Матрыца, матэматыка

Матрыца — табліца пэўных элементаў (найчасцей — лікаў). Матрыцы выкарыстоўваюцца для вырашэння сістэм лінейных ураўненняў і для лінейных пераўтварэнняў.

Абазначэнні

Матрыца складаецца са слупкоў і радкоў. Калі яна складаецца з $n$ радкоў і $m$ слупкоў, то кажуць, што памер матыцы роўны $n*m$. Элемент, які знаходзіцца ў i-тым радку і j-тым слупку абазначаецца $a_{ij}$ .

Матрыца, у якой колькасць радкоў ці слупкоў роўная 1, называецца вектарам.

Матрыцы называюцца роўнымі, калі іх адпаведныя элементы роўныя паміж сабой:

$A=B: a_{ij}=b_{ij}\,$ .

Прыклад

$A=\begin{bmatrix} 3 & 0 & -2 & 4 \\ 4 & 10 & 0 & 1\end{bmatrix}$

А — матрыца памера $2*4$. Складаецца з 2-х радкоў і 4-х слупкоў.

Аперацыі з матрыцамі

Сума

Складанне матрыц заключаецца ў складанні іх адпаведных элементаў. Каб матрыцы можна было скласці, іх памеры павінны супадаць.

$C=A+B: c_{ij}=a_{ij}+b{ij}$

Памнажэнне на лік

Каб памножыць матрыцу на лік, трэба памножыць кожны яе элемент на гэты лік.

$2 \begin{bmatrix} 1 & 8 & -3 \\ 4 & -2 & 5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2\times 1 & 2\times 8 & 2\times -3 \\ 2\times 4 & 2\times -2 & 2\times 5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 16 & -6 \\ 8 & -4 & 10 \end{bmatrix}$

Здабытак

Каб перамножыць 2 матрыцы, трэба каб колькасць слупкоў у першай супадала з колькасццю радкоў ў 2-ой. Здабытак будзе мець радкоў як у першай і слупкоў як ў 2-ой матрыцы. Кожны элемент здабытку вылічваецца па наступнай формуле:

Сістэмы лінейных ураўненняў

Сістэму лінейных ураўненняў

$a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \cdots + a_{1n} = b_1$

$a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \cdots + a_{2n} = b_2$

$\cdots \cdots \cdots \cdots \cdots$

$a_{n1}x_1 + a_{n2}x_2 + \cdots + a_{nn} = b_n$

можна запісаць у выглядзе здабытку

$AX = B\,$

Рашэнне гэтай сістэмы заключаецца ў знаходжанні адваротнай матрыцы А-1, бо калі мы памножым папярэдняе ўраўненне на гэтую матрыцу

$A^{-1}AX = A^{-1}B\,$

то зможам атрымаць слупок

$X = A^{-1}B\,$

Віды матрыц

• Нулевая матрыца — матрыца, ў якой усе элементы роўныя 0.
• Квадратная матрыца — матрыца, у якой колькасць радкоў і слупкоў супадае.
• Адзінкавая матрыца — матрыца, у якой усе элементы, якія знаходзяцца на асноўнай дыяганалі (аій: і=й) роўныя адзінцы, а ўсе астатнія роўныя 0.
• Выраджаная матрыца — матрыца, дэтэрмінант якой роўны 0.
• Транспанаваная матрыца — матрыца, у якой слупкі і радкі перамененыя месцамі.
• Адваротная матрыца — матрыца, памнажэнне на якую дае адзінкавую матрыцу.
• Сіметрычная матрыца — матрыца, якая супадае са сваёй транспанаванай матрыцай.
• Трохвугольная матрыца — матрыца, у якой усе элементы ніжэй (вышэй) асноўнай дыяганалі роўныя 0.