Паўпрамы здабытак

З пляцоўкі Вікіпедыя
Перайсці да: рух, знайсці
Група, алгебра
Rubik's cube.svg
Тэорыя груп
Гл. таксама «Фізічны партал»


Паўпрамы здабытак — канструкцыя ў тэорыі груп, якая дазваляе будаваць новую групу па дзвюх групах H і N, і дзеянні \phi групы H на групе N аўтамарфізмамі.

Паўпрамы здабытак груп N і H над \phi звычайна абазначаецца N\rtimes_\phi H.

Канструкцыя[правіць | правіць зыходнік]

Няхай зададзена дзеянне групы H на прасторы групы N з захаваннем яе групавой структуры. Гэта азначае, што зададзены гомамарфізм \phi: H \rightarrow \mbox{Aut}(N) групы H у групу аўтамарфізмаў групы N. Аўтаморфізм групы N., які адпавядае элементу h з H пры гомамарфізме \phi. пазначым \phi_{h}. У якасці групы G — паўпрамога здабытку груп H і N над гомамарфізмам \phi — бярэцца мноства N\times H з бінарнай аперацыяй *, што дзейнічае па правілу:

(n_1, h_1) * (n_2, h_2) = (n_1\phi_{h_1}(n_2), h_1h_2) для любых n_1,n_2 \in N, h_1,h_2 \in H.

Уласцівасці[правіць | правіць зыходнік]

  1. Групы H і N натуральна ўкладзеныя ў G, прычым N — нармальная падгрупа ў G.
  2. Кожны элемент g\in G адназначна раскладаем у здабытак g=nh, дзе h і n — элементы груп H і N адпаведна. (Гэта ўласцівасць апраўдвае назву групы G як паўпрамога здабытку груп H м N.)
  3. Зададзенае дзеянне \phi групы H на групе N супадае з дзеяннем H на N спалучэннямі (у групе G).

Усякая група са ўласцівасцямі 1-3 ізаморфная групе G (уласцівасць універсальнасці паўпрамога здабытку груп).

Літаратура[правіць | правіць зыходнік]

  • Винберг Э. Б. Курс алгебры — 3-е изд. — М.: Факториал Пресс, 2002. — 544 с. — 3000 экз. — ISBN 5-88688-060-7.