Найбольшая агульная падпаслядоўнасць

З пляцоўкі Вікіпедыя.
Перайсці да: рух, знайсці

Задача знаходжання найбольшай агульнай падпаслядоўнасці (англ.: longest common subsequence, LCS) — задача пошуку паслядоўнасці, якая з'яўляецца падпаслядоўнасцю некалькіх паслядоўнасцяў (звычайна дзвюх). Часта задача вызначаецца як пошук усіх найбольшых падпаслядоўнасцяў. Гэта класічная задача інфарматыкі, якая мае ўжыванне, у прыватнасці, у задачы параўнання тэкставых файлаў (утыліта diff), а таксама ў біяінфарматыцы.

Падпаслядоўнасць можна атрымаць з некаторай канчатковай паслядоўнасці, калі выдаліць з апошняй некаторае мноства яе элементаў (магчыма пустое). Напрыклад, BCDB з'яўляецца падпаслядоўнасцю з ABCDBAB. Будзем лічыць, што паслядоўнасць Z з'яўляецца агульнай падпаслядоўнасцю паслядоўнасцяў X і Y, калі Z з'яўляецца падпаслядоўнасцю як X, так і Y. Патрабуецца для двух паслядоўнасцяў X і Y знайсці агульную падпаслядоўнасць найбольшай даўжыні. Заўважым, што НАП можа быць некалькі.

Рашэнне задачы[правіць | правіць зыходнік]

Параўнаем два метады рашэння: поўны перабор і дынамічнае праграмаванне.

Поўны перабор[правіць | правіць зыходнік]

Існуюць розныя падыходы рашэння дадзенай задачы пры поўным пераборы — можна перабіраць варыянты падпаслядоўнасці, варыянты выкрэслівання з дадзеных паслядоўнасцяў і г. д. Аднак у любым выпадку, час працы праграмы будзе экспанентай ад даўжыні радка.

Метад дынамічнага праграмавання[правіць | правіць зыходнік]

A B C B
0 0 0 0 0
D   0 0 0 0 0
C   0 0 0 1 1
B   0 0 1 1 2
A   0 1 1 1 2

Спачатку знойдзем даўжыню найбольшай падпаслядоўнасці. Дапусцім, мы шукаем рашэнне для выпадку (n1, n2), дзе n1, n2 — даўжыні першага і другога радка. Хай ужо існуюць рашэнні для усіх падзадач (m1, m2), меншых зададзенай. Тады задача (n1, n2) зводзіцца да меншых падзадач наступным чынам:

 f(n_1, n_2) = \left \{ 
\begin{array}{ll}
 0, & n_1 = 0 \or n_2 = 0 \\
 f(n_1 - 1, n_2 - 1) + 1, & s[n_1] = s[n_2] \\
 max(f(n_1 - 1, n_2), f(n_1, n_2 - 1)), & s[n_1] \neq s[n_2]
 \end{array}
 \right.

Зараз вернемся да задачы будавання падпаслядоўнасці. Для гэтага ў існуючы алгарытм дададзім запамінанне для кожнай задачы той падзадачы, праз якую яна вырашаецца. Наступным дзеяннем, пачынаючы з апошняга элемента, падымаемся да пачатку па напрамкам, зададзеным першым алгарытмам, і запісваем сімвалы ў кожнай пазіцыі. Гэта і будзе адказам у дадзенай задачы.

Час працы алгарытму будзе \mathrm{O}\,(n_1 \cdot n_2).