Ранг матрыцы

З пляцоўкі Вікіпедыя
Перайсці да: рух, знайсці

Рангам сістэмы радкоў (слупкоў) матрыцы A з m радкоў і n слупкоў называецца максімальны лік лінейна незалежных радкоў (слупкоў). Некалькі радкоў (слупкоў) называюцца лінейна незалежнымі, калі ні адзін з іх не выяўляецца лінейна праз іншыя. Ранг сістэмы радкоў заўсёды роўны рангу сістэмы слупкоў, і гэты лік называецца рангам матрыцы.

Ранг матрыцы — найвышэйшы з парадкаў мінораў гэтай матрыцы, якія адрозніваюцца ад нуля.

Ранг матрыцы — памернасць ладу dim (im (A)) лінейнага аператара, якому адпавядае матрыца.

Звычайна ранг матрыцы A пазначаецца \operatorname{rang}A (\operatorname{rg}A) або \operatorname{rank}A. Абодва абазначэння прыйшлі да нас з замежных моў, таму і ўжывацца могуць абодва. Апошні варыянт уласцівы для англійскай мовы, у той час як першы — для нямецкай, французскай і шэрагу іншых моў.

Азначэнне[правіць | правіць зыходнік]

Хай A_{m\times n} — прамавугольная матрыца.

Тады па азначэнні рангам матрыцы A з'яўляецца:

  • нуль, калі A — нулявая матрыца;
  • лік r\in\mathbb{N}:\;\exist M_r\neq 0,\;\forall M_{r+1}=0, дзе M_rмінор матрыцы A парадку r, а M_{r+1} — аблямоўваючы да яго мінор парадку (r+1), калі яны існуюць.

Тэарэма (пра карэктнасць вызначэння рангаў). Хай усе міноры матрыцы A_{m\times n} парадку k роўныя нулю (M_k=0). Тады \forall M_{k+1}=0, калі яны існуюць.


Звязаныя азначэнні[правіць | правіць зыходнік]

  • Ранг \operatorname{rang}M матрыцы A памеру m \times n называюць поўным, калі \operatorname{rang}M = \min\{m, n\}.
  • Базісны мінор матрыцы A — любы ненулявы мінор матрыцы A парадку r, дзе r=\operatorname{rang}A.
    • Радкі і слупкі, на скрыжаванні якіх знаходзіцца базісны мінор, называюцца базіснымі радкамі і слупкамі. (Яны вызначаны неадназначна ў сілу неадназначнасці базіснага мінора.)

Уласцівасці[правіць | правіць зыходнік]

  • Тэарэма (аб базісным міноры): Няхай r=\operatorname{rang}A,M_r — базісны мінор матрыцы A, тады:
    1. базісныя радкі і базісныя слупкі лінейна незалежныя ;
    2. любы радок (слупок) матрыцы A ёсць лінейная камбінацыя базісных радкоў (слупкоў).
  • Следства:
    • Калі ранг матрыцы роўны r, то любыя p\colon p>r радкоў ці слупкоў гэтай матрыцы будуць лінейна залежныя.
    • Калі A — квадратная матрыца, і \det A=0\iff, то радкі і слупкі гэтай матрыцы лінейна залежныя.
    • Хай r=\operatorname{rang}A, тады максімальная колькасць лінейна незалежных радкоў (слупкоў) гэтай матрыцы роўная r.
  • Тэарэма (аб інварыянтнасці рангу пры элементарных пераўтварэннях): Увядзем абазначэнне A\sim B для матрыц, атрыманых адна з адной элементарнымі пераўтварэннямі. Тады справядліва сцвярджэнне: Калі A\sim B, то іх рангі роўныя.
  • Тэарэма Кронэкера — Капэлі: Сістэма лінейных алгебраічных ураўненняў сумесная тады і толькі тады, калі ранг яе асноўнай матрыцы роўны рангу яе пашыранай матрыцы. У прыватнасці:
    • Колькасць галоўных пераменных сістэмы роўна рангу сістэмы.
    • Сумесная сістэма будзе вызначанай (яе рашэнне адзіным), калі ранг сістэмы роўны ліку ўсіх яе зменных.

Лінейнае пераўтварэнне і ранг матрыцы[правіць | правіць зыходнік]

Няхай A — матрыца памеру m \times n над полем C (або R). Няхай T — лінейнае пераўтварэнне, якое адпавядае A ў стандартным базісе; гэта значыць, што T(x)=Ax. Ранг матрыцы A — гэта памернасць вобласці значэнняў пераўтварэння T.

Метады[правіць | правіць зыходнік]

Існуе некалькі метадаў знаходжання рангу матрыцы:

  • Метад элементарных пераўтварэнняў
Ранг матрыцы роўны ліку ненулявых радкоў у матрыцы пасля прывядзення яе да ступеністай форме пры дапамозе элементарных пераўтварэнняў над радкамі матрыцы.
  • Метад аблямоўваючых мінораў
Няхай ў матрыцы A знойдзены ненулявы мінор k-га парадку M. Разгледзім усе міноры (k+1)-га парадку, якія ўключаюць у сябе (аблямоўваючы) мінор M; калі ўсе яны роўныя нулю, то ранг матрыцы роўны k. У адваротным выпадку сярод аблямоўваючых мінораў знойдзецца ненулявы, і ўся працэдура паўтараецца.