Рад Фур'е

З пляцоўкі Вікіпедыя
Перайсці да: рух, знайсці
Вынікі дадавання членаў рада Фур'е пры прыбліжэнні разрыўнай кавалкава-пастаяннай функцыі

Рад Фур'е — прадстаўленне адвольнай функцыі f з перыядам \tau у выглядзе рада

 f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum\limits_{k=1}^{+\infty} A_k\cos\left(2\pi \frac{k}{\tau}x+\theta_k\right)

Гэты рад можна таксама запісаць у відзе

f(x) = \sum\limits_{k=-\infty}^{+\infty} \hat{f}_k e^{i2\pi \frac{k}{\tau}x},

дзе

A_k — амплітуда k-га гарманічнага вагання,
2\pi \frac{k}{\tau} = k\omega — кругавая частата гарманічнага вагання,
\theta_k — пачатковая фаза k-га вагання,
\hat{f}_kk-я камплексная амплітуда.

У больш агульным выглядзе радам Фур'е элемента гільбертавай прасторы называецца раскладанне гэтага элемента па артаганальнаму базісу. Існуе мноства сістэм артаганальных функцый: Уолша, Лагера, Кацельнікава і інш.

Раскладанне функцыі ў рад Фур'е з'яўляецца магутным інструментам пры рашэнні самых розных задач дзякуючы таму, што рад Фур'е празрыстым чынам паводзіць сябе пры дыферэнцаванні, інтэграванні, зруху функцыі па аргументу і згортцы функцый.

Рад названы так у гонар французскага матэматыка Жана Фур'е.

Трыганаметрычны рад Фур'е[правіць | правіць зыходнік]

Трыганаметрычным радам Фур'е функцыі f\in L_2([-\pi,\pi]) называюць функцыянальны рад віду

f(x)=\frac{a_0}{2} + \sum^{\infin}_{n=1} (a_n \cos nx + b_n \sin nx)
(1)

дзе

a_0= \frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^{\pi}f(x)dx,
a_n= \frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos(nx)dx,
b_n= \frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin(nx)dx,

Лікі a_0, a_n і b_n (n = 1, 2, \ldots) называюцца каэфіцыентамі Фур'е функцыі f. Формулы для іх можна растлумачыць наступным чынам. Дапусцім, трэба прадставіць функцыю f\in L_2([0,2\pi]) у выглядзе рада (1), і трэба вызначыць невядомыя каэфіцыенты a_0, a_n і b_n. Калі дамножыць правую частку (1) на \cos(kx) і праінтэграваць па прамежку [-\pi,\pi], дзякуючы артаганальнасці ў правай частцы ўсе складнікі будуць роўныя нулю, акрамя аднаго. З атрыманай роўнасці лёгка выражаецца каэфіцыент a_k. Гэтак жа для b_k.

Рад (1) збягаецца к функцыі f у прасторы L_2([-\pi,\pi]). Іншымі словамі, калі абазначыць праз S_k(x) частковыя сумы рада (1):

S_k(x)=\frac{a_0}{2} + \sum^{k}_{n=1} (a_n \cos nx + b_n \sin nx),

то іх сярэднеквадратычнае адхіленне ад функцыі f будзе імкнуцца к нулю:

\lim\limits_{k\rightarrow \infty}\int\limits_{-\pi}^{\pi}(f(x)-S_k(x))^2dx=0.

Нягледзячы на сярэднеквадратычную збежнасць, рад Фур'е функцыі, увогуле кажучы, не абавязан збягацца к ёй папунктава.

Часта пры рабоце з радамі Фур'е бывае зручней у якасці базіса выкарыстоўваць замест сінусаў і косінусаў экспаненты ўяўнага аргумента. Разгледзім прастору L^2([-\pi,\pi],\mathbb{C}) камплесназначных функцый са скалярным здабыткам

\langle f,g\rangle := \int\limits_{-\pi}^{\pi}f(x)\overline{g(x)}dx.

Таксама разгледзім сістэму функцый

\varphi_k(x)=e^{ikx}=\cos(kx)+i\sin(kx), \quad k\in\mathbb{Z}.

Як і раней, гэтыя функцыі з'яўляюцца папарна артаганальнымі і ўтвараюць поўную сістэму, і такім чынам, любую функцыю f\in L^2([-\pi,\pi],\mathbb{C}) можна раскласці па іх у рад Фур'е:

f(x) = \sum\limits_{k=-\infty}^{+\infty} \hat{f}_k e^{ikx},

дзе рад у правай частцы збягаецца к f па норме ў f\in L^2([-\pi,\pi],\mathbb{C}). Тут

\hat{f}_k= \frac{1}{2\pi}\int\limits_{-\pi}^{\pi}f(x)e^{-ikx}dx.

Каэфіцыенты \hat{f}_k звязаны з класічнымі каэфіцыентамі Фур'е па наступных формулах:


\hat{f}_k = \begin{cases}
(a_k-ib_k)/2, & k>0,\\
a_0/2, & k=0,\\
(a_{|k|}+ib_{|k|})/2, & k<0.
\end{cases}
a_k = \hat{f}_k+\hat{f}_{-k}, \quad k>0,
b_k = i(\hat{f}_k-\hat{f}_{-k}), \quad k>0.
  • Камплексная функцыя рэчаіснай зменнай раскладаецца ў такі ж рад Фур'е па ўяўных экспанентах, як і рэчаісная, але ў адрозненне ад апошняй, у яе раскладанні \hat{f}_k і \hat{f}_{-k} не будуць, наогул кажучы, камплексна спалучанымі.

Абагульненні[правіць | правіць зыходнік]

Рады Фур'е ў гільбертавай прасторы[правіць | правіць зыходнік]

Апісаную вышэй канструкцыю можна абагульніць з выпадка прасторы L^2[-\pi,\pi] з трыганаметрычнай сістэмай на адвольную гільбертаву прастору. Няхай зададзеныя артаганальная сістэма \{\varphi_1, \varphi_2, ..., \varphi_n, ...\} ў гільбертавай прасторы R і f — адвольны элемент з R. Дапусцім, трэба прадставіць f у выглядзе (бесканечнай) лінейнай камбінацыі элементаў \{\varphi_k\}:

f = \sum^{\infin}_{n=1}c_n\varphi_n.

Дамножым гэты выраз на \varphi_k. З улікам артаганальнасці сістэмы функцый \{\varphi_k\} усе складнікі рада аказваюцца нулямі, акрамя складніка пры n = k:

(f, \varphi_k) = c_k \|\varphi_k\|^2.

Паслядоўнасць лікаў

c_k =\frac{(f, \varphi_k)}{\|\varphi_k\|^2}

называецца каардынатамі, ці каэфіцыентамі Фур'е элемента f па сістэме \{\varphi_k\}, а рад

\sum_k c_k \varphi_k

называецца радам Фур'е элемента f па артаганальнай сістэме \{\varphi_k\}.

Рад Фур'е любога элемента f па любой артаганальнай сістэме збягаецца ў прасторы R, але яго сума не абавязкова роўная f. Для ортанармаванай сістэмы {\varphi_k} у сепарабельнай гільбертавай прасторы наступныя ўмовы раўназначныя:

  • сістэма з'яўляецца базісам, г. зн. сума рада Фур'е любога элемента роўная гэтаму элементу.
  • сістэма з'яўляецца поўнай, г. зн. у R не існуе ненулявога элемента, артаганальнага ўсім элементам \varphi_1, \varphi_2, \dots, \varphi_n, \dots адначасова.
  • сістэма з'яўляецца замкнутай, г. зн. для любога f\in R справядліва роўнасць Парсеваля
    \sum_{k=1}^\infty c_k^2 = \|f\|^2.
  • лінейныя камбінацыі элементаў \varphi_1, \varphi_2, ..., \varphi_n, ... шчыльныя ў прасторы R.

Калі гэтыя ўмовы не выконваюцца, то сума рада Фур'е элемента f роўная яго артаганальнай праекцыі на замыканне лінейнай абалонкі элементаў \varphi_1, \varphi_2, \dots, \varphi_n, \dots. У гэтым выпадку замест роўнасці Парсеваля справядліва няроўнасць Беселя:

\sum_{k=1}^\infty c_k^2 \le \|f\|^2.

Дваістасць Пантрагіна[правіць | правіць зыходнік]

Пры абагульненні радоў Фур'е на выпадак гільбертавых прастор губляюцца ўласцівасці, якія звязваюць рады Фур'е са згорткаю — тое, што каэфіцыенты Фур'е згорткі функцый з'яўляюцца пачленнымі здабыткамі іх каэфіцыентаў Фур'е, і наадварот, каэфіцыенты Фур'е здабытку прадстаўляюцца згорткаю каэфіцыентаў Фур'е сумножнікаў. Гэтыя ўласцівасці ключавыя для прыкладанняў тэорыі Фур'е да рашэння дыферэнцыяльных, інтэгральных і іншых функцыянальных ураўненняў. Таму найбольш цікавымі з'яўляюцца такія абагульненні радоў Фур'е, для якіх гэтыя ўласцівасці захоўваюцца. Такім абагульненнем з'яўляецца тэорыя дваістасці Пантрагіна. Яна разглядае функцыі, зададзеныя на лакальна-кампактных абелевых групах. Аналагам рада Фур'е такой функцыі будзе функцыя, зададзеная на дваістай групе.

Збежнасць рада Фур'е[правіць | правіць зыходнік]

Збежнасць рада Фур'е

Агляд вынікаў аб збежнасці рада Фур'е[правіць | правіць зыходнік]

Абазначым праз S_N(f,x) частковыя сумы рада Фур'е функцыі f(x):

S_N(f,x):=\sum\limits_{k=-N}^N\hat{f}_ke^{ikx}.

Далей абмяркоўваецца збежнасць паслядоўнасці функцый S_N(f,x) к функцыі f(x) у розных сэнсах. Функцыя f лічыцца 2\pi-перыядычнаю (калі яна зададзена толькі на прамежку [-\pi,\pi], яе можна перыядычна працягнуць).

  • Калі f\in L_2([-\pi,\pi]), то паслядоўнасць S_N(f,x) збягаецца к функцыі f(x) у сэнсе L_2. Акрамя таго, S_N(f,x) з'яўляюцца найлепшым (у сэнсе адлегласці ў L_2) прыбліжэннем функцыі f трыганаметрычным мнагачленам ступені не больш за N.
  • Збежнасць радоў Фур'е ў зададзеным пункце x_0 — лакальная ўласцівасць, г. зн. калі функцыі f і g супадаюць у некаторым наваколлі x_0, то паслядоўнасці S_N(f,x_0) і S_N(g,x_0) альбо адначасова разбягаюцца, альбо адначасова збягаюцца, і ў гэтым выпадку іх граніцы супадаюць.
  • Калі функцыя f дыферэнцавальная ў пункце x_0, то яе рад Фур'е ў гэтым пункце збягаецца к f(x_0). Больш дакладныя дастатковыя ўмовы ў тэрмінах гладкасці функцыі f задаюцца прыкметаю Дзіні.
  • Функцыя, непарыўная ў пункце x_0, можа мець разбежны ў ёй рад Фур'е. Але, калі ён збягаецца, то абавязкова к f(x_0). Гэта вынікае з таго, што для непарыўнай у x_0 функцыі f паслядоўнасць S_N(f,x_0) збягаецца па Чэзара к f(x_0).
  • Калі функцыя f разрыўная ў пункце x_0, але мае граніцы ў гэтым пункце справа і злева f(x_0+0)\neq f(x_0-0), то пры некаторых дадатковых умовах S_N(f,x_0) збягаюцца к (f(x_0+0)+f(x_0-0))/2. Падрабязней гл. мадыфікаваную прыкмету Дзіні.
  • Тэарэма Карлесана: калі f\in L_2([-\pi,\pi]), то яе рад Фур'е збягаецца к ёй амаль усюды. Гэта верна і калі f\in L_p([-\pi,\pi]), p>1. Аднак, існуюць функцыі з L_1([-\pi,\pi]), чый рад Фур'е разбягаецца ва ўсіх пунктах (тэарэма Калмагорава).
  • Возьмем пункт x_0\in(-\pi,\pi). Тады мноства ўсіх непарыўных функцый, чый рад Фур'е збягаецца ў гэтым пункце, з'яўляецца мноствам першай катэгорыі ў прасторы C([-\pi,\pi]). У некаторым сэнсе гэта азначае, што «тыповая» непарыўная функцыя мае разбежны рад Фур'е.

Спаданне каэфіцыентаў Фур'е і аналітычнасць функцыі[правіць | правіць зыходнік]

Існуе фундаментальная сувязь паміж аналітычнасцю функцыі і скорасцю спадання яе каэфіцыентаў Фур'е. Чым «лепшая» функцыя, тым скарэй яе каэфіцыенты імкнуцца да нуля, і наадварот. Ступеннае спаданне каэфіцыентаў Фур'е ўласцівае функцыям класа C^{(k)}, а экспаненцыяльнае — аналітычным функцыям. Прыклады такой сувязі:

Гл. таксама[правіць | правіць зыходнік]

Літаратура[правіць | правіць зыходнік]

  • Жук В.В., Натансон Г.И. Тригонометрические ряды Фурье и элементы теории аппроксимации — Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1983. — С. 188.
  • Рудин У. Основы математического анализа — 1976.
  • Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисления для ВТУЗов — М.: «Наука», 1964. — Т. 2.
  • Зигмунд А. Тригонометрические ряды — М.: «Мир», 1965. — Т. 1.