Поле, алгебра

З пляцоўкі Вікіпедыя
Перайсці да: рух, знайсці

По́ле − мноства, для элементаў якога вызначаны дзве аперацыі, называныя складаннем і множаннем, якія падпарадкоўваюцца пэўным законам. Паняцце «поле» можна разглядаць як абагульненне мноства рэчаісных лікаў разам са звычайнымі складаннем і множаннем.

Паняцце «поле» было ўпершыню ўведзена ў 19 стагоддзі Рыхардам Дэдэкіндам.

Найважнейшымі прыкладамі палёў, якія выкарыстоўваюцца ледзь не ва ўсіх галінах матэматыкі, ёсць поле \R рэчаісных лікаў, поле \Q рацыянальных лікаў і поле \C камплексных лікаў.

Строгае азначэнне[правіць | правіць зыходнік]

Агульнае азначэнне[правіць | правіць зыходнік]

Поле − гэта мноства K, на якім вызначаны дзве бінарныя аперацыі «+» і " \cdot " (як правіла, называныя адпаведна складанне і множанне), якія задавальняюць наступныя ўмовы:

  1. \left(K,+\right) ёсць абелеваю групайнейтральным элементам 0)
  2. \left(K\setminus\left\{0\right\},\cdot\right) ёсць абелеваю групайнейтральным элементам 1)
  3. Праўдзіцца размеркавальны закон: для любых a, b, c \in K справядліва:
    a\cdot\left(b+c\right) = a\cdot b+a\cdot c, (левы размеркавальны закон)
     \left(a+b\right)\cdot c= a\cdot c+b\cdot c (правы размеркавальны закон)

Пералік неабходных аксіём[правіць | правіць зыходнік]

Любое поле павінна задавальняць наступную сістэму аксіём, якія называюцца аксіёмамі поля:

  1. Уласцівасці складання:
    1. a+(b+c) = (a+b)+c (спалучальны закон)
    2. a+b = b+a (перастаўляльны закон)
    3. Існуе элемент 0\in K такі, што 0+a=a (нейтральны элемент)
    4. Для кожнага a\in K існуе адваротны адносна складання (процілеглы) элемент -a, такі што (-a)+a=0
  2. Уласцівасці множання:
    1. a\cdot(b\cdot c) = (a\cdot b)\cdot c (спалучальны закон)
    2. a\cdot b = b\cdot a (перастаўляльны закон)
    3. Існуе элемент 1\in K\setminus\{0\}, такі што 1\cdot a=a (нейтральны элемент).
    4. Для кожнага a\in K\setminus\{0\} існуе адваротны адносна множання элемент a^{-1}, такі што a^{-1}\cdot a=1
  3. Узгодненасць (або дапасаванасць) складання і множання:
    1. a\cdot (b+c) = a\cdot b+a\cdot c (левы размеркавальны закон)
    2.  1\ne 0 (інакш нулявое колца было б полем)

Заўвага 1: правы размеркавальны закон

(a+b)\cdot c=a\cdot c+b\cdot c

вынікае з астатніх уласцівасцей:

(a+b)\cdot c=c \cdot (a+b)=c\cdot a+c\cdot b=a\cdot c+b\cdot c

Заўвага 2: часам ад перастаўляльнага закона для множання адмаўляюцца, у выніку замест поля атрымліваецца так званае цела. Прыкладам цела ёсць мноства кватэрніёнаў з вызначанымі на ім складаннем і множаннем.

Літаратура[правіць | правіць зыходнік]

  • Винберг Э. Б. Курс алгебры — Москва: Факториал Пресс, 2002.