Найменшае агульнае кратнае

З пляцоўкі Вікіпедыя
Перайсці да: рух, знайсці

Найме́ншае агу́льнае кра́тнае (найменшы агульны кратны лік, НАК) двух цэлых лікаў m і n — найменшы натуральны лік, які дзеліцца на m і n без астачы. Абазначаецца адным з наступных спосабаў:

  • НАК(mn);
  • [mn];
  • lcm(mn)    (ад англ.: Least Common Multiple).

Прыклад: НАК(16, 20) = 80.

Найменшае агульнае кратнае некалькіх лікаў — гэта найменшы натуральны лік, які дзеліцца на кожны з гэтых лікаў.

Адно з найбольш частых прымяненняў НАК — прывядзенне дробаў да агульнага назоўніка.

Уласцівасці[правіць | правіць зыходнік]

Вылічэнне НАК[правіць | правіць зыходнік]

НАК(a, b) можна вылічыць некалькімі спосабамі.

1. Калі вядомы найбольшы агульны дзельнік, можна выкарыстаць яго сувязь з НАК:

\operatorname{lcm}(a,b)=\frac{|a\cdot b|}{\operatorname{gcd}(a,b)}

2. Няхай вядома кананічнае раскладанне абодвух лікаў на простыя множнікі:

a=p_1^{d_1}\cdot\dots\cdot p_k^{d_k},
b=p_1^{e_1}\cdot \dots \cdot p_k^{e_k},

дзе p_1,\dots,p_k — розныя простыя лікі, а d_1,\dots,d_k і e_1,\dots,e_k — неадмоўныя цэлыя лікі (яны могуць быць нулямі, калі адпаведнага простага няма ў раскладанні). Тады НАК(a, b) вылічаецца па формуле:

[a,b]=p_1^{\max(d_1,e_1)}\cdot\dots\cdot p_k^{\max(d_k,e_k)}.

Іншымі словамі, раскладанне НАК утрымлівае ўсе простыя множнікі, якія ўваходзяць хоць у адно з раскладанняў лікаў a і b, прычым з двух паказчыкаў ступені гэтага множніка бярэцца найбольшы. Прыклад:

8\; \, \; \,= 2^3 \cdot 3^0 \cdot 5^0 \cdot 7^0 \,\!
9\; \, \; \,= 2^0 \cdot 3^2 \cdot 5^0 \cdot 7^0 \,\!
21\; \,= 2^0 \cdot 3^1 \cdot 5^0 \cdot 7^1. \,\!
\operatorname{lcm}(8,9,21) = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5^0 \cdot 7^1 = 8 \cdot 9 \cdot 1 \cdot 7 = 504. \,\!

Вылічэнне найменшага агульнага кратнага некалькіх лікаў можна звесці да некалькіх паслядоўных вылічэнняў НАК ад двух лікаў:

  • \operatorname{lcm}(a, b, c) = \operatorname{lcm}(\operatorname{lcm}(a, b), c);
  • \operatorname{lcm}(a_1, a_2, \ldots, a_n) = \operatorname{lcm}(\operatorname{lcm}(a_1, a_2, \ldots, a_{n-1}), a_n).

Гл. таксама[правіць | правіць зыходнік]

Літаратура[правіць | правіць зыходнік]

Спасылкі[правіць | правіць зыходнік]