Пі-тэарэма

Пі-тэарэма
Названа ад	Edgar Buckingham[d]
Асноўная тэма твора	размернасць фізічнай велічыні і characteristic number[d]
Першаадкрывальнік	Joseph Louis François Bertrand[d]

Π-тэарэма (пі-тэарэма) — асноўная тэарэма аналізу размернасцей. Тэарэма сцвярджае, што калі маецца залежнасць паміж $n$ фізічнымі велічынямі, якая не мяняе свайго выгляду пры змене маштабаў адзінак у пэўным класе сістэм адзінак, то яна эквівалентная залежнасці паміж, наогул кажучы, меншым лікам $p=n-k$ безразмерных велічынь, дзе $k$ — найбольшая колькасць велічынь з незалежнымі размернасцямі сярод зыходных $n$ велічынь. Π-тэарэма дазваляе выявіць агульную структуру залежнасці, вынікаючую толькі з патрабавання інварыянтавасці фізічнай залежнасці пры змене маштабаў адзінак, нават калі канкрэтны выгляд залежнасці паміж зыходнымі велічынямі невядомы.

Варыянты назвы

У рускамоўнай літаратуры па тэорыі размернасцей і мадэляванні звычайна выкарыстоўваецца назва π-тэарэма (Π-тэарэма, пі-тэарэма), якая пайшла ад традыцыйнага абазначэння безразмерных камбінацый з дапамогай (вялікай або маленькай) грэчаскай літары «пі». У англамоўнай літаратуры тэарэму звычайна звязваюць з імем Бакінгема («Buckingham π theorem»), а ў франкамоўнай — з імем Вашы («Théorème de Vaschy-Buckingham»).

Гістарычная даведка

Відаць, упершыню пі-тэарэма была даказана Ж.Бертранам у 1878. Бертран разглядае прыватныя прыклады задач з электрадынамікі і тэорыі цеплаправоднасці, аднак яго пераказ ўтрымлівае ў выразным выглядзе ўсе асноўныя ідэі сучаснага доказы пі-тэарэмы, а таксама яснае ўказанне на прымяненне пі-тэарэмы для мадэлявання фізічных з’яў. Шырокую вядомасць методыка прымянення пі-тэарэмы («the method of dimensions») атрымала дзякуючы працам Рэлея (першае прымяненне пі-тэарэмы ў агульным выглядзе да залежнасці падзення ціску ў трубаправодзе ад вызначальных параметраў адносіцца, верагодна, да 1892 , Эўрыстычны доказ з выкарыстаннем раскладання ў ступенны рад — да 1894).

Фармальнае абагульненне пі-тэарэмы на выпадак адвольнага ліку велічынь было ўпершыню сфармулявана Вашы у 1892 , а пазней і, відаць, незалежна — А. Фэдэрманам , Д.Рябушынскім ў 1911 г. і Бакінгемам ў 1914 г. Пасля пі-тэарэма абагульнена Германам Вейлем ў 1926 г.

Фармулёўка тэарэмы

Для прастаты ніжэй прыводзіцца фармулёўка для дадатных велічынь $q_{i}$.

Выкажам здагадку, што маецца залежнасць паміж $n$ фізічнымі велічынямі $q_{1}$, $q_{2}$, $\ldots$, $q_{n}$:

$f(q_{1},q_{2},\ldots ,q_{n})=0,$

выгляд якой не змяняецца пры змене маштабаў адзінак у абраным класе сістэм адзінак (напрыклад, калі выкарыстоўваецца клас сістэм адзінак LMT, то выгляд функцыі $f$ не мяняецца пры любых зменах эталонаў даўжыні, часу і масы, скажам пры пераходзе ад вымярэнняў у кілаграмах, метрах і секундах да вымярэннях ў фунтах, цалях і гадзінах).

Абяром сярод аргументаў функцыі найбольшую сукупнасць велічынь з незалежнымі размернасцямі (такі выбар можна, наогул кажучы, рабіць рознымі спосабамі). Тады калі лік велічынь з незалежнымі размернасцямі абазначаны як $k$ і яны занумараваныя індэксамі $1$, $2$, $\ldots$, $k$ (у адваротным выпадку іх можна перанумараваць), то зыходная залежнасць $f$ эквівалентная залежнасці паміж $p=n-k$ безразмернымі велічынямі $\pi _{1}$, $\pi _{2}$, $\ldots$, $\pi _{p}$:

$F(\pi _{1},\pi _{2},\ldots ,\pi _{p})=0,$

дзе $\pi _{i}$ — безразмерныя камбінацыі, атрыманыя з зыходных велічынь, якія засталіся $q_{k+1}$, $q_{k+2}$, $\ldots$, $q_{n}$ дзяленнем на выбраныя велічыні ў адпаведных ступенях:

$\pi _{1}={\frac {q_{k+1}}{q_{1}^{a}\cdot q_{2}^{b}\times \ldots \times q_{k}^{z}}},$

$\ldots ,$

$\pi _{p}={\frac {q_{n}}{q_{1}^{A}\cdot q_{2}^{B}\times \ldots \times q_{k}^{Z}}}$

(безразмерныя камбінацыі заўсёды існуюць таму, што $q_{1}$, $q_{2}$, $\ldots$, $q_{k}$ — сукупнасць размерна-незалежных велічынь найбольшага памеру, і пры даданні да іх яшчэ адной велічыні атрымліваецца сукупнасць з залежнымі размернасцямі).

Доказ

Доказ пі-тэарэмы вельмі просты. Зыходную залежнасць $f$ паміж $q_{1}$, $q_{2}$, $\ldots$, $q_{n}$ можна разглядаць як некаторую залежнасць паміж $q_{1}$, $q_{2}$, $\ldots$, $q_{k}$ і $\pi _{1}$, $\pi _{2}$, $\ldots$, $\pi _{p}$:

$\Phi (q_{1},q_{2},\ldots ,q_{k},\pi _{1},\pi _{2},\ldots ,\pi _{p})=0,$

прычым выгляд функцыі $\Phi$ таксама не змяняецца пры змене маштабаў адзінак. Застаецца заўважыць, што ў сілу размернай незалежнасці велічынь $q_{1}$, $q_{2}$, $\ldots$, $q_{k}$ заўсёды можна абраць такі маштаб адзінак, што гэтыя велічыні стануць роўнымі адзінцы, у той час як $\pi _{1}$, $\pi _{2}$, $\ldots$, $\pi _{p}$, будучы безразмернымі камбінацыямі, сваіх значэнняў не зменяць, таму пры абраным так маштабе адзінак, а значыць, у сілу інварыянтнасці, і ў любой сістэме адзінак, функцыя $\Phi$ фактычна залежыць толькі ад \$\pi _{i}$:

$\Phi (1,1,\ldots ,1,\pi _{1},\pi _{2},\ldots ,\pi _{p})\equiv H(\pi _{1},\pi _{2},\ldots ,\pi _{p})=0.$

Асобныя выпадкі

Прымяненне да ўраўнення, вырашанага адносна адной велічыні

Часта выкарыстоўваецца варыянт пі-тэарэмы для функцыянальнай залежнасці адной фізічнай велічыні $q$ ад некалькіх іншых $q_{1}$, $q_{2}$, $\ldots$, $q_{n}$:

$q=f(q_{1},q_{2},\ldots ,q_{n}).$

У гэтым выпадку пі-тэарэма сцвярджае, што залежнасць эквівалентная сувязі

$\pi =F(\pi _{1},\pi _{2},\ldots ,\pi _{p}),$

дзе

$\pi ={\frac {q}{q_{1}^{\alpha }\cdot q_{2}^{\beta }\times \ldots \times q_{k}^{\omega }}},$

а $\pi _{i}$ вызначаюцца так жа, як і вышэй.

Выпадак, калі пі-тэарэма дае выгляд залежнасці з дакладнасцю да множніка

У адным важным прыватным выпадку, калі ў залежнасці

$q=f(q_{1},q_{2},\ldots ,q_{n})$

ўсе аргументы маюць незалежныя размернасці, прымяненне пі-тэарэмы дае

$\pi ={\frac {q}{q_{1}^{\alpha }\cdot q_{2}^{\beta }\times \ldots \times q_{k}^{\omega }}}={\text{const}},$

гэта значыць выгляд функцыянальнай залежнасці вызначаецца з дакладнасцю да канстанты. Значэнне канстанты метадамі тэорыі размернасцей не вызначаецца, і для яе знаходжання трэба выкарыстоўваць эксперыментальныя або іншыя тэарэтычныя метады.

Заўвагі аб прымяненні пі-тэарэмы

• Выбар аргументаў з незалежнымі размернасцямі, наогул кажучы, можна рабіць рознымі спосабамі, у выніку чаго пры ўжыванні пі-тэарэмы фармальна могуць атрымлівацца розныя выразы. Аднак на самай справе атрымліваюцца вынікі эквівалентныя, і з адной формы запісу можна атрымаць іншую шляхам пераходу да камбінацый безразмерных параметраў.
• У фармулёўцы пі-тэарэмы патрабаванне інварыянтавасці залежнасці з’яўляецца важным. Калі, напрыклад, пры працы ў Міжнароднай сістэме адзінак (СІ) у эксперыменце была атрымана залежнасць шляху $s$, пройдзенага падаючым целам, ад часу $t$

$s={\frac {9{,}81\cdot t^{2}}{2}},$

то ў такім выглядзе яна не задавальняе ўмовам пі-тэарэмы.

Прымяненне пі-тэарэмы для фізічнага мадэлявання

Пі-тэарэма прымяняцца для фізічнага мадэлявання розных з’яў у аэрадынаміцы, гідрадынаміцы, тэорыі пругкасці, тэорыі ваганняў. Мадэляванне заснавана на тым, што калі для двух прыродных працэсаў («мадэльнага» і «натурного», напрыклад для патоку паветра ў вакол мадэлі самалёта ў аэрадынамічнай трубе і патоку паветра вакол рэальнага самалёта) безразмерныя аргументы (іх называюць крытэрыі падобнасці) у залежнасці

$\pi =F(\pi _{1},\pi _{2},\ldots ,\pi _{p})$

супадаюць, што можа быць ажыццёўлена за кошт спецыяльнага выбару параметраў «мадэльнага» аб’екта, то і безразмерныя значэнні функцыі $\pi$ таксама супадаюць. Гэта дазваляе «пералічваць» размерныя эксперыментальныя значэнні параметраў ад «мадэльнага» аб’екта да «натурных» нават калі выгляд функцыі $F$ невядомы. Калі супадзенні ўсіх крытэрыяў падобнасці для «мадэльнага» і «натурнага» аб’ектаў дасягнуць немагчыма, то часта звяртаюцца да прыбліжанага мадэлявання, калі дасягаецца падобнасць толькі па крытэрыях, якія адлюстроўваюць уплыў найбольш істотных фактараў, тады як ўплыў другарадных фактараў ўлічваецца прыбліжана на аснове дадатковых меркаванняў (не вынікаючых з тэорыі размернасцей).

Прыклады прымянення пі-тэарэмы

• Частата ваганняў звона

Выпраменьванне гуку звонам адбываецца ў выніку яго ўласных ваганняў, якія могуць апісвацца ў рамках лінейнай тэорыі пругкасці. Частата $f$ гуку, які выдаецца, залежыць ад шчыльнасці $\rho$, модуля Юнга $E$ і каэфіцыента Пуасона $\nu$ металу, з якога зроблены звон, і ад канечнага ліку геаметрычных памераў $l_{1}$, $l_{2}$, $\ldots$, $l_{N}$ звона:

$f=F(\rho ,E,\nu ,l_{1},l_{2},\ldots ,l_{N}).$

Калі выкарыстоўваецца клас сістэм адзінак LMT, то ў якасці велічынь з незалежнымі размернасцямі можна, напрыклад, выбраць $\rho$, $E$ м $l_{1}$ (выбраныя велічыні, якія ўваходзяць у максімальную размерна-незалежную падсістэму, падкрэслены):

$f=F({\underline {\rho }},{\underline {E_{\text{ }}}},\nu ,{\underline {l_{1}}},l_{2},\ldots ,l_{N}),$

і прымяненне пі-тэарэмы дае

${\frac {fl_{1}}{\sqrt {E/\rho }}}=G\left(\nu ,{\frac {l_{2}}{l_{1}}},{\frac {l_{3}}{l_{1}}},\ldots ,{\frac {l_{N}}{l_{1}}}\right).$

Калі маюцца два геаметрычна падобныя званы з аднаго і таго ж матэрыялу, то для іх аргументы функцыі $G$ супадаюць, таму адносіна іх частот адваротна прапарцыянальная адносіне іх памераў (ці адваротна прапарцыянальная кубічнаму кораню з адносіны іх мас). Гэтая заканамернасць пацвярджаецца эксперыментальна .

Адзначым, што калі б у якасці велічынь з незалежнымі размернасцямі былі выбраны іншыя велічыні, напрыклад $\rho$, $E$ і $l_{2}$, то прымяненне пі-тэарэмы дало б фармальна іншы вынік

${\frac {fl_{2}}{\sqrt {E/\rho }}}=H\left(\nu ,{\frac {l_{1}}{l_{2}}},{\frac {l_{3}}{l_{2}}},\ldots ,{\frac {l_{N}}{l_{2}}}\right),$

Але высновы засталіся б, вядома, тымі ж.

• Супраціўленне пры павольным руху шара ў вязкай вадкасці

Пры павольным (пры малых ліках Рэйнальдса) стацыянарным руху сферы ў вязкай вадкасці велічыня сілы супраціўлення $F$ залежыць ад вязкасці вадкасці $\mu$, а таксама ад скорасці $V$ і радыуса $R$ сферы (шчыльнасць вадкасці не ўваходзіць у лік вызначальных параметраў, бо пры малых скарасцях ўплыў інерцыі вадкасці вельмі малы). Прымяняючы да залежнасці

$F=f(\mu ,V,R)$

пі-тэарэму, атрымліваем

${\frac {F}{\mu VR}}={\text{const}},$

г.зн. у гэтай задачы сіла супраціўлення знаходзіцца з дакладнасцю да канстанты. Значэнне канстанты з меркаванняў размернасці ці не знаходзіцца (рашэнне адпаведнай гідрадынамічнай задачы дае для канстанты значэнне $6\pi$, якое пацвярджаецца эксперыментальна).

Гл. таксама

• Безразмерная велічыня
• Размернасць фізічнай велічыні

Спасылкі

• Некоторые обзорные работы и первоисточники по истории пи-теоремы и теории подобия