y_{0n} \end{array}\right\} \iff \left\{\begin{array}{lcl}\mathbf{y}' &=& \mathbf{f}(x,\mathbf{y}) \\ \mathbf{y}(x_0) &=& \mathbf{y_0}\end{array}\right.
  • ЗДР n-га парадку, дазволенае адносна старэйшай вытворнай
\left\{\begin{array}{lcl}y^{(n)} &=& f(x,y,\ldots,y^{(n-1)}) \\ y(x_0) &=& y_{01} \\ & \ldots & \\ y^{(n-1)}(x_0) &=& y_{0n} \end{array}\right\} \iff \left\{\begin{array}{lcl}y'_1 &=& y_2 \quad (=y') \\ & \ldots & \\ y'_{n-1} &=& y_n \quad (=y^{(n-1)}) \\ y'_n &=& f(x,y_1,\ldots,y_n) \\ y_1(x_0) &=& y_{01} \quad (=y(x_0)) \\ & \ldots & \\ y_n(x_0) &=& y_{0n} \quad (=y^{(n-1)}(x_0)) \end{array}\right.

Літаратура[правіць | правіць зыходнік]

  • БЭ ў 18 тамах., Т.8. Мн., 1999, С.202