Пераўтварэнне Фур'е

З пляцоўкі Вікіпедыя
Перайсці да: рух, знайсці

Пераўтварэнне Фур'е — аперацыя, якая ставіць у апаведнасць пэўнай функцыі рэчаіснай зменнай другую функцыю рэчаіснай зменнай, а таксама вынік гэтай аперацыі. Функцыя, што атрымліваецца ў выніку, называецца фур'е-вобразам ці частотным спектрам. Па сутнасці, фур'е-вобраз апісвае набор частот сінусаідальных сігналаў (гармонік) разам з іх амплітудамі, у выніку складання якіх атрымліваецца першапачатковая функцыя.

Пераўтварэнне было названа ў гонар французскага матэматыка Жана Фур'е.

Фур'е-пераўтварэнне функцыі f рэчаіснай зменнай уяўляе сабой інтэгральная пераўтварэнне, вызначанае формулай:

\hat{f}(\omega) = F[f](\omega) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{-\infty}^{\infty}f(x)e^{-ix\omega}\,dx.

Часам сустракаюцца іншыя азначэнні, якія адрозніваюцца ад прыведзенага выбарам каэффіцыента перад інтэгралам, а таксама знакам "+" ці "-" у паказчыку экспаненты. Пры гэтым амаль усе ўласцівасці застаюцца ранейшымі, хаця выгляд некаторых формул (у першую чаргу формул для адваротнага фур'е-пераўтварэння) можа змяніцца.

Існуюць таксама разнастайныя абагульненні фур'е-пераўтварэння.

Адваротнае пераўтварэнне[правіць | правіць зыходнік]

Адваротнае Фур'е-пераўтварэнне функцыі \hat{f} вызначаюць як:

f(x) = F^{-1}[\hat{f}](x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{-\infty}^{\infty}\hat{f}(\omega)e^{ix\omega}\,dx.

Уласцівасці[правіць | правіць зыходнік]

  • Лінейнасць:
    F[f+g] = F[f] + F[g]
  • Зрух аргумента: калі h(x) = f(x - x0), то
    F[h] = e^{-i\omega x_0} F[f]

Гл. таксама[правіць | правіць зыходнік]