Прамавугольны трохвугольнік

З пляцоўкі Вікіпедыя
Перайсці да: рух, знайсці
Прамавугольны трохвугольнік

Прамавугольны трохвугольнік — гэта трохвугольнік, у якім адзін вугал прамы (гэта значыць складае 90 градусаў).

Суадносіны паміж бакамі і вугламі прамавугольнага трохвугольніка ляжаць у аснове трыганаметрыі.

Звязаныя азначэнні[правіць | правіць зыходнік]

  • Бок, супрацьлеглы да прамога вугла, называецца гіпатэнузай (бок c на малюнку вышэй).
  • Бакі, прылеглыя да прамога вугла, называюцца катэтамі. Бок a можа быць ідэнтыфікаваны як прылеглы да вугла B і процілеглы да вугла A, а бок b — як прылеглы да вугла A і процілеглы да В.

Тыпы прамавугольных трохвугольнікаў[правіць | правіць зыходнік]

  • Калі даўжыні ўсіх трох бакоў прамавугольнага трохвугольніка з'яўляюцца цэлымі лікамі, то трохвугольнік завецца піфагоравым трохвугольнікам, а даўжыні яго бакоў утвараюць так званую піфагораву тройку.

Прыкметы роўнасці прамавугольных трохвугольнікаў[правіць | правіць зыходнік]

  • Па двух катэтах

Калі катэты аднаго прамавугольнага трохвугольніка адпаведна роўныя катэтам іншага прамавугольнага трохвугольніка, то такія трохвугольнікі роўныя.

  • Па катэтах і вострым вугле

Калі катэт і прылеглы да яго востры вугал аднаго прамавугольнага трохвугольніка адпаведна роўныя катэту і прылегламу да яго востраму вуглу іншага прамавугольнага трохвугольніка, то такія трохвугольнікі роўныя.

  • Па гіпатэнузе і вострым вугле

Калі гіпатэнуза і востры вугал аднаго прамавугольнага трохвугольніка адпаведна роўныя гіпатэнузе і востраму вуглу іншага прамавугольнага трохвугольніка, то такія трохвугольнікі роўныя.

  • Па гіпатэнузе і катэту

Калі гіпатэнуза і катэт аднаго прамавугольнага трохвугольніка роўныя гіпатэнузе і катэту іншага прамавугольнага трохвугольніка, то такія трохвугольнікі роўныя.

Уласцівасці[правіць | правіць зыходнік]

Далей мяркуем, што a і b даўжыні катэтаў, а c даўжыня гіпатэнузы

  • Плошча прамавугольнага трохвугольніка роўная палове здабытку двух яго катэтаў. Гэта значыць,
  • S=\tfrac{1}{2}ab.
  • Для медыян m_a, m_b і m_c выконваюцца наступныя суадносіны:
  • m_a^2 + m_b^2 = 5m_c^2 = \frac{5}{4}c^2.
    • У прыватнасці, медыяна, якая падае на гіпатэнузу, роўная палове гіпатэнузы.

Вышыня[правіць | правіць зыходнік]

Вышыня прамавугольнага трохвугольніка.

Калі вышыня праведзена з вяршыні з прамым вуглом да гіпатэнузы, то трохвугольнік дзеліцца на два меншыя трохвугольнікі, падобныя зыходнаму і падобныя адзін аднаму. З гэтага вынікае:

  • Кожны катэт трохвугольніка ёсць сярэдняе прапарцыянальнае гіпатэнузы і сумежных сегментаў.
  • Справядлівыя суадносіны:
\displaystyle f^2=de, (часам гэта называюць тэарэмай вышыні прамавугольнага трохвугольніка)
\displaystyle b^2=ce,
\displaystyle a^2=cd,
дзе a, b, c, d, e, f паказаныя на дыяграме.[1] Такім чынам:
f=\frac{ab}{c}.
  • Вышыня, апушчаная на гіпатэнузу, звязана з катэтамі прамавугольнага трохвугольніка суадносінамі:[2][3]
    \frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} = \frac{1}{ f^2}.

Іншыя ўласцівасці[правіць | правіць зыходнік]

Радыус упісанай акружнасці ў прамавугольны трохвугольнік з катэтамі m_a, m_b і гіпатэнузай m_c роўны:

 r = \frac{a+b-c}{2} = \frac{ab}{a+b+c}.

Калі адрэзкі даўжынёй p і q, выходныя з вяршыні C, дзеляць гіпатэнузу на тры роўныя адрэзкі даўжыні c/3, то:[4]:pp. 216-217

 p^2 + q^2 = 5\left(\frac{c}{3}\right)^2.

Прамавугольны трохвугольнік з'яўляецца адзіным трохвугольнікам з двума, а не трыма, упісанымі квадратамі, якія адрозніваюцца адзін ад аднаго.[5]

Хай h і s (h>s) — бакі двух квадратаў, упісаных у прамавугольны трохвугольнік з гіпатэнузай c. Тады:

\frac{1}{c^2} + \frac{1}{h^2} = \frac{1}{s^2}.

Перыметр прамавугольнага трохвугольніка роўны суме радыусаў упісанай і трох апісаных акружнасцей.

Зноскі

  1. Wentworth p. 156
  2. Voles, Roger, «Integer solutions of a^{-2}+b^{-2}=d^{-2}Mathematical Gazette 83, July 1999, 269—271.
  3. Richinick, Jennifer, "The upside-down Pythagorean Theorem, " Mathematical Gazette 92, July 2008, 313—317.
  4. Posamentier, Alfred S., and Salkind, Charles T. Challenging Problems in Geometry, Dover, 1996.
  5. Bailey, Herbert, and DeTemple, Duane, «Squares inscribed in angles and triangles», Mathematics Magazine 71(4), 1998, 278—284.

Ссылки[правіць | правіць зыходнік]

Commons