Мнагачлен

З пляцоўкі Вікіпедыя
Перайсці да: рух, знайсці
Графік кубічнага мнагаскладу

Мнагачле́н, або мнагаскла́д[1], паліном — алгебраічная сума концай колькасці адначленаў [2], г.зн. складнікаў выгляду


a_{k_1,k_2,\dots,k_n} x_1^{k_1} x_2^{k_2} \dots x_n^{k_n},

дзе a_{k_1,k_2,\dots,k_n} — пэўны лік (каэфіцыент), x1, x2, ... ,xn — зменныя, k1, k2, ... ,kn — цэлыя неадмоўныя лікі.

Мнагачлен ступені n ад адной зменнай x мае выгляд:


f(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_0,

дзе a0, a1, ... ,an — сталыя (пастаянныя) лікі, называныя каэфіцыентамі мнагачлена.

Інакш кажучы, мнагачлен — гэта матэматычны выраз концай даўжыні, збудаваны са зменных і каэфіцыентаў толькі шляхам складання, адымання, множання і ўзвядзення ў неадмоўную цэлую ступень (г.зн. могуць прысутнічаць натуральныя ступені зменных і нулявая ступень). Аднак дзяленне сталых адна на адну можа прысутнічаць, бо па сутнасці дзяленне можна прадставіць праз множанне. Напрыклад, x2x/4 + 7 − мнагачлен, а x2 − 4/x + 7x3/2 − не, таму што ягоны другі складнік (4/x) утрымлівае дзяленне на зменную x, і да таго ж, ягоны трэці складнік утрымлівае няцэлую ступень зменнай.

Часцей за ўсё, у выпадках, калі нейкая велічыня можа быць запісана ў выглядзе мнагачлена ад нейкага параметра, у якасці прыметніка ўжываецца слова "палінаміяльны", вытворнае ад запазычанага з лацінскай мовы слова "паліном" (лац.: polynomial); напрыклад, паняцце палінаміяльны час, што ўжываецца ў тэорыі складанасці вылічэнняў.

Слова "паліном" (лац.: polynomial) было ўтворана ад грэчаскага "poly", "многа" і сярэдневечнага лацінскага "binomium", "двухчлен". Само гэта слова ўвёў у латынь Франсуа Віет [3].

Мнагачлены сустракаюцца ў шматлікіх галінах матэматыкі і навукі. Напрыклад, яны выкарыстоўваюцца для пабудовы сістэм алгебраічных ураўненняў, якія апісваюць самыя разнастайныя працэсы і з'явы, ад найпрасцейшых да найскладанейшых. Імі карыстаюцца пры вызначэнні палінаміяльных функцый, якія шырока ўжываюцца ў навуцы, пачынаючы з прыродазнаўчых навук аж да эканомікі і сацыяльных навук. Мнагачлены выкарыстоўваюцца ў матэматычным і лікавым аналізе для набліжэння іншых функцый. У вышэйшай матэматыцы мнагачлены выкарыстоўваюцца пры пабудове палінаміяльных колцаў, якія з'яўляюцца адным з найважнейшых паняццяў у абстрактнай алгебры і алгебраічнай геаметрыі.

Віды[правіць | правіць зыходнік]

Мнагачлен (мнагасклад) ад адной зменнай − гэта выраз выгляду

 c_n x^n  + \dots + c_1 x + c_0,

дзе c_i − сталыя каэфіцыенты, а x − зменная.

Прыклад:  x^{10} + 15 x^7 - 11 x^5 + 1.

Мнагачлен ад k зменных − концая сумма, пабудаваная са складнікаў выгляду

 c_{i_1,i_2,\ldots,i_k} x_1^{i_1} x_2^{i_2}\ldots x_k^{i_k},

дзе c_{i_1,i_2,\dots,i_k} − сталыя каэфіцыенты, x_1, x_2,\ldots x_k − зменныя, i_1, i_2, \dots, i_k − сталыя неадмоўныя лікі.

Прыклад:  17 + 12 x - y - x^2 + 16 xy + 5 y^7 − мнагачлен ад двух зменных.

Адначлен − найпрасцейшы мнагачлен, які ўтрымлівае толькі адзін складнік  c_{i_1,i_2,\ldots,i_k} x_1^{i_1} x_2^{i_2}\ldots x_k^{i_k}.

Характарыстыкі[правіць | правіць зыходнік]

Ступенню адначлена  t = c_{i_1,i_2,\ldots,i_k} x_1^{i_1} x_2^{i_2}\ldots x_k^{i_k} , дзе c_{i_1,i_2,\ldots,i_k}\ne 0, называецца велічыня  \deg(t) = i_1 + i_2 + \ldots + i_k .

У выпадку c_{i_1,i_2,\ldots,i_k} = 0 (г.зн. t = 0) зручна лічыць, што ступень роўная адмоўнай бясконцасці:  \deg(0) = -\infty.

Прыклад:  \deg(25 x^{3} y^{11} z) = 15.

Ступенню мнагачлена (мнагасклада) называецца найбольшая са ступеняў яго складнікаў.

Прыклад:  \deg(x^{10} + 15 x^7 - 11 x^5 + 1) = 10.

Простыя ўласцівасці[правіць | правіць зыходнік]

  • Сума мнагачленаў ёсць мнагачленам.
  • Здабытак мнагачленаў ёсць мнагачленам.
  • Вытворная мнагачлена anxn + an-1xn-1 + ... + a2x2 + a1x + a0 роўная мнагачлену nanxn-1 + (n-1)an-1xn-2 + ... + 2a2x + a1.

Каб вылічыць значэнне мнагачлена ў пункце, трэба прысвоіць зменным значэнні адпаведных каардынат гэтага пункта і выканаць патрэбныя множанні і складанні. Звычайна, у выпадку мнагачленаў ад адной зменнай вылічэнні выконваюцца па найбольш дзейснай схеме Горнера:

((\cdots((a_n x + a_{n-1})x + a_{n-2})x + \cdots + a_3)x + a_2)x + a_1)x + a_0.\,

Прыклады графікаў[правіць | правіць зыходнік]

Для мнагачленаў ад адной рэчаіснай зменнай можна нарысаваць графік на плоскасці.

  • Графік нулявога мнагачлена
f(x) = 0
вось x.
  • Графік мнагачлена 0-й ступені (сталай)
f(x) = a0, дзе a0 ≠ 0,
лінія, паралельная восі x, якая перасякае вось y у пункце (0,a0).
  • Графік мнагачлена 1-й ступені (або лінейнай функцыі)
f(x) = a0 + a1x , дзе a1 ≠ 0,
нахіленая прамая, што перасякае вось y у пункце (0,a0) і мае вуглавы каэфіцыент a1.
  • Графік мнагачлена 2-й ступені (квадратовага трохчлена)
f(x) = a0 + a1x + a2x2, дзе a2 ≠ 0
парабала.
  • Графік мнагачлена 3-й ступені (кубічнага мнагачлена)
f(x) = a0 + a1x + a2x2 + a3x3, дзе a3 ≠ 0
кубічная крывая.
  • Графікі мнагачленаў 2-й ці большай ступені
f(x) = a0 + a1x + a2x2 + ... + anxn , дзе an ≠ 0 і n ≥ 2
ёсць непарыўнымі нелінейнымі крывымі.

Гл. таксама[правіць | правіць зыходнік]

Спасылкі[правіць | правіць зыходнік]

  1. Матэматычная энцыклапедыя / гал. рэд. В. Бернік — Мінск: Тэхналогія, 2001.
  2. БЭ ў 18 т. Т. 10. Мн., 2000.
  3. Florian Cajori A History of Mathematics — AMS, 1991. — ISBN 978-0-8218-2102-2.|[1]