Задача трох цел

З пляцоўкі Вікіпедыя.
Перайсці да: рух, знайсці
Прыблізныя траекторыі трох аднолькавых цел, якія знаходзіліся ў вяршынях нероўнабокавага трохвугольніка і якія валодалі нулявымі пачатковымі хуткасцямі

Задача трох цел (у астраноміі) - прыватная задача нябеснай механікі, якая складаецца ў вызначэнні адноснага руху трох цел (матэрыяльных кропак), якія ўзаемадзейнічаюць па законе прыцягнення Ньютана (напрыклад, Сонца, Зямлі і Месяца). У агульным выпадку не існуе вырашэння гэтай задачы ў выглядзе канчатковых аналітычных выразаў. Вядома толькі 5 дакладных рашэнняў для спецыяльных пачатковых хуткасцей і каардынат аб'ектаў.

Матэматычная фармуліроўка[правіць | правіць зыходнік]

Агульная задача трох цел у нябеснай механіцы з'яўляецца задачай з пачатковымі ўмовамі для сістэмы звычайных дыферэнцыяльных ураўненняў. Для зададзеных пачатковых умоў  q_j(0), \quad\dot q_j(0), j=1,\ldots,3 и  q_j(0) \neq q_k(0) для розных j і k, трэба знайсці рашэнне сістэмы ўраўненняў другога парадку :  m_j    \ddot{q_j}    = \gamma \sum\limits_{k\neq j }^{3}  \frac{m_j m_k({q_j}-{q_k})}{|q_j-q_k|^3}, j=1,\ldots,3 \qquad \qquad \qquad (1)

дзе  m_1, m_2, m_3 — масы цел, і  q_1, q_2, q_3 — іх трохмерныя вектарныя функцыі, якія залежаць ад часу t і апісваюць становішча гэтых мас.

Прыватныя рашэння[правіць | правіць зыходнік]

Ва ўсіх пяці вядомых на дадзены момант дакладных рашэннях адносіны адлегласцей паміж целамі застаюцца нязменнымі.

Першыя тры рашэнні былі знойдзеныя Эйлерам. Яны маюць месца, калі ўсе тры цела знаходзяцца на адной прамой. У гэтым выпадку маюць месца 3 магчымых паслядоўнасці размяшчэння (трэцяе цела знаходзіцца паміж дзвюма іншымі, альбо злева або справа ад абодвух). Такі рух называецца калінеарным.

Яшчэ два рашэнні знайшоў у 1772 Лагранжам. У іх трохвугольнік, утвораны целамі, захоўвае раўнабокасць, калі круціцца ў прасторы або па гадзіннікавай стрэлцы, альбо супраць гадзіннікавай стрэлкі.

У 2013 сербскія навукоўцы прадставілі 13 новых прыватных рашэнняў для задачы трох цел, пры якіх рух сістэмы з трох аднолькавых па масе аб'ектаў будзе адбывацца ў перыядычным цыкле.[1]

Агульны выпадак[правіць | правіць зыходнік]

Адносна агульнага выпадку Веерштрас прапанаваў такую ​​задачу

Няхай дадзена сістэма адвольнага ліку матэрыяльных пунктаў, якія ўзаемадзейнічаюць па законе Ньютана. Патрабуецца, у здагадцы, што не адбудзецца сутыкнення якіх-небудзь двух кропак, прадставіць каардынаты кожнай кропкі ў выглядзе шэрагаў па якіх-небудзь бесперапынным функцыям часу, раўнамерна збежных для ўсіх сапраўдных значэнняў гэтай зменнай.[2].

Прыблізнае рашэнне[правіць | правіць зыходнік]

Як відаць, сам Веерштрас, абапіраючыся на сваю знакамітую тэарэму аб апраксімацыі адвольнай функцыі паліномамі, жадаў атрымаць выраз для каардынат цел у выглядзе : 
\lim \limits_{n\rightarrow \infty}P_{n}(t), дзе P_{n} — некаторыя паліномы. Існаванне такіх паліномаў адразу вынікае з бесперапыннасці рашэння, але знайсці канструктыўны спосаб адшукання паліномаў да гэтага часу не ўдалося.

Дакладнае рашэнне[правіць | правіць зыходнік]

Брунс і Пуанкарэ даказалі, што сістэму дыферэнцыяльных ураўненняў для руху трох цел немагчыма звесці да інтэгравальнасці, расклаўшы яе на незалежныя ўраўненні. Адкрыццё паказала, што дынамічныя сістэмы не ізаморфныя. Простыя інтэграваныя сістэмы дапускаюць раскладанне на падсістэмы, якія не ўзаемадзейнічаюць, але ў агульным выпадку выключыць узаемадзеяння немагчыма.

Гл. таксама[правіць | правіць зыходнік]

Зноскі

  1. Lenta.ru: Наука и техника: Наука: Физики нашли новые решения ньютоновской задачи трех тел. Архівавана з першакрыніцы 21 сакавіка 2013. Праверана 17 сакавіка 2013.
  2. Погребысский И. Б. Комм. к Задаче трех тел Пуанкаре// Пуанкаре А. Избранные труды. Т. 2. М.: Наука, 1979. С.967-976.