Матрыца Якобі

З пляцоўкі Вікіпедыя
Перайсці да: рух, знайсці

Матрыца Яко́бі[Заўв 1] адлюстравання \mathbf{u}\colon\R^n\to\R^m у пункце x\in \R^n апісвае галоўную лінейную частку адвольнага адлюстравання \mathbf{u} у пункце x.

Названа ў гонар нямецкага матэматыка Карла Яко́бі.

Азначэнне[правіць | правіць зыходнік]

Няхай вызначана адлюстраванне \mathbf{u}:\R^n\to\R^m, \mathbf{u}=(u_1, \ldots ,u_m), u_i = u_i(x_1, \ldots , x_n), i = 1, \ldots , m , якое ў некаторым пункце x мае ўсе частковыя вытворныя першага парадку. Матрыца J, састаўленая з частковых вытворных гэтых функцый у пункце x, называецца матрыцаю Якобі дадзенай сістэмы функцый.


J(x) = \begin{pmatrix}
{\partial u_1 \over \partial x_1}(x) & {\partial u_1 \over \partial x_2}(x) & \cdots & {\partial u_1 \over \partial x_n}(x) \\
{\partial u_2 \over \partial x_1}(x) & {\partial u_2 \over \partial x_2}(x) & \cdots & {\partial u_2 \over \partial x_n}(x) \\
\cdots & \cdots & \cdots &\cdots \\
{\partial u_m \over \partial x_1}(x) & {\partial u_m \over \partial x_2}(x) & \cdots & {\partial u_m \over \partial x_n}(x)
\end{pmatrix}

Звязаныя азначэнні[правіць | правіць зыходнік]

  • Калі m = n, то вызначнік |J| матрыцы Якобі называецца вызначнікам Якобі ці якабія́нам сістэмы функцый  u_1, \ldots, u_n .
  • Адлюстраванне называюць нявыраджаным, калі яго матрыца Якобі мае найбольшы магчымы ранг:
    \operatorname{rank} J = \min(m,n).

Уласцівасці[правіць | правіць зыходнік]

  • Калі ўсе u_i непарыўна дыферэнцавальныя ў наваколлі \mathbf{x}_0, то
    \mathbf{u}(x)=\mathbf{u}(x_0)+J(x_0)(\mathbf{x}-\mathbf{x}_0)+o(|\mathbf{x}-\mathbf{x}_0|).
  • Няхай \varphi\colon \Bbb{R}^n \to \Bbb{R}^m ,~\psi\colon \Bbb{R}^m \to \Bbb{R}^k — дыферэнцавальныя адлюстраванні, J_\varphi,J_\psi — іх матрыцы Якобі. Тады матрыца Якобі кампазіцыі адлюстраванняў роўная здабытку іх матрыц Якобі:
    J_{\psi \circ \varphi}(x) = J_\psi(\varphi(x)) J_\varphi(x).

Заўвагі[правіць | правіць зыходнік]

  1. Распаўсюджана няправільнае вымаўленне «матрыца Я́кабі».