Мінор, лінейная алгебра

З пляцоўкі Вікіпедыя
Перайсці да: рух, знайсці

Мінор A \begin{bmatrix} \alpha_1 & \alpha_2 \dots \alpha_k \\ \beta_1 & \beta_2 \dots \beta_k \end{bmatrix} матрыцы Aвызначнік такой квадратнай матрыцы B парадку k (які завецца таксама парадкам гэтага мінора), элементы якой стаяць у матрыцы A на скрыжаванні радкоў з нумарамі \alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_k і слупкоў з нумарамі \alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_k

Калі нумары адзначаных радкоў супадаюць з нумарамі адзначаных слупкоў, то мінор называецца галоўным, а калі адзначаны першыя k радкоў і першыя k слупкоў — вуглавым або вядучым галоўным.

Дадатковы мінор элемента матрыцы n-га парадку ёсць вызначнік парадку (n-1), які адпавядае той матрыцы, якая атрымліваецца з матрыцы шляхам выкрэслiвання i-га радка і j-га слупка.

Базісным мінорам матрыцы называецца любы яе ненулявы мінор максімальнага парадку. Для таго каб мінор быў базісным, неабходна і дастаткова, каб усе аблямоўваючыя яго мінор (гэта значыць тыя, якія змяшчаюць яго мінор на адзінку большага парадку) былі роўныя нулю. Сістэма радкоў (слупкоў) матрыцы, звязаных з базісным мінорам, з'яўляецца максімальнай лінейна незалежнай падсістэмай сістэмы ўсіх радкоў (слупкоў) матрыцы.

Прыклад[правіць | правіць зыходнік]

Напрыклад, ёсць матрыца:

\begin{pmatrix}
\,\,\,1 & 4 & 7 \\
\,\,\,3 & 0 & 5 \\
-1 & 9 & \!11 \\
\end{pmatrix}

Выкажам здагадку, трэба знайсці дадатковы мінор ~M_{23}. Гэты мінор які атрымліваецца шляхам выкрэслiвання радка 2 і слупка 3:

 \begin{vmatrix}
\,\,1 & 4 & \Box\, \\
\,\Box & \Box & \Box\, \\
-1 & 9 & \Box\, \\
\end{vmatrix} \longrightarrow \begin{vmatrix}
\,\,\,1 & 4\, \\
-1 & 9\, \\
\end{vmatrix} = (1*9-(4*(-1))) = 13

Атрымліваем ~M_{23} = 13

Гл. таксама[правіць | правіць зыходнік]