Лорэнц-каварыянтнасць

З пляцоўкі Вікіпедыя.
Перайсці да: рух, знайсці

Лорэнц-каварыянтнасць — уласцівасць фізічных законаў запісвацца аднолькава ва ўсіх інерцыйных сістэмах адліку (з улікам пераўтварэнняў Лорэнца). Прынята лічыць, што гэтай уласцівасцю павінны валодаць усе фізічныя законы, і эксперыментальных адхіленняў ад яго не выяўлена. Аднак некаторыя тэорыі пакуль не ўдаецца пабудаваць так, каб выконвалася Лорэнц-каварыянтнасць [Крыніца?].

Тэрміналогія[правіць | правіць зыходнік]

Лорэнц-каварыянтнасць фізічных законаў[правіць | правіць зыходнік]

Лорэнц-каварыянтнасць фізічных законаў — канкрэтызацыя прынцыпу адноснасці (г. зн. пастулюемага патрабавання незалежнасці вынікаў фізічных эксперыментаў і запісу ўраўненняў ад выбару канкрэтнай сістэмы адліку). Гістарычна гэтая канцэпцыя стала вядучай пры ўключэнні ў сферу дзеяння прынцыпу адноснасці (які раней фармуляваўся з ужываннем не пераўтварэнняў Лорэнца, а пераўтварэнняў Галілея) максвелаўскай электрадынамікі, ужо тады Лорэнц-каварыянтную і якая не мела бачных магчымасцяў пераробкі для каварыянтнасці адносна пераўтварэнняў Галілея, што прывяло да распаўсюджвання патрабавання Лорэнц-каварыянтнасці і на механіку і з прычыны гэтага да змены апошняй.

Лорэнц-інварыянтныя велічыні[правіць | правіць зыходнік]

Лорэнц-інварыянтнасцю называюць уласцівасць якой-небудзь велічыні захоўвацца пры пераўтварэннях Лорэнца (звычайна маецца на ўвазе скалярная велічыня, аднак сустракаецца і прымяненне гэтага тэрміну да 4-вектараў або тэнзараў, маючы на ўвазе не іх канкрэтнае ўяўленне, а «самі геаметрычныя аб'екты»).

Паводле тэорыі уяўленняў групы Лорэнца, Лорэнц-каварыянтныя велічыні, акрамя скаляраў, будуюцца з 4-вектараў, спінараў і іх тэнзарных здабыткаў (тэнзарныя палі).

«Інварыянтнасць» vs «каварыянтнасць»[правіць | правіць зыходнік]

У апошні час намецілася выцясненне тэрміна Лорэнц-каварыянтнасць тэрмінам Лорэнц-інварыянтнасць, які ўсё часцей ужываецца роўна і да законаў (ураўнанням), і да велічынь[Крыніца?]. Цяжка сказаць, ці з'яўляецца гэта ўжо нормай мовы, ці ўсё ж хутчэй за некаторыя вольнасці ужывання. Аднак у больш старой літаратуры мелася тэндэнцыя строгага размежавання гэтых тэрмінаў: першы (каварыянтнасць) выкарыстоўваўся ў адносінах да ўраўненням і шматкампанентным велічыням (прадстаўленням тэнзараў, у тым ліку вектараў, і самім тэнзарам, т. я. часта не праводзілася тэрміналагічнай грані паміж тэнзарам і наборам яго кампанент), маючы на ​​ўвазе ўзгодненае змяненне кампанент усіх, хто ўваходзіў у роўнасці велічынь або проста узгодненая адзін з адным змена кампанент розных тэнзараў (вектараў); другі ж (інварыянтнасць) прымяняўся, як больш прыватны, да скаляраў (таксама да скалярных выразаў), маючы на ​​ўвазе простую нязменнасць велічыні.

Прыклады[правіць | правіць зыходнік]

Скаляры[правіць | правіць зыходнік]

Сінонімам слоў Лорэнц-інварыянтная велічыня ў 4-мерным прасторава-часовым фармалізме з'яўляецца тэрмін скаляр, які для поўнай канкрэтызацыі маецца на ўвазе кантэксту часам называюць Лорэнц-інварыянтным скалярам.

Інтэрвал:

\Delta s^2=\eta_{ab} x^a x^b=c^2 \Delta t^2 - \Delta x^2 - \Delta y^2 - \Delta z^2\

Уласны час: пры раўнамерным руху:

\Delta \tau = \sqrt{\frac{\Delta s^2}{c^2}},\, \Delta s^2 > 0

у агульным выпадку :

\Delta \tau = \int d\tau = \frac 1c\int \sqrt{(ds)^2} = \int \sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}} dt,\ \ дзе ~v — велічыня трохмернай хуткасці, прычым маецца на ўвазе, што ўсюды ~(ds)^2 > 0, v<c .

Дзеянне для масіўнай бесструктурнай кропкавай часціцы масы m:

S = mc^2\Delta \tau =mc\int \sqrt{(ds)^2} = mc^2\int \sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}} dt

Інварыянтная маса m:

m^2 c^2 =\eta_{ab} p^a p^b= \frac{E^2}{c^2} - p_x^2 - p_y^2 - p_z^2

Электрамагнітныя інварыянты (з тэорыі Максвела) :

F_{ab} F^{ab} = \ 2 \left( B^2 - \frac{E^2}{c^2} \right)
G_{cd}F^{cd}=\epsilon_{abcd}F^{ab} F^{cd} = \frac{2}{c} \left( \vec B \cdot \vec E \right)

Хвалевы аператар (аператар Даламбера):

\Box = \eta^{\mu\nu}\partial_\mu \partial_\nu  = \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2} - \frac{\partial^2}{\partial x^2} - \frac{\partial^2}{\partial y^2} - \frac{\partial^2}{\partial z^2}

(пры дадзеным выбары сігнатуры метрыкі Мінкоўскага η прыведзены выгляд аператара супадае з традыцыйным вызначэннем аператара Даламбера з дакладнасцю да знака).

4-вектары[правіць | правіць зыходнік]

x^a = [ct, x, y, z]\
\partial_a = \left[ \frac{1}{c}\frac{\partial}{\partial t}, \frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial y}, \frac{\partial}{\partial z} \right]
U^a = \frac{dx^a}{d\tau} = \frac{1}{\sqrt{1 - v^2/c^2}} \left[c, v_x, v_y, v_z\right],
где v_x = \frac{dx}{dt}, v_y = \frac{dy}{dt}, v_z = \frac{dz}{dt}, v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2 + v_z^2}
p^a = m_0 U^a = \left[\frac{E}{c}, p_x, p_y, p_z\right]
j
^a = [c\rho, j_x, j_y, j_z]\

Тэнзары[правіць | правіць зыходнік]

\delta^a_b = \begin{cases} 1 & \mbox{if } a = b, \\ 0 & \mbox{if } a \ne b. \end{cases}
\eta_{ab} = \eta^{ab} = \begin{cases} 1 & \mbox{if } a = b = 0, \\ -1 & \mbox{if }a = b = 1, 2, 3, \\ 0 & \mbox{if } a \ne b. \end{cases}
\epsilon_{abcd} = -\epsilon^{abcd} = \begin{cases} +1 & \mbox{if } \{abcd\} \mbox{ is an even permutation of  } \{0123\}, \\ -1 & \mbox{if } \{abcd\} \mbox{ is an odd permutation of  } \{0123\}, \\ 0 & \mbox{otherwise.} \end{cases}
F_{ab} = \begin{bmatrix} 0 & E_x/c & E_y/c & E_z/c \\ -E_x/c & 0 & -B_z & B_y \\ -E_y/c & B_z & 0 & -B_x \\ -E_z/c & -B_y & B_x & 0 \end{bmatrix}
G_{cd} = \frac{1}{2}\epsilon_{abcd}F^{ab} = \begin{bmatrix} 0 & B_x & B_y & B_z \\ -B_x & 0 & -E_z/c & E_y/c \\ -B_y & E_z/c & 0 & -E_x/c \\ -B_z & -E_y/c & E_x/c & 0 \end{bmatrix}

Гл. таксама[правіць | правіць зыходнік]