Кальцо, алгебра

З пляцоўкі Вікіпедыя
(Пасля перасылкі з Колца, алгебра)
Перайсці да: рух, знайсці

Кальцо́, ці ко́лца[1] — мноства R з дзвюма аперацыямі, якія ўмоўна называюцца «складаннем» (" + ") і «множаннем» (" \cdot "), прычым адносна складання R ёсць абелева група, а «множанне» ўзгоднена са «складаннем» паводле размеркавальнага закона.

Прыкладам кальца з'яўляецца мноства \Z цэлых лікаў разам са звычайнымі складаннем і множаннем.

Адмысловым выпадкам кальца з'яўляецца поле, якое адметна найперш тым, што для любога ненулявога элемента існуе адваротны (адносна множання), у выніку чаго становіцца магчымым вызначыць аперацыю дзялення. А вось у кальцы, у агульным выпадку, гэта не так.

Строгае азначэнне[правіць | правіць зыходнік]

Азначэнне кальца[правіць | правіць зыходнік]

Кальцо́м называецца мноства R з аперацыямі складання (" + ") і множання (" \cdot "), якія задавальняюць наступныя ўмовы:

  1. \left(R,+\right) ёсць абелеваю групайнейтральным элементам 0)
  2. Складанне і множанне падпарадкоўваюцца размеркавальнаму закону: для любых a, b, c \in R справядліва:
    a\cdot\left(b+c\right) = a\cdot b+a\cdot c, (левы размеркавальны закон)
     \left(a+b\right)\cdot c= a\cdot c+b\cdot c (правы размеркавальны закон)


Заўвага 1: у азначэнні кальца на аперацыю «множання» накладваецца толькі адна ўмова — размеркавальны закон (правы і левы). І таму, ўвогуле кажучы, у кальцы можа не існаваць адзінкі (адносна «множання»), «множанне» можа быць неперамяшчальным (некамутатыўным), могуць існаваць дзельнікі нуля і г.д.

Заўвага 2: наяўнасць двух размеркавальных законаў неабходна, таму што «множанне» можа быць неперамяшчальным (г.зн. значэнне «здабытку» залежыць ад парадку множнікаў).

Аксіёмы кальца[правіць | правіць зыходнік]

Мноства R з аперацыямі складання (" + ") і множання (" \cdot ") з'яўляецца кальцом, калі і толькі калі яно разам з аперацыямі задавальняе сістэму аксіём, якія называюцца аксіёмамі кальца:

  1. Уласцівасці складання:
    1. a+(b+c) = (a+b)+c (спалучальны закон)
    2. a+b = b+a (перамяшчальны закон)
    3. Існуе элемент 0\in R такі, што 0+a=a (нейтральны элемент)
    4. Для кожнага a\in R існуе адваротны адносна складання элемент -a, такі што (-a)+a=0 (процілеглы элемент)
  2. Узгодненасць (або дапасаванасць) складання і множання:
    a\cdot\left(b+c\right) = a\cdot b+a\cdot c, (левы размеркавальны закон)
     \left(a+b\right)\cdot c= a\cdot c+b\cdot c (правы размеркавальны закон)


Заўвага: дзеля зручнасці, у фармулёўках аксіём прапушчаны словы ўзору "для любых a, b, c \in R ".

Крыніцы[правіць | правіць зыходнік]

  • Винберг Э.Б. Курс алгебры — Москва: Факториал Пресс, 2002.

Зноскі

  1. Матэматычная энцыклапедыя / Гал. рэд. В.Бернік — Мінск: Тэхналогія, 2001.