Падгрупа

З пляцоўкі Вікіпедыя
Перайсці да: рух, знайсці
Група, матэматыка
Rubik's cube.svg
Тэорыя груп
Гл. таксама «Фізічны партал»


Падгрупа ― падмноства H групы G, якое само з'яўляецца групай адносна аперацыі, якая вызначаецца G.

Падмноства H групы G з'яўляецца яе падгрупай тады і толькі тады, калі:

  • H змяшчае адзінкавы элемент з G
  • змяшчае здабытак любых двух элементаў з H,
  • змяшчае разам з усякім сваім элементам h адваротны да яго элемент h^{-1}.

У выпадку канечных і, наогул, перыядычных груп праверка другой ўмовы з'яўляецца залішняй.

Прыклады[правіць | правіць зыходнік]

  • Падмноства групы G, якое складаецца з аднаго элемента 1, будзе, відавочна, падгрупай, і гэтая падгрупа называецца адзінкавай падгрупай групы G.
  • Сама G таксама з'яўляецца сваёй падгрупай.

Звязаныя азначэнні[правіць | правіць зыходнік]

  • Усякая падгрупа, якая адрозніваецца ад усёй групы, называецца сапраўднай падгрупай гэтай групы. Сапраўдная падгрупа некаторай бясконцай групы можа быць ізаморфнай самой групе.
  • Сама група G і адзінкавая падгрупа называюцца няўласнымі падгрупамі групы G, усе астатнія ― уласнымі.
  • Перасячэнне ўсіх падгруп групы G, якія змяшчаюць усе элементы некаторага непустога мноства M, называецца падгрупай, спароджанай мноствам M, і абазначаецца <M>.
  • Калі M складаецца з аднаго элемента a, то <a> называецца цыклічнай падгрупай элемента a.
  • Калі група G_1 ізаморфная некаторай падгрупе H групы G, то кажуць, што група G_1 можа быць ўкладзена ў групу G.

Уласцівасці[правіць | правіць зыходнік]

  • Непустое мноства H\subset G з'яўляецца падгрупай групы G тады і толькі тады, калі для любых  a, b \in H выконваецца ab^{-1} \in H.
  • Тэарэтыка-множнае перасячэнне любых двух (і любога мноства) падгруп групы G_1 з'яўляецца падгрупай групы G.
  • Тэарэтыка-множнае аб'яднанне падгруп, наогул кажучы, не абавязана з'яўляцца падгрупай. Аб'яднаннем падгруп H і K называецца падгрупа, спароджаная аб'яднаннем мностваў H\cup K.
  • Гамаморфны вобраз падгруп ― падгрупа.
  • Калі дадзеныя дзве групы і кожная з іх ізаморфная некаторай сапраўднай падгрупе іншай, то адсюль яшчэ не вынікае ізамарфізм саміх гэтых груп.

Гл. таксама[правіць | правіць зыходнік]

Літаратура[правіць | правіць зыходнік]