Падмноства

Падмно́ства — мноства, якое з’яўляецца часткай іншага, большага мноства. Больш фармальна, мноства B з’яўляецца падмноствам мноства A, калі любы элемент B з’яўляецца адначасова элементам A:

$~ B \subseteq A \quad \Leftrightarrow \quad \forall b \ (b \in B \to b \in A)$

Уласцівасці падмностваў

Падмноства мае наступныя ўласцівасці, якія вынікаюць непасрэдна з яго вызначэння:

• любое мноства з’яўляецца падмноствам сябе самога: $\forall A, A \subseteq A$
• пустое мноства з’яўляецца падмноствам любога мноства: $\forall A, \varnothing \subseteq A$
• любое мноства з’яўляецца падмноствам універсальнага мноства: $\forall A, A \subseteq U$
• аб’яднанне любога мноства са сваім падмноствам складае гэтае мноства: $B \subseteq A \ \Leftrightarrow \ A \cup B = A$
• перасячэнне любога мноства са сваім падмноствам складае гэтае падмноства: $B \subseteq A \ \Leftrightarrow \ A \cap B = B$.

Уласнае падмноства

Мноства B з’яўляецца ўласным падмноствам мноства A, калі:

• любы элемент B з’яўляецца адначасова элементам A
• у A існуе прынамсі адзін элемент, які не ўваходзіць у B.

Калі мноства B з’яўляецца ўласным падмноствам A, гэта абазначаецца так: $B \subset A$

$~ B \subset A \quad \Leftrightarrow \quad \forall b \ (b \in B \to b \in A) \ \land \ \exists a \ (a \in A \ \land \ a \notin B)$

Відавочна, што

• калі B з’яўляецца ўласным падмноствам A, то яно з’яўляецца адначасова і яго звычайным падмноствам: $B \subset A \Rightarrow B \subseteq A$
• ніводнае мноства не з’яўляецца ўласным падмноствам сябе самога (гэта галоўная асаблівасць уласнага падмноства, якая адрознівае яго ад звычайнага падмноства)

Усе астатнія ўласцівасці ўласных падмностваў аналагічныя да адпаведных уласцівасцяў падмностваў.