Квадратнае ўраўненне

З пляцоўкі Вікіпедыя.
Перайсці да: рух, знайсці

Квадра́тнае ўраўне́нне, або квадрато́вае раўна́нне[1] — гэта ўраўненне выгляду

 ax^2+bx+c=0,

дзе a, b, c — вызначаныя лікі, a ≠ 0, x — невядомая велічыня.

Развязанне ўраўнення[правіць | правіць зыходнік]

Тэарэма Віета[правіць | правіць зыходнік]

Лікі x_1 і x_2 ёсць каранямі квадратнага ўраўнення ax^2+bx+c=0 тады і толькі тады, калі спраўджваюцца роўнасці (так званыя формулы Віета):


\begin{cases}
x_1 + x_2 = -\frac{b}{a},\\
x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}.
\end{cases}

Заўвага 1: тэарэма Віета застаецца справядліваю незалежна ад таго, якія гэтыя карані: рэчаісныя ці камплексныя.

Заўвага 2: у выпадку, калі квадратнае ўраўненне мае кратны корань x_1 = x_2, формулы Віета прымаюць выгляд

2 x_1 = -\frac{b}{a},
x_1^2 = \frac{c}{a}.

Прыклад

Теарэмай Віета зручна карыстацца, калі каэфіцыенты квадратнага ўраўнення цэлыя, і старшы каэфіцыент a = 1. У такім выпадку, асабліва калі каэфіцыенты малыя, карані можна знайсці вусна, раскладаючы на множнікі свабодны каэфіцыент. Вось напрыклад, у нас ёсць ураўненне

x^2-x-6=0

(a = 1, b = -1, c = -6).

Неабходна, каб задавальняліся роўнасці

x_1\cdot x_2=-6,
x_1+x_2=1.

Лік 6 мае сваімі дзельнікамі лікі 2 і 3. Адзін з каранёў — адмоўны, бо здабытак каранёў роўны -6. Падбіраючы лікі так, каб іх сума была роўнай 1, атрымліваем, што

карані — гэта лікі 3 і -2.

Дыскрымінант[правіць | правіць зыходнік]

Перасячэнне парабалай восі x у залежнасці ад знака дыскрымінанта (ад колькасці рэчаісных каранёў)

Дыскрымінатам квадратнага ўраўнення ax^2+bx+c=0 называецца велічыня

D=b^2-4ac.
  • Калі D > 0, карані вылічваюць па формуле
x_{1,2}=\frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}.
  • Калі D = 0, карані вылічваюць па формуле
x_1=x_2=\frac{-b}{2a}.
  • Калі D < 0, рэчаісных каранёў няма.

Заўвага: калі D < 0, існуюць два камплексныя карані, якія вылічваюцца па формуле

x_{1,2}=\frac{-b \pm i\sqrt{|D|}}{2a},

дзе i — так званая ўяўная адзінка, якая азначаецца як лік, квадрат якога роўны -1:

i^2 = -1.

Прыклад

Разгледзім тое ж ураўненне

x^2-x-6=0

(a = 1, b = -1, c = -6).

Вылічым дыскрымінант D=(-1)^2 - 4\cdot 1\cdot (-6)=25.

Падстаўляем значэнні ў формулы і атрымліваем:

x_1=\frac{-(-1)+\sqrt{25}}{2\cdot 1}=\frac{1+5}{2}=3,
x_2=\frac{-(-1)-\sqrt{25}}{2\cdot 1}=\frac{1-5}{2}=-2.

Зноскі

  1. Матэматычная энцыклапедыя / гал. рэд. В. Бернік — Мінск: Тэхналогія, 2001.