Пі

З пляцоўкі Вікіпедыя
Перайсці да: рух, знайсці
Разгортка акружнасці і лік π

Лік π (чытаецца як «пі») — матэматычная пастаянная, адносіна даўжыні акружнасці да яе дыяметра, прыблізна роўная 3,14159. Абазначаецца грэчаскай літарай «пі».

πірацыянальны лік, і таму яго нельга дакладна запісаць звычайным дробам. Аднак дробы, напрыклад, такія як 22/7, 3,14 і некаторыя іншыя рацыянальныя лікі, даволі часта выкарыстоўваюцца як прыбліжэнні ліку π. Дзесятковы запіс ліку π ніколі не заканчваецца і ніколі не становіцца перыядычным. Лічбы выглядаюць выпадкова размеркаванымі, аднак доказаў, што гэта сапраўды так, дагэтуль няма.

πтрансцэндэнтны лік, г. зн. ён не можа быць коранем ніякага ненулявога мнагачлена з рацыянальнымі каэфіцыентамі. Адсюль, сярод іншага, вынікае, што развязаць антычную праблему квадратуры круга з дапамогай цыркуля і лінейкі немагчыма.

Упершыню лік \pi з'явіўся ў геаметрыі пры вывучэнні адносін даўжыні і радыуса акружнасці. Тысячы гадоў матэматыкі даследавалі лік π, у тым ліку вылічваючы яго значэнне з высокаю дакладнасцю. Да 15-га стагоддзя для ацэнкі значэння π матэматыкі (напрыклад, Архімед і Лю Хуэй) карысталіся геаметрычнымі метадамі, заснаванымі на многавугольніках. Пачынаючы прыблізна з 15-га стагоддзя, новыя алгарытмы, заснаваныя на бесканечных радах, карэнным чынам змянілі ўзровень вылічэнняў π. У 20—21 стст. матэматыкі і інфарматыкі вынайшлі новыя падыходы, што разам з нарастаннем вылічальных магутнасцей павялічыла колькасць вядомых дзесятковых лічб π да больш чым 10 трыльёнаў (1013) (на канец 2011 г.)[1]. Навуковыя прыкладанні, як правіла, патрабуюць не больш за 40 лічб π, так што галоўнаю прычынаю гэтых вылічэнняў з'яўляецца чалавечае жаданне пабіць рэкорды. Акрамя таго, гэтыя працаёмкія вылічэнні выкарыстоўваліся пры тэсціраванні суперкамп'ютараў і алгарытмаў множання высокай дакладнасці.

Грэчаскай літарай \pi гэту пастаянную ўпершыню абазначыў брытанскі матэматык Уільям Джонс (1706), а агульнапрынятым такое абазначэнне стала пасля прац Леанарда Эйлера. Абазначэнне паходзіць ад пачатковай літары грэчаскіх слоў περιφέρεια — акружнасць, перыферыя і περίμετρος — перыметр.

З тае прычыны, што азначэнне ліку π звязана з акружнасцю, ён уваходзіць у многія формулы ў трыганаметрыі і геаметрыі, асабліва ў тыя, што датычацца акружнасцей, эліпсаў і сфер. Ён таксама сустракаецца ў формулах з іншых галін навукі, такіх як касмалогія, тэорыя лікаў, статыстыка, тэорыя фракталаў, тэрмадынаміка, механіка і электрамагнетызм. Паўсюднасць ліку π робіць яго адною з самых знакамітых матэматычных сталых як сярод навуковай супольнасці, так і па-за ёю: ліку прысвечана некалькі кніг, у гонар ліку ўстаноўлены Дзень Пі, рэкордныя вылічэнні лічбаў π часта трапляюць у загалоўкі навін. Спробы запомніць лічбы π з нарастаннем дакладнасці прывялі да рэкордаў у больш чым 67,000 лічб.

Асноўныя звесткі[правіць | правіць зыходнік]

Абазначэнне[правіць | правіць зыходнік]

У матэматыцы адносіну даўжыні акружнасці да яе дыяметра абазначаюць грэчаскаю літараю π (вымаўляецца «пі»), якая часам, асабліва калі недаступны адпаведныя шрыфты, запісваецца спалучэннем лацінскіх літар як «pi». У матэматычным ужытку, маленкая літара π адрозніваецца ад вялікай літары Π, якая абазначае здабытак элементаў паслядоўнасці.

Азначэнне[правіць | правіць зыходнік]

Рысунак круга з пазначанымі дыяметрам і даўжынёй акружнасці
Акружнасць трохі больш чым у тры разы даўжэйшая за свой дыяметр. Дакладная адносіна называецца π.

Лік π звычайна вызначаюць як адносіну даўжыні акружнасці C да яе дыяметра d [2]:

 \pi = \frac{C}{d}

Адносіна C/d ёсць сталая велічыня, незалежная ад памераў круга. Напрыклад, калі адзін круг мае дыяметр, удвая большы чым у другога, то і даўжыня акружнасці першага будзе ўдвая большая чым у другога, пры гэтым значэнне адносіны C/d захоўваецца. Такое адзначэнне ліку π няяўна выкарыстоўвае плоскую (еўклідаву) геаметрыю; хаця паняцці круга і акружнасці можна пашырыць на любую скрыўленую (нееўклідаву) геаметрыю, для гэтых новых кругаў формулу π = C/d ўжо не будзе справядліваю[2]. Ёсць таксама іншыя азначэнні ліку π, у якіх кругі не выкарыстоўваюцца ўвогуле. Напрыклад, π — гэта падвоенае значэнне найменшага дадатнага ліку x, для якога cos(x) раўняецца 0[2][3].

Уласцівасці[правіць | правіць зыходнік]

πірацыянальны лік, г. зн. яго нельга запісаць у выглядзе адносіны двух цэлых лікаў (такія дробы, як 22/7, звычайна выкарыстоўваюцца ў якасці прыбліжэнняў π; ніякі звычайны дроб (дзель цэлых лікаў) не можа быць дакладным значэннем π)[4]. Раз π ірацыянальны, то ў яго дзесятковым прадстаўленні бесканечна многа ненулявых лічб, пры гэтым паслядоўнасць лічб не становіцца перыядычнай. Ёсць некалькі доказаў таго, што π ірацыянальны; як правіла, у іх выкарыстоўваецца матэматычны аналіз, і яны пабудаваны на метадзе ад процілеглага. Ступень, з якою можна прыблізіць лік π рацыянальнымі лікамі, (т. зв. мера ірацыянальнасці) дакладна невядомая; ацэнкі паказваюць, што мера ірацыянальнасці ліку π большая чым у лікаў e і ln(2), але меншая чым у лікаў Ліувіля[5].

Рысунак квадрата і круга з аднолькаваю плошчаю; даўжыня стараны квадрата раўняецца квадратнаму кораню з пі
З прычыны трансцэндэнтнасці ліку π, квадратуру круга немагчыма пабудаваць з дапамогаю цыркуля і лінейкі за канечны лік крокаў.

πтрансцэндэнтны лік, г. зн. што ён не з'яўляецца нулём ніякага непастаяннага мнагачлена з рацыянальнымі каэфіцыентамі, напрыклад, такога як \scriptstyle \frac{x^5}{120}\,-\,\frac{x^3}{6}\,+\,x\,=\,0[6][7]. Трансцэндэнтнасць ліку π мае два важныя вынікі: першы, лік π нельга выразіць ніякаю канечнаю камбінацыяй рацыянальных лікаў і арыфметычных каранёў з цэлымі паказчыкамі, напрыклад, такіх як \scriptstyle \sqrt[3]{31} ці \scriptstyle \sqrt[2]{10}. Другі, паколькі ніякі трансцэндэнтны лік нельга пабудаваць з дапамогай цыркуля і лінейкі, развязаць задачу «квадратуры круга» немагчыма. Іншымі словамі, немагчыма пабудаваць, карыстаючыся толькі цыркулем і лінейкаю, квадрат з плошчаю, роўнаю плошчы зададзенага круга[8]. Квадратура круга была адною з самых значных геаметрычных праблем класічнай антычнасці[9]. У наш час матэматыкі-любіцелі часам спрабавалі пабудаваць квадратуру круга і іншы раз заяўлялі аб поспеху, нягледзячы на тое, што гэта немагчыма[10].

Лічбы ліку π не маюць яўнай заканамернасці і праходзяць тэсты на выпадковасць, у тым ліку і тэсты на нармальнасць (лік, які запісваецца бесканечнай колькасцю лічб, называецца нармальным, калі ўсе магчымыя паслядоўнасці лічб (любой зададзенай даўжыні) трапляюцца аднолькава часта)[11]. Гіпотэза, што лік π нармальны, не даказана, але і не абвергнута[11]. З прыходам камп'ютараў для статыстычнага аналізу стала даступна вялікая колькасць лічб π. Ясумаса Канада правёў падрабязны статыстычны аналіз дзесятковых лічб ліку π і зрабіў вывад, што іх паводзіны не супярэчаць нармальнасці; напрыклад, частоты лічбаў ад 0 да 9 былі пратэсціраваны на статыстычную значнасць, і ніякіх прыкмет заканамернасці знойдзена не было[12]. Нягледзячы на тое, што лічбы π праходзяць тэсты на выпадковасць, π утрымлівае некаторыя паслядоўнасці лічбаў, якія для нематэматыкаў здаюцца невыпадковымі, напрыклад, пункт Фейнмана — група з шасці паслядоўных дзявятак, якая пачынаецца на 762-ым разрадзе ў дзесятковым запісе ліку π[13].

Непарыўныя дробы[правіць | правіць зыходнік]

Фотаздымак грэчаскай літары pi, выкладзенай вялікімі камянямі на зямлі ў выглядзе мазаікі.
Пастаянная π. Мазаіка ў двары будынка матэматычнага факультэта ў Берлінскім тэхнічным універсітэце.

Як і ўсе ірацыянальныя лікі, π нельга прадставіць у выглядзе звычайнага дробу. Але любы ірацыянальны лік, уключаючы π, можна прадставіць бесканечным ланцугом укладзеных дробаў, т. зв. непарыўным дробам:


\pi=3+\textstyle \frac{1}{7+\textstyle \frac{1}{15+\textstyle \frac{1}{1+\textstyle \frac{1}{292+\textstyle \frac{1}{1+\textstyle \frac{1}{1+\textstyle \frac{1}{1+\ddots}}}}}}}

OEISA001203

Абрыў непарыўнага дробу ў любой кропцы спараджае звычайны дроб — прыбліжэнне ліку π; два такія (звычайныя) дробы (22/7 і 355/113) гістарычна выкарыстоўваліся ў якасці прыбліжэння пастаяннай. Кожнае прыбліжэнне, атрыманае такім шляхам, з'яўляецца найлепшым рацыянальным прыбліжэннем; г.зн. кожнае з іх бліжэйшае да π чым любы іншы дроб з такім жа ці меншым назоўнікам[14]. Хаця просты непарыўны дроб для π (паказаны вышэй) не праяўляе заканамернасці[15], матэматыкі знайшлі некалькі абагульненых непарыўных дробаў, якія маюць празрыстую заканамернасць, напрыклад[16]:

\pi=\textstyle \cfrac{4}{1+\textstyle \frac{1^2}{2+\textstyle \frac{3^2}{2+\textstyle \frac{5^2}{2+\textstyle \frac{7^2}{2+\textstyle \frac{9^2}{2+\ddots}}}}}}
=3+\textstyle \frac{1^2}{6+\textstyle \frac{3^2}{6+\textstyle \frac{5^2}{6+\textstyle \frac{7^2}{6+\textstyle \frac{9^2}{6+\ddots}}}}}
=\textstyle \cfrac{4}{1+\textstyle \frac{1^2}{3+\textstyle \frac{2^2}{5+\textstyle \frac{3^2}{7+\textstyle \frac{4^2}{9+\ddots}}}}}

Прыблізнае значэнне[правіць | правіць зыходнік]

π ≈ 3,141 592 653 589 793 238 462 643 383 279 502 884 197 169 399 375 105 820 974 944 592 307 816 406 286 208 998 628 034 825 342 117 067 982 148 086 513 282 306 647 093 844 609 550 582 231 725 359 408 128 481 117 450 284 102 701 938 521 105 559 644 622 948 954 930 381 964 428 810 975 665 933 446 128 475 648 233 786 783 165 271 201 909 145 648 566 923 460 348 610 454 326 648 213 393 607 260 249 141 273 724 587 006 606 315 588 174 881 520 920 962 829 254 091 715 364 367 892 590 360 011 330 530 548 820 466 521 384 146 951 941 511 609 433 057 270 365 759 591 953 092 186 117 381 932 611 793 105 118 548 074 462 379 962 749 567 351 885 752 724 891 227 938 183 011 949 129 833 673 362…

Некаторыя прыбліжэнні ліку π:

  • Звычайныя дробы (у парадку нарастання дакладнасці): 227, 333106, 355113, 5216316604, 10399333102, і 24585092278256779 [14]. (Спіс складзены з выбраных членаў паслядоўнасцей OEISA063674 і OEISA063673.)
  • Дзесятковы дроб: Першыя 100 дзесятковых лічбаў 3,14159265358979323846264338327950288419716939937510582097494459230781640628620899[17] OEISA000796
  • Двайковы дроб: запіс па аснове 2 да 48 лічбаў 11,001001000011111101101010100010001000010110100011...
  • Шаснаццатковы дроб: запіс па аснове 16 да 20 лічбаў 3,243F6A8885A308D31319...[18]
  • Шасцідзесятковы дроб: па аснове 60 прыбліжэнне да чатырох шасцідзесятковых лічбаў 3;8,29,44,1

Прыбліжэнні, якімі карысталіся старажытныя навукоўцы:

Суадносіны[правіць | правіць зыходнік]

Вядома шмат формул для ліку \pi:

\frac2\pi=
\frac{\sqrt2}2
\frac{\sqrt{2+\sqrt2}}2
\frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt2}}}2\ldots
\frac{1}{1} - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \frac{1}{9} - \cdots = \frac{\pi}{4}
e^{\pi i} + 1 = 0\;

Спосабы вылічэння[правіць | правіць зыходнік]

Прынцып Архімеда

Архімед, магчыма, першым прапанаваў спосаб вылічэння ліку \pi як граніцы. Для гэтага ён упісваў у акружнасць і апісваў каля яе правільныя многавугольнікі. Прымаючы дыяметр акружнасці за адзінку, Архімед разглядаў перыметр упісанага многавугольніка як ніжнюю ацэнку даўжыні акружнасці, а перыметр апісанага многавугольніка як верхнюю ацэнку. Так, для шасцівугольніка (гл. малюнак) атрымліваецца 3 < \pi < 2\sqrt{3}.

Разглядаючы правільны 96-вугольнік, Архімед атрымаў ацэнку 3\frac{10}{71} < \pi <3\frac{1}{7}.

У Новы час для вылічэння \pi выкарыстоўваюцца аналітычныя метады, заснаваныя на тоеснасцях. Прыведзеныя вышэй формулы малапрыдатныя для вылічальных мэт, бо ў іх або выкарыстоўваюцца павольна збежныя рады, або трэба выконваць складаную аперацыю здабывання квадратнага кораня.

Першую эфектыўную формулу знайшоў у 1706 Джон Мэчын (John Machin):

\frac{\pi}{4} = 4\,\mathrm{arctg}\frac{1}{5} - \mathrm{arctg}\frac{1}{239}

Расклаўшы арктангенс у рад Тэйлара, можна атрымаць хутка збежны рад, прыдатны для вылічэння ліку \pi з вялікай дакладнасцю.

Яшчэ хутчэй працуюць алгарытмы, заснаваныя на формулах Рамануджана

\frac{1}{\pi} = \frac{2\sqrt{2}}{9801} \sum^\infty_{k=0} \frac{(4k)!(1103+26390k)}{(k!)^4 \, 396^{4k}}

і Чудноўскага

\frac{1}{\pi} = 12 \sum^\infty_{k=0} \frac{(-1)^k (6k)! (13591409 + 545140134k)}{(3k)!(k!)^3 \, 640320^{3k + 3/2}}

У 1997 Дэйвід Х. Бэйлі, Пітэр Боруэйн і Сайман Плуф адкрылі спосаб[19] хуткага вылічэння адвольнай двайковай лічбы ліку \pi без вылічэння папярэдніх лічб, заснаваны на формуле

\pi = \sum_{i=0}^{\infty}\frac{1}{16^i}\left(\frac{4}{8i+1}-\frac{2}{8i+4}-\frac{1}{8i+5}-\frac{1}{8i+6}\right)

Нявырашаныя праблемы[правіць | правіць зыходнік]

Метад іголкі Бюфона[правіць | правіць зыходнік]

На разлінееную роўнааддаленымі прамымі плоскасць адвольна кідаецца іголка, даўжыня якой роўная адлегласці паміж суседнімі прамымі, так што пры кожным кіданні іголка альбо не перасякае прамыя, альбо перасякае роўна адну. Можна даказаць, што адносіна колькасці перасячэнняў іголкі з якой-небудзь лініяй да агульнай колькасці кідкоў імкнецца да \frac2\pi пры павелічэнні колькасці кідкоў да бесканечнасці[26]. Дадзены метад іголкі грунтуецца на тэорыі імавернасцей і ляжыць у аснове метаду Монтэ-Карла[27].

Цікава ведаць[правіць | правіць зыходнік]

Сусветны рэкорд па запамінанні знакаў ліку Пі належыць японцу Акіры Харагучы (Akira Haraguchi). Ён запомніў лік Пі да 100-тысячнага знака пасля коскі. Яму спатрэбілася амаль 16 гадзін, каб назваць увесь лік цалкам.

Неафіцыйнае свята[правіць | правіць зыходнік]

Неафіцыйнае свята «Дзень ліку Пі» (Pi Day) адзначаецца 14 сакавіка, якое ў амерыканскім фармаце дат запісваецца як 3.14, што адпавядае набліжанаму значэнню Пі.

Яшчэ адной датай, звязанай з лікам Пі, з'яўляецца 22 ліпеня, якое называецца «Днём прыбліжанага ліку Пі» (Pi Approximation Day), бо ў еўрапейскім фармаце дат гэты дзень запісваецца як 22/7, а значэнне гэтага дробу з'яўляецца набліжаным значэннем ліку Пі.

Зноскі[правіць | правіць зыходнік]

  1. «Round 2… 10 Trillion Digits of Pi», NumberWorld.org, 17 Oct 2011. Retrieved 30 May 2012.
  2. 2,0 2,1 2,2 Arndt & Haenel 2006, p. 8
  3. Rudin, Walter (1976). Principles of Mathematical Analysis. McGraw-Hill. ISBN 0-07-054235-X. , p 183.
  4. Arndt & Haenel 2006, p. 5
  5. Salikhov, V. (2008). "On the Irrationality Measure of pi". Russian Mathematical Survey 53 (3): 570. doi:10.1070/RM2008v063n03ABEH004543. Bibcode2008RuMaS..63..570S. 
  6. Mayer, Steve The Transcendence of π. Праверана 4 лістапада 2007.
  7. Упамянуты мнагачлен — гэта некалькі пачатковых членаў раскладання функцыі сінуса ў рад Тэйлара.
  8. Posamentier & Lehmann 2004, p. 25
  9. Eymard & Lafon 1999, p. 129
  10. Beckmann 1989, p. 37
    Schlager, Neil; Lauer, Josh (2001). Science and Its Times: Understanding the Social Significance of Scientific Discovery. Gale Group. ISBN 0-7876-3933-8. , p 185.
  11. 11,0 11,1 Arndt & Haenel 2006, pp. 22–23
    Preuss, Paul. Are The Digits of Pi Random? Lab Researcher May Hold The Key , Lawrence Berkeley National Laboratory (23 July 2001). Праверана 10 лістапада 2007.
  12. Arndt & Haenel 2006, pp. 22, 28–30
  13. Arndt & Haenel 2006, p. 3
  14. 14,0 14,1 Eymard & Lafon 1999, p. 78
  15. Шаблон:SloanesRef Retrieved 12 April 2012.
  16. Lange, L. J. (May 1999). "An Elegant Continued Fraction for π". The American Mathematical Monthly 106 (5): 456–458. doi:10.2307/2589152. 
  17. Arndt & Haenel 2006, p. 240
  18. Arndt & Haenel 2006, p. 242
  19. David Bailey, Peter Borwein and Simon Plouffe. On the rapid computation of various polylogarithmic constants (англ.).
  20. Weisstein, Eric W. Мера ірацыянальнасці(англ.)  на старонцы Wolfram MathWorld.
  21. Weisstein, Eric W. Pi(англ.)  на старонцы Wolfram MathWorld.
  22. en:Irrational number#Open questions
  23. Some unsolved problems in number theory
  24. Weisstein, Eric W. Трансцендентное число(англ.)  на старонцы Wolfram MathWorld.
  25. An introduction to irrationality and transcendence methods
  26. Обман или заблуждение? Квант № 5 1983 год
  27. Г. А. Гальперин. Биллиардная динамическая система для числа пи.

Літаратура[правіць | правіць зыходнік]

Спасылкі[правіць | правіць зыходнік]