Медыяна трохвугольніка

З пляцоўкі Вікіпедыя
Перайсці да: рух, знайсці
Трохвугольнік і яго медыяны.

Медыя́на трохвуго́льніка (лац.: mediāna — сярэдняя) ― адрэзак унутры трохвугольніка, якія злучае вяршыню трохвугольніка з сярэдзінаю процілеглай стараны, а таксама прамая, якая ўтрымлівае гэты адрэзак.

Уласцівасці[правіць | правіць зыходнік]

  • Медыяны трохвугольніка перасякаюцца з адным пункце, які называецца цэнтроідам ці цэнтрам цяжару трохвугольніка, і дзеляцца гэтым пунктам на дзве часткі ў адносіне 2:1, лічачы ад вяршыні.
  • Медыяна разбівае трохвугольнік на два роўнавялікія трохвугольнікі.
  • Трохвугольнік дзеліцца трыма медыянамі на шэсць роўнавялікіх трохвугольнікаў.
  • Большай старане трохвугольніка адпавядае меншая медыяна.
  • З вектараў, утвараючых медыяны, можна скласці трохвугольнік.
  • Пры афінных пераўтварэннях медыяна пераходзіць у медыяну.
  • Формула медыяны праз стораны (выводзіцца з тэарэмы Сцюарта ці дабудоваю да паралелаграма і выкарыстаннем роўнасці ў паралелаграме сумы квадратаў старон і сумы квадратаў дыяганалей):
    m_c =\frac{\sqrt{2a^2+2b^2-c^2}}{2},
    дзе mc — медыяна к старане c; a, b, c — стораны трохвугольніка,
  • У прыватнасці, сума квадратаў медыян адвольнага трохвугольніка ў 4/3 раза меншая за суму квадратаў яго старон:
    m_a^2 + m_b^2 + m_c^2 = \frac34 (a^2 + b^2 + c^2).
  • Формула стараны праз медыяны:
    a=\frac{2}{3}\sqrt {2 (m_b^2 + m_c^2) - m_a^2},
    дзе m_a, m_b, m_c медыяны да адпаведных старон трохвугольніка, a, b, c — стораны трохвугольніка.

Гл. таксама[правіць | правіць зыходнік]

Спасылкі[правіць | правіць зыходнік]