Мнагачлен

Графік кубічнага мнагаскладу

Мнагачле́н, або мнагаскла́д, паліном — алгебраічная сума концай колькасці адначленаў , г.зн. складнікаў выгляду

$a_{k_1,k_2,\dots,k_n} x_1^{k_1} x_2^{k_2} \dots x_n^{k_n},$

дзе $a_{k_1,k_2,\dots,k_n}$ — пэўны лік (каэфіцыент), x₁, x₂, ... ,x_n — зменныя, k₁, k₂, ... ,k_n — цэлыя неадмоўныя лікі.

Мнагачлен ступені n ад адной зменнай x мае выгляд:

$f(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_0,$

дзе a₀, a₁, ... ,a_n — сталыя (пастаянныя) лікі, называныя каэфіцыентамі мнагачлена.

Інакш кажучы, мнагачлен — гэта матэматычны выраз концай даўжыні, збудаваны са зменных і каэфіцыентаў толькі шляхам складання, адымання, множання і ўзвядзення ў неадмоўную цэлую ступень (г.зн. могуць прысутнічаць натуральныя ступені зменных і нулявая ступень). Аднак дзяленне сталых адна на адну можа прысутнічаць, бо па сутнасці дзяленне можна прадставіць праз множанне. Напрыклад, x² − x/4 + 7 − мнагачлен, а x² − 4/x + 7x^3/2 − не, таму што ягоны другі складнік (4/x) утрымлівае дзяленне на зменную x, і да таго ж, ягоны трэці складнік утрымлівае няцэлую ступень зменнай.

Часцей за ўсё, у выпадках, калі нейкая велічыня можа быць запісана ў выглядзе мнагачлена ад нейкага параметра, у якасці прыметніка ўжываецца слова "палінаміяльны", вытворнае ад запазычанага з лацінскай мовы слова "паліном" (лац.: polynomial); напрыклад, паняцце палінаміяльны час, што ўжываецца ў тэорыі складанасці вылічэнняў.

Слова "паліном" (лац.: polynomial) было ўтворана ад грэчаскага "poly", "многа" і сярэдневечнага лацінскага "binomium", "двухчлен". Само гэта слова ўвёў у латынь Франсуа Віет .

Мнагачлены сустракаюцца ў шматлікіх галінах матэматыкі і навукі. Напрыклад, яны выкарыстоўваюцца для пабудовы сістэм алгебраічных ураўненняў, якія апісваюць самыя разнастайныя працэсы і з'явы, ад найпрасцейшых да найскладанейшых. Імі карыстаюцца пры вызначэнні палінаміяльных функцый, якія шырока ўжываюцца ў навуцы, пачынаючы з прыродазнаўчых навук аж да эканомікі і сацыяльных навук. Мнагачлены выкарыстоўваюцца ў матэматычным і лікавым аналізе для набліжэння іншых функцый. У вышэйшай матэматыцы мнагачлены выкарыстоўваюцца пры пабудове палінаміяльных колцаў, якія з'яўляюцца адным з найважнейшых паняццяў у абстрактнай алгебры і алгебраічнай геаметрыі.

Віды

Мнагачлен (мнагасклад) ад адной зменнай − гэта выраз выгляду

$c_n x^n + \dots + c_1 x + c_0,$

дзе $c_i$ − сталыя каэфіцыенты, а $x$ − зменная.

Прыклад: $x^{10} + 15 x^7 - 11 x^5 + 1.$

Мнагачлен ад k зменных − концая сумма, пабудаваная са складнікаў выгляду

$c_{i_1,i_2,\ldots,i_k} x_1^{i_1} x_2^{i_2}\ldots x_k^{i_k},$

дзе $c_{i_1,i_2,\dots,i_k}$ − сталыя каэфіцыенты, $x_1, x_2,\ldots x_k$ − зменныя, $i_1, i_2, \dots, i_k$ − сталыя неадмоўныя лікі.

Прыклад: $17 + 12 x - y - x^2 + 16 xy + 5 y^7$ − мнагачлен ад двух зменных.

Адначлен − найпрасцейшы мнагачлен, які ўтрымлівае толькі адзін складнік $c_{i_1,i_2,\ldots,i_k} x_1^{i_1} x_2^{i_2}\ldots x_k^{i_k}.$

Характарыстыкі

Ступенню адначлена $t = c_{i_1,i_2,\ldots,i_k} x_1^{i_1} x_2^{i_2}\ldots x_k^{i_k}$, дзе $c_{i_1,i_2,\ldots,i_k}\ne 0$, называецца велічыня $\deg(t) = i_1 + i_2 + \ldots + i_k$.

У выпадку $c_{i_1,i_2,\ldots,i_k} = 0$ (г.зн. t = 0) зручна лічыць, што ступень роўная адмоўнай бясконцасці: $\deg(0) = -\infty.$

Прыклад: $\deg(25 x^{3} y^{11} z) = 15.$

Ступенню мнагачлена (мнагасклада) называецца найбольшая са ступеняў яго складнікаў.

Прыклад: $\deg(x^{10} + 15 x^7 - 11 x^5 + 1) = 10.$

Простыя ўласцівасці

• Сума мнагачленаў ёсць мнагачленам.
• Здабытак мнагачленаў ёсць мнагачленам.
• Вытворная мнагачлена a_nxⁿ + a_n-1x^n-1 + ... + a₂x² + a₁x + a₀ роўная мнагачлену na_nx^n-1 + (n-1)a_n-1x^n-2 + ... + 2a₂x + a₁.

Каб вылічыць значэнне мнагачлена ў пункце, трэба прысвоіць зменным значэнні адпаведных каардынат гэтага пункта і выканаць патрэбныя множанні і складанні. Звычайна, у выпадку мнагачленаў ад адной зменнай вылічэнні выконваюцца па найбольш дзейснай схеме Горнера:

$((\cdots((a_n x + a_{n-1})x + a_{n-2})x + \cdots + a_3)x + a_2)x + a_1)x + a_0.\,$

Прыклады графікаў

Для мнагачленаў ад адной рэчаіснай зменнай можна нарысаваць графік на плоскасці.

• Графік нулявога мнагачлена

f(x) = 0

вось x.

• Графік мнагачлена 0-й ступені (сталай)

f(x) = a₀, дзе a₀ ≠ 0,

лінія, паралельная восі x, якая перасякае вось y у пункце (0,a₀).

• Графік мнагачлена 1-й ступені (або лінейнай функцыі)

f(x) = a₀ + a₁x , дзе a₁ ≠ 0,

нахіленая прамая, што перасякае вось y у пункце (0,a₀) і мае вуглавы каэфіцыент a₁.

• Графік мнагачлена 2-й ступені (квадратовага трохчлена)

f(x) = a₀ + a₁x + a₂x², дзе a₂ ≠ 0

парабала.

• Графік мнагачлена 3-й ступені (кубічнага мнагачлена)

f(x) = a₀ + a₁x + a₂x² + a₃x³, дзе a₃ ≠ 0

кубічная крывая.

• Графікі мнагачленаў 2-й ці большай ступені

f(x) = a₀ + a₁x + a₂x² + ... + a_nxⁿ , дзе a_n ≠ 0 і n ≥ 2

ёсць непарыўнымі нелінейнымі крывымі.

• 

  Квадратны мнагачлен:
  f(x) = x² - x - 2

• 

  Кубічны мнагачлен:
  f(x) = x³/4 + 3x²/4 - 3x/2 - 2

• 

  Мнагачлен 4-й ступені:
  f(x) = 1/14 (x+4)(x+1)(x-1)(x-3) +
  + 0.5

• 

  Мнагачлен 5-й ступені:
  f(x) = 1/20 (x+4)(x+2)(x+1)(x-1)(x-3) +
  + 2

• 

  мнагачлен 6-й ступені:
  f(x) = 1/30 (x+3.5)(x+2)(x+1)(x-1) ×
  × (x-3)(x-4) + 2

• 

  Мнагачлен 7-й ступені:
  f(x) = (x-3)(x-2)(x-1)(x)(x+1)(x+2)(x+3)

Гл. таксама

• Дыскрымінант