Пі

'Лік π' (прамаўляецца «пі») — матэматычная канстанта, якая выказвае дачыненне даўжыні акружнасці да даўжыні яе дыяметра. Пазначаецца літарай грэчаскага алфавіту «пі».

Лік $\pi$ упершыню паўстала ў геаметрыі як дачыненне даўжыні акружнасці да даўжыні яе дыяметра, аднак яно з'яўляецца і ў іншых абласцях матэматыкі. Лік $\pi$ ірацыянальна і трансцэндэнтна.

Упершыню пазначэннем гэтага ліку грэчаскай літарай $\pi$ скарыстаўся брытанскі матэматык Уільям Джонс (1706), а агульнапрынятым яно стала пасля прац Л. Эйлера. Гэтае пазначэнне адбываецца ад пачатковай літары грэчаскіх слоў περιφέρεια — акружнасць, перыферыя і περίμετρος — перыметр.

Адзнакі

π ≈ 3,141 592 653 589 793 238 462 643 383 279 502 884 197 169 399 375 105 820 974 944 592 307 816 406 286 208 998 628 034 825 342 117 067 982 148 086 513 282 306 647 093 844 609 550 582 231 725 359 408 128 481 117 450 284 102 701 938 521 105 559 644 622 948 954 930 381 964 428 810 975 665 933 446 128 475 648 233 786 783 165 271 201 909 145 648 566 923 460 348 610 454 326 648 213 393 607 260 249 141 273 724 587 006 606 315 588 174 881 520 920 962 829 254 091 715 364 367 892 590 360 011 330 530 548 820 466 521 384 146 951 941 511 609 433 057 270 365 759 591 953 092 186 117 381 932 611 793 105 118 548 074 462 379 962 749 567 351 885 752 724 891 227 938 183 011 949 129 833 673 362…

Адзнакі ў выглядзе дробаў:

• $\frac{22}{7}$ (Архімед),
• $\frac{377}{120}$ (дана ў кнізе індыйскага мысляра і астранома Ар'ябхаты у 5 стагоддзі н.э.),
• $\frac{355}{113}$ (адзнака прыпісваецца сучасніку Ар'ябхаты старажытнакітайскаму астраному Цзу чун-цжы).

Суадносіны

Вядома шмат паданняў ліку $\pi$:

• Франсуа Віет, 1593:

$\frac2\pi= \frac{\sqrt2}2 \frac{\sqrt{2+\sqrt2}}2 \frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt2}}}2\ldots$

• Шэраг Лейбніца:

$\frac{1}{1} - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \frac{1}{9} - \cdots = \frac{\pi}{4}$

• Тоеснасць Эйлера:

$e^{\pi i} + 1 = 0\;$

Спосабы вылічэння

Прынцып Архімеда

Архімед, магчыма, першым прапанаваў спосаб вылічэння $\pi$ матэматычным спосабам. Для гэтага ён упісваў у акружнасць і апісваў каля яе правільныя мнагавугольнікі. Прымаючы дыяметр акружнасці за адзінку, Архімед разглядаў перыметр упісанага мнагавугольніка як ніжнюю адзнаку даўжыні акружнасці, а перыметр апісанага мнагавугольніка як верхнюю адзнаку. Так, для шасцівугольніка (см. малюнак) атрымоўваецца $3 < \pi < 2\sqrt{3}$.

Разглядаючы правільны 96-вугольнік, Архімед атрымаў адзнаку $3\frac{10}{71} < \pi <3\frac{1}{7}$.

У Новы час для вылічэння $\pi$ выкарыстоўваюцца аналітычныя метады, заснаваныя на тоеснасцях. Пералічаныя вышэй формулы малапрыдатныя для вылічальных мэт, паколькі альбо выкарыстаюць павольна збежныя шэрагі, альбо патрабуюць складанай аперацыі вымання квадратнага кораня.

Першую эфектыўную формулу знайшоў у 1706 Джон Мэчын (John Machin):

$\frac{\pi}{4} = 4\,\mathrm{arctg}\frac{1}{5} - \mathrm{arctg}\frac{1}{239}$

Расклаўшы арктангенс у шэраг Тэйлара, можна атрымаць хутка збежны шэраг, прыдатны для вылічэння ліку $\pi$ з вялікай дакладнасцю.

Яшчэ хутчэй працуюць алгарытмы, заснаваныя на формулах Рамануджана

$\frac{1}{\pi} = \frac{2\sqrt{2}}{9801} \sum^\infty_{k=0} \frac{(4k)!(1103+26390k)}{(k!)^4 \, 396^{4k}}$

і Чудноўскага

$\frac{1}{\pi} = 12 \sum^\infty_{k=0} \frac{(-1)^k (6k)! (13591409 + 545140134k)}{(3k)!(k!)^3 \, 640320^{3k + 3/2}}$

У 1997 Дэйвід Х. Бэйлі, Піцер Боруэйн і Сайман Плуфф адчынілі спосаб хуткага вылічэння адвольнай двайковай лічбы ліку $\pi$ без вылічэння папярэдніх лічб, заснаваны на формуле

$\pi = \sum_{i=0}^{\infty}\frac{1}{16^i}\left(\frac{4}{8i+1}-\frac{2}{8i+4}-\frac{1}{8i+5}-\frac{1}{8i+6}\right)$

Цікава ведаць

Сусветны рэкорд па запамінанні знакаў ліку Пі прыналежыць японцу Акіра Харагучы (Akira Haraguchi). Ён запомніў лік Пі да 100-тысячнага знака пасля коскі. Яму спатрэбілася амаль 16 гадзін, каб назваць увесь лік цалкам. Крыніца: http://news.yahoo.com/s/ap/20061004/ap_on_fe_st/memorizing_pi_1

Неафіцыйнае свята

Неафіцыйнае свята «Дзень лікі Пі» (Pi Day) адзначаецца 14 сакавіка, якое ў амерыканскім фармаце дат запісваецца як 3.14, што адпавядае набліжанаму значэнню ліку Пі.

Яшчэ адной датай, звязанай з лікам Пі, з'яўляецца 22 ліпеня, якое завецца «Днём набліжанага ліку Пі» (Pi Approximation Day), бо ў еўрапейскім фармаце дат гэты дзень запісваецца як 22/7, а значэнне гэтага дробу з'яўляецца набліжаным значэннем ліку Пі.

Спасылкі

• На ВікіСховішчы ёсць медыяфайлы па тэме Пі
• Лік $\pi$ з дакладнасцю да 4 мільёнаў знакаў пасля коскі
• Лік $\pi$ з дакладнасцю да 5 мільёнаў знакаў пасля коскі
• Трыльён знакаў ліку $\pi$ (у zip-архівах)
• Зона ПІ на Кавуне
• А.У. Жукаў, «Аб ліку ?». М.: МЦМНО, 2002 г., 32 з. ISBN 5-94057-030-5
• Pi-memory