Закон вялікіх лікаў

З пляцоўкі Вікіпедыя
Перайсці да: рух, знайсці

Закон вялікіх лікаў у тэорыі імавернасцей сцвярджае, што эмпірычнае сярэдняе (сярэдняе арыфметычнае) досыць вялікай канчатковай выбаркі з фіксаванага размеркавання блізка да тэарэтычнага сярэдняга (матэматычнага чакання) гэтага размеркавання. У залежнасці ад выгляду збежнасці адрозніваюць слабы закон вялікіх лікаў, калі мае месца збежнасць па імавернасці, і ўзмоцнены закон вялікіх лікаў, калі мае месца збежнасць амаль усюды.

Заўсёды знойдзецца такі канчатковы лік выпрабаванняў, пры якім з любой зададзенай наперад імавернасцю менш за 1 адносная частата з'яўлення некаторай падзеі будзе як заўгодна мала адрознівацца ад яго імавернасці.

Агульны сэнс закона вялікіх лікаў — сумеснае дзеянне вялікай колькасці аднолькавых і незалежных выпадковых фактараў прыводзіць да выніку, які у мяжы не залежыць ад выпадку.

На гэтай уласцівасці заснаваныя метады ацэнкі імавернасці на аснове аналізу канчатковай выбаркі. Наглядным прыкладам з'яўляецца прагноз вынікаў выбараў на аснове апытання выбаркі выбаршчыкаў.

Слабы закон вялікіх лікаў[правіць | правіць зыходнік]

Хай ёсць бясконцая паслядоўнасць (паслядоўны пералік) аднолькава размеркаваных і некарэляваных выпадковых велічынь \{X_i\}_{i=1}^{\infty}, вызначаных на адной імавернаснай прасторы (\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P}). Гэта значыць іх каварыяцыя \mathrm{cov}(X_i,X_j) = 0,\; \forall i \not=j. Хай \mathbb{E}X_i = \mu,\; \forall i\in \mathbb{N}. Пазначым S_n выбарачнае сярэдняе першых n членаў:

S_n = \frac{1}{n} \sum\limits_{i=1}^n X_i,\; n \in \mathbb{N}.

Тады S_n \to^{\!\!\!\!\!\! \mathbb{P}} \mu.

Гэта значыць для ўсякага станоўчага \varepsilon,


    \lim_{n\to\infty}\Pr\!\left(\,|S_n-\mu| < \varepsilon\,\right) = 1.

Узмоцнены закон вялікіх лікаў[правіць | правіць зыходнік]

Хай ёсць бясконцая паслядоўнасць незалежных аднолькава размеркаваных выпадковых велічынь \{X_i\}_{i=1}^{\infty}, вызначаных на адной імавернаснай прасторы (\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P}). Хай \mathbb{E}X_i = \mu,\; \forall i\in \mathbb{N}. Пазначым S_n выбарачнае сярэдняе першых n членаў:

S_n = \frac{1}{n} \sum\limits_{i=1}^n X_i,\; n \in \mathbb{N}.

Тады S_n \to \mu амаль заўсёды.

Гэта значыць


    \Pr\!\left( \lim_{n\to\infty} S_n = \mu \right) = 1.

Заўвагі[правіць | правіць зыходнік]

Прыведзеная фармулёўка слабага закона вялікіх лікаў мяркуе, што выпадковыя велічыні маюць другі момант. Аднак гэта не абавязкова. З ўзмоцненага закона вялікіх лікаў выцякае, што сумы S_n незалежных выпадковых велічынь імкнуцца да нуля і па імавернасці пры ўмове існавання толькі першага моманту.

Літаратура[правіць | правіць зыходнік]

  • Ширяев А. Н. Вероятность, — М.: Наука. 1989.
  • Чистяков В. П. Курс теории вероятностей, — М., 1982.