Піфагорава тройка

З пляцоўкі Вікіпедыя.
Перайсці да: рух, знайсці
Тэарэма Піфагора: a2 + b2 = c2
Т.зв. егіпецкі трохвугольнік,
найпрасцейшы піфагораў трохвугольнік:
32 + 42 = 52.

Піфагорава тройка — упарадкаваная тройка натуральных лікаў a, b і c, такіх што

a^2 + b^2 = c^2

Такія тройкі звычайна запісваюць як (a, b, c), напрыклад, (3, 4, 5). Калі (a, b, c) — піфагорава тройка, тады (ka, kb, kc) — таксама піфагорава для любога натуральнага k.

Нескарачальная піфагорава тройка — піфагорава тройка, у якой a, b і c узаемна простыя.

Трохвугольнік, стораны якога утвараюць піфагораву тройку, называецца піфагоравым трохвугольнікам.

Назва паходзіць ад тэарэмы Піфагора, якая сцвярджае, што ў прамавугольным трохвугольніку даўжыні старон звязаны ўраўненнем

a^2 + b^2 = c^2.

Больш таго, справядліва і адваротнае сцвярджэнне: калі даўжыні старон некаторага трохвугольніка задавальняюць гэта ўраўненне, то ён прамавугольны. Таму піфагоравы тройкі адпавядаюць прамавугольным трохвугольнікам з цэлымі даўжынямі старон (даўжыні ўсіх трох старон адначасова павінны быць цэлымі лікамі). Варта заўважыць, што не любы прамавугольны трохвугольнік з'яўляецца піфагоравым. Напрыклад, трохвугольнік са старанамі (1, 1, √2) не піфагораў, бо лік √2 не цэлы (больш таго, ён ірацыянальны).

Прыклады[правіць | правіць зыходнік]

Кропкавая дыяграма, на якой адзначаны кропкі з каардынатамі (a,b) піфагоравых троек, для якіх c меншы за 6000. Адмоўныя значэнні ўключаны ў дыяграму дзеля большай нагляднасці.

Тут прыведзены 16 нескарачальных піфагоравых троек з c ≤ 100:

( 3, 4, 5 ) ( 5, 12, 13) ( 8, 15, 17) ( 7, 24, 25)
(20, 21, 29) (12, 35, 37) ( 9, 40, 41) (28, 45, 53)
(11, 60, 61) (16, 63, 65) (33, 56, 65) (48, 55, 73)
(13, 84, 85) (36, 77, 85) (39, 80, 89) (65, 72, 97)

Заўважым, што, напрыклад, піфагорава тройка (6, 8, 10) скарачальная, бо яна кратна тройцы (3, 4, 5). Скарачальныя тройка лёгка атрымаць з нескарачальных дамнажэннем на натуральны лік.

А тут пералічаны нескарачальныя піфагоравы тройкі з 100 < c ≤ 300:

(20, 99, 101) (60, 91, 109) (15, 112, 113) (44, 117, 125)
(88, 105, 137) (17, 144, 145) (24, 143, 145) (51, 140, 149)
(85, 132, 157) (119, 120, 169) (52, 165, 173) (19, 180, 181)
(57, 176, 185) (104, 153, 185) (95, 168, 193) (28, 195, 197)
(84, 187, 205) (133, 156, 205) (21, 220, 221) (140, 171, 221)
(60, 221, 229) (105, 208, 233) (120, 209, 241) (32, 255, 257)
(23, 264, 265) (96, 247, 265) (69, 260, 269) (115, 252, 277)
(160, 231, 281) (161, 240, 289) (68, 285, 293)

Формулы для троек[правіць | правіць зыходнік]

Нескарачальныя піфагоравы тройкі, паказаныя як адпаведныя трохвугольнікі на графіку
Нескарачальныя піфагоравы тройкі. Няцотны катэт a адкладваецца па гарызантальнай восі, цотны катэт b — па вертыкальнай. Крывалінейная сетка ўтворана крывымі, на якіх адна з двух велічынь m - n і m + n мае пастаяннае значэнне. Параметры m і n тыя ж, што ў формуле Еўкліда.
Тройкі, атрыманыя па формуле Еўкліда, ляжаць на конусе z2 = x2 + y2. Пастаянным значэнням m ці n адпавядаюць часткі парабал на конусе.

Еўклідава формула[1] — асноўная формула для вылічэння піфагоравых троек па двум дадатным цэлым параметрам m і n, дзе m > n.

Лікі a, b і c, вылічаныя па Еўклідавай формуле

 a = m^2 - n^2 ,\ \, b = 2mn ,\ \, c = m^2 + n^2,

утвараюць піфагораву тройку.

Тройка, знойдзеная па Еўклідавай формуле, нескарачальная тады і толькі тады, калі m і n узаемна простыя і лік mn няцотны. Калі ж і m, і n абодва няцотныя, тады a, b і c будуць цотнымі, і ў выніку тройка будзе скарачальная; тым не менш дзяленне a, b і c на 2 ў выпадку ўзаемна простых m і n дае нескарачальную тройку.[2]

Зноскі

  1. Joyce, D. E. (June 1997). "Book X , Proposition XXIX". Euclid's Elements. Clark University. 
  2. Mitchell, Douglas W. (July 2001). An Alternative Characterisation of All Primitive Pythagorean Triples. 85. 273–5.