Колца, алгебра

Ко́лца (або кальцо́) − мноства R з дзвюма аперацыямі, якія ўмоўна называюцца "складаннем" (" $+$ ") і "множаннем" (" $\cdot$ "), прычым адносна складання R ёсць абелевай групай, а "множанне" ўзгоднена са "складаннем" паводле размеркавальнага закона.

Прыкладам колца ёсць мноства $\Z$ цэлых лікаў разам са звычайнымі складаннем і множаннем.

Адмысловым выпадкам колца ёсць поле, якое адметна найперш тым, што для любога ненулявога элемента існуе адваротны (адносна множання), у выніку чаго становіцца магчымым вызначыць аперацыю дзялення. А вось у колцы, у агульным выпадку, гэта не так.

Строгае азначэнне

Азначэнне колца

Ко́лцам называецца мноства R з аперацыямі складання (" $+$ ") і множання (" $\cdot$ "), якія задавальняюць наступныя ўмовы:

1. $\left(R,+\right)$ ёсць абелеваю групай (з нейтральным элементам 0)
2. Складанне і множанне падпарадкоўваюцца размеркавальнаму закону: для любых $a, b, c \in R$ справядліва:

   $a\cdot\left(b+c\right) = a\cdot b+a\cdot c,$ (левы размеркавальны закон)

   $\left(a+b\right)\cdot c= a\cdot c+b\cdot c$ (правы размеркавальны закон)

Заўвага 1: у азначэнні колца на аперацыю "множання" накладваецца толькі адна ўмова − размеркавальны закон (правы і левы). І таму, ўвогуле кажучы, у колцы можа не існаваць адзінкі (адносна "множання"), "множанне" можа быць неперастаўляльным, могуць існаваць дзельнікі нуля і г.д.

Заўвага 2: наяўнасць двух размеркавальных законаў неабходна, таму што "множанне" можа быць неперастаўляльным (г.зн. значэнне "здабытку" залежыць ад парадку множнікаў).

Аксіёмы колца

Мноства R з аперацыямі складання (" $+$ ") і множання (" $\cdot$ ") ёсць колцам, калі і толькі калі яно разам з аперацыямі задавальняе сістэму аксіём, якія называюцца аксіёмамі колца:

1. Уласцівасці складання:
   1. $a+(b+c) = (a+b)+c$ (спалучальны закон)
   2. $a+b = b+a$ (перастаўляльны закон)
   3. Існуе элемент $0\in R$ такі, што $0+a=a$ (нейтральны элемент)
   4. Для кожнага $a\in R$ існуе адваротны адносна складання элемент $-a$, такі што $(-a)+a=0$ (процілеглы элемент)
2. Узгодненасць (або дапасаванасць) складання і множання:

   $a\cdot\left(b+c\right) = a\cdot b+a\cdot c,$ (левы размеркавальны закон)

   $\left(a+b\right)\cdot c= a\cdot c+b\cdot c$ (правы размеркавальны закон)

Заўвага: дзеля зручнасці, у фармулёўках аксіём прапушчаны словы ўзору "для любых $a, b, c \in R$ ".

Крыніцы

• Винберг Э.Б. Курс алгебры — Москва: Факториал Пресс, 2002.