Рэчаісны лік

З пляцоўкі Вікіпедыя.
Перайсці да: рух, знайсці

Рэчаі́сны або сапра́ўдны лік — любы дадатны, адмоўны лік ці нуль.[1]

Рэчаісныя (сапраўдныя) лікі — матэматычная абстракцыя, якая ўзнікла з патрэбы вымярэння геаметрычных і фізічных велічынь навакольнага свету, а таксама для ажыццяўлення такіх аперацый як вылічэнне квадратнага кораня, лагарыфмаў, развязанне алгебраічных ураўненняў.

Калі натуральныя лікі ўзніклі пры лічэнні, рацыянальныя — з патрэбы выкарыстоўваць часткі цэлага, то рэчаісныя лікі прызначаны для вымярэння непарыўных велічынь. Такім чынам, пашырэнне запасу разгляданых лікаў прывяло да мноства рэчаісных лікаў, якое апрача лікаў рацыянальных утрымлівае таксама другія элементы, так званыя ірацыянальныя лікі.

Наглядна паняцце рэчаіснага ліку можна ўявіць сабе пры дапамозе лікавай прамой. Калі на прамой выбраць напрамак, пачатковую кропку і адзінку даўжыні для вымярэння адрэзкаў, то кожнаму рэчаіснаму ліку можна паставіць у адпаведнасць пэўную кропку на гэтай прамой, і наадварот, кожная кропка будзе выявай некаторага, і прытым толькі аднаго, рэчаіснага ліку. У выніку гэтай адпаведнасці словазлучэнне "лікавая прамая", або "рэчаісная прамая", звычайна ўжываецца ў якасці сіноніма да "мноства рэчаісных лікаў".

Паняцце рэчаіснага ліку прайшло доўгі шлях станаўлення. Яшчэ ў Старажытнай Грэцыі ў школе Піфагора, якая ў аснову ўсяго пакладала цэлыя лікі і іх дачыненні, было адкрыта існаванне несувымерных велічынь (несувымернасць стараны і дыяганалі квадрата), ці, на сучасны лад, ірацыянальных лікаў. Услед за гэтым Эўдокс Кнідскі зрабіў спробу пабудаваць агульную тэорыю ліку, якая ўключала б ў сябе несувымерныя велічыні. Пасля гэтага, на працягу больш чым двух тысячагоддзяў ніхто не адчуваў неабходнасці ў дакладным азначэнні паняцця рэчаіснага ліку, негледзячы на паступовае пашырэнне гэтага паняцця[2]. Толькі ў другой палове XIX стагоддзя, калі развіццё матэматычнага аналізу запатрабавала перабудовы яго асноваў на новым, вышэйшым узроўні строгасці, у працах К. Ваерштраса, Р. Дэдэкінда, Г. Кантара, Э. Гейне, Ш. Мерэ[2] была створана строгая тэорыя рэчаісных лікаў.

С пункту гледжання сучаснай матэматыкі, мноства рэчаісных лікаў — непарыўнае ўпарадкаванае поле. Гэта азначэнне, ці раўназначная сістэма аксіём, дакладна вызначае паняцце рэчаіснага ліку ў тым сэнсе, што існуе толькі адно, з дакладнасцю да ізамарфізму, непарыўнае ўпарадкаванае поле.

Мноства рэчаісных лікаў звычайна пазначаецца як \mathbb{R} (Unicode: ℝ) ад лац.: realis — рэчаісны.

Канстуктыўныя спосабы азначэння рэчаіснага ліку[правіць | правіць зыходнік]

Пры канструктыўным азначэнні паняцця рэчаіснага ліку, на падставе вядомых матэматычных аб'ектаў (напрыклад, мноства рацыянальных лікаў \mathbb{Q}), якія прымаюць азначанымі, будуюць новыя аб'екты, якія, у пэўным сэнсе, адлюстроўваюць наша "побытавае" ўяўленне пра паняцце рэчаіснага ліку. Істотным адрозненнем між "побытавымі" рэчаіснымі лікамі і гэтымі пабудаванымі аб'ектамі ёсць тое, што першыя, у адрозненне ад другіх, ўсведамляюцца намі інтуітыўна і "пакуль" не з'яўляюцца строга вызначаным матэматычным паняццем.

Гэтыя аб'екты і аб'яўляюць рэчаіснымі лікамі. Для іх уводзяць асноўныя арыфметычныя аперацыі, вызначаюць дачыненні парадку і даказваюць іх уласцівасці.

Гістарычна першымі строгімі азначэннямі рэчаіснага ліку былі менавіта канструктыўныя азначэнні. У 1872 годзе былі надрукаваны адначасова тры працы: тэорыя фундаментальных паслядоўнасцей Кантара, тэорыя Ваерштраса (у сучасным варыянце — тэорыя бясконцых десятковых дробаў) і Дэдэкіндава тэорыя сечываў у мностве рацыянальных лікаў[2][3].

Праз фундаментальныя паслядоўнасці Кантара[правіць | правіць зыходнік]

У дадзеным падыходзе рэчаісны лік разглядаецца як мяжа паслядоўнасці рацыянальных лікаў. Каб паслядоўнасць рацыянальных лікаў збягалася, на яе накладваецца ўмова Кашы́:


\forall \varepsilon > 0 \ \exists N(\varepsilon): \ \forall n > N(\varepsilon) \ \forall m > 0 \ | a_{n+m} - a_n | < \varepsilon

Сэнс гэтай умовы складаецца ў тым, што члены паслядоўнасці, пачынаючы з некаторага нумара, будуць ляжаць адвольна блізка адзін да аднаго. Паслядоўнасці, якія задавальняюць умову Кашы, называюцца фундаментальнымі.

Рэчаісны лік, азначаны фундаментальнай паслядоўнасцю рацынальных лікаў \{a_n\}, пазначым [a_n].

Два рэчаісных лікі

\alpha = [a_n] і \beta = [b_n],

азначаныя адпаведна фундаментальнымі паслядоўнасцямі \{a_n\} і \{b_n\}, называюцца роўнымі, калі


\lim_{n \to \infty} \left ( a_n - b_n\right ) = 0

Хай дадзены два рэчаісныя лікі \alpha = [a_n] і \beta = [b_n], то іх сумай і здабыткам называюцца лікі, азначаныя адпаведна сумай і здабыткам паслядоўнасцей \{a_n\} і \{b_n\}:


\alpha + \beta \ \overset{\text{def}}{=} \ [a_n + b_n], \qquad \alpha \cdot \beta \ \overset{\text{def}}{=} \ [a_n \cdot b_n].

Дачыненне парадку на мностве рэчаісных лікаў вызначаецца паводле пагаднення, адпаведна якому лік \alpha=[a_n] па азначэнні большы за лік \beta=[b_n], г.зн. \alpha > \beta, калі


\exists \varepsilon > 0 \ \exists N: \ \forall n > N \ a_n \ge b_n + \varepsilon

Спосаб пабудовы мноства рэчаісных лікаў з дапамогай фундаментальных паслядоўнасцей рацыянальных лікаў з'яўляецца асобным выпадкам пабудовы папаўнення адвольнай метрычнай прасторы. Як і ў агульным выпадку, атрыманае ў выніку папаўнення мноства рэчаісных лікаў само ўжо з'яўляецца поўным, г.зн. утрымлівае межы ўсіх фундаментальных паслядоўнасцей сваіх элементаў.

Праз бясконцыя дзесятковыя дробы[правіць | правіць зыходнік]

Рэчаісны лік азначаецца як бесконцы дзесятковы дроб, гэта значыць выраз выгляду


\pm a_0,a_1 a_2 \ldots a_n \ldots

дзе \pm ёсць адным са знакаў + ці -, называны знакам ліку, a_0 — цэлы неадмоўны лік, a_1, a_2, \ldots a_n, \ldots — паслядоўнасць дзесятковых знакаў, г. зн. элементаў лікавага мноства \{0, 1, \ldots 9\}.

Бясконцы дзесятковы дроб можна вытлумачыць як такі лік, што ляжыць на лікавай прамой між рацыянальнымі лікамі выгляду

\pm a_0,a_1 a_2 \ldots a_n і \pm \left ( a_0,a_1 a_2 \ldots a_n + 10^{-n} \right ) для ўсіх n=0, 1, 2, \ldots

Параўнанне рэчаісных лікаў у форме бясконцых дзесятковых дробаў ажыццяўляецца паразрадна. Напрыклад, няхай дадзены два неадмоўныя лікі


\begin{matrix}
\alpha & = + a_0, a_1 a_2 \ldots a_n \ldots \\
\beta & = + b_0, b_1 b_2 \ldots b_n \ldots
\end{matrix}

Калі a_0 < b_0, то \alpha <\beta; калі a_0 > b_0 то \alpha > \beta. У выпадку роўнасці a_0 = b_0 пераходзяць да параўнання наступнага разрада. І гэтак далей. Калі \alpha \neq \beta, то пасля концага ліку крокаў сустрэнецца першы разрад n, такі што a_n \neq b_n. Калі a_n < b_n, то \alpha <\beta; калі a_n > b_n, то \alpha > \beta.

Аднак, пры гэтым трэба улічваць, што лік a_0,a_1 a_2 \ldots a_n (9) = a_0,a_1 a_2 \ldots a_n + 10^{-n}. Таму калі запіс аднаго з параўноўваных лікаў, пачынаючы з некаторага разрада, уяўляе сабой перыядычны дзесятковы дроб, дзе ў перыядзе стаіць 9, то яе трэба замяніць на раўназначны запіс, дзе ў перыядзе нуль.

Арыфметычныя аперацыі над бясконцымі дробамі азначаюцца як непарыўны працяг[4] адпаведных аперацый над рацыянальнымі лікамі. Напрыклад, сумай рэчаісных лікаў \alpha і \beta называецца рэчаісны лік \alpha + \beta, які задавальняе ўмову:


\forall a', a'', b', b'' \in \mathbb{Q} \ (a' \leqslant \alpha \leqslant a'') \and (b' \leqslant \beta \leqslant b'') \Rightarrow (a' + b' \leqslant \alpha + \beta \leqslant a'' + b'')

Падобным жа чынам азначаеца і аперацыя множання бясконцых дзесятковых дробаў. Здабыткам двух дадатных рэчаісных лікаў \alpha і \beta называецца рэчаісны лік \alpha \cdot \beta, які задавальняе наступную умову:


\forall a', a'', b', b'' \in \mathbb{Q} \; (a' > 0) \and (b' > 0) \and (a' \leqslant \alpha \leqslant a'') \and (b' \leqslant \beta \leqslant b'') \Rightarrow (a' \cdot b' \leqslant \alpha \cdot \beta \leqslant a'' \cdot b'')

Як і ў выпадку складання, лік, які задавальняе гэту ўмову, існуе і адзіны. Пасля гэтага лёгка вызначыць множанне двух рэчаісных лікаў з адвольнымі знакамі.

Можна праверыць, што ўведзеныя на мностве рэчаісных лікаў аперацыі складання і множання супадаюць з аперацыямі складання і множання рацыянальных лікаў.

Праз сечывы ў мностве рацыянальных лікаў[правіць | правіць зыходнік]

У падыходзе Дэдэкінда лікі азначаюцца з дапамогай сечываў у мностве рацыянальных лікаў. Тэорыя Дэдэкінда, пабудаваная ў 1858 годзе, была выдадзена ў 1872 годзе ў невялікай кніжцы "Непарыўнасць і ірацыянальныя лікі" (ням.: "Stetigkeit und irrationale Zahlen")[5]. І на сённяшні дзень гэта кніжка застаецца адной з лепшых па яснаці і даступнасці выкладання дадзенага пытання.

Сечывам у мностве рацыянальных лікаў \mathbb{Q} называецца ўсякая разбіўка сукупнасці ўсіх рацыянальных лікаў на два непустых падмноствы, ці класаніжні A і верхні A', так што кожны лік з ніжняга класа строга меншы за любы лік з верхняга:


\mathbb{Q} = A \cup A' \qquad \and \qquad  A, A' \neq \varnothing  \qquad \and \qquad  \forall a \in A, \forall a' \in A' \  (a < a')

Калі існуе лік \alpha, які ёсць найбольшым у ніжнім класе, альбо найменшым у верхнім класе, то гэты лік число падзяляе мноствы A і A': лікі ніжняга і верхняга класаў ляжаць па розныя бакі ад \alpha. Таксама кажуць, што рацыянальны лік \alpha учыняе дадзенае сечыва мноства рацыянальных лікаў.

Калі ж у ніжнім падмностве няма найбольшага элемента, а ў верхнім - найменшага, то не існуе ніякага рацыянальнага ліку, які падзяляў бы мноствы A і A'. У гэтым выпадку па азначэнні прымаюць, што гэта сечыва вызначае некаторы ірацыянальны лік \alpha, які знаходзіцца паміж ніжнім і верхнім класамі, і тым самым учыняе дадзенае сечыва. Інакш кажучы, для ўсякага сечыва, што не ўчыняецца ніякім рацыянальным лікам, уводзяць новы аб'ект — ірацыянальны лік, які па азначэнні большы за ўсякі лік з ніжняга падмноства і меншы за ўсякі лік з верняга падмноства:


\forall a \in A, \forall a' \in A' \; a < \alpha < a'

Сукупнасць усіх рацыянальных і ўсіх ірацыянальных лікаў называюць мноствам рэчаісных лікаў, а яго элементы — рэчаіснымі лікамі.

Арыфметычныя аперацыі над рэчаіснымі лікамі азначаюцца як непарыўны працяг адпаведных аперацый над рацыянальнымі лікамі. Напрыклад, сумай рэчаісных лікаў \alpha і \beta называецца рэчаісны лік \alpha + \beta, які задавальняе наступную ўмову:


\forall a', a'', b', b'' \in \mathbb{Q} \; (a' \leqslant \alpha \leqslant a'') \and (b' \leqslant \beta \leqslant b'') \Rightarrow (a' + b' \leqslant \alpha + \beta \leqslant a'' + b'')

Аксіяматычны падыход[правіць | правіць зыходнік]

Пабудаваць мноства рэчаісных лікаў можна рознымі спосабамі. У тэорыі Кантара рэчаісныя лікі - гэта класы эквівалентных фундаментальных паслядоўнасцей рацыянальных лікаў, у тэорыі Ваерштраса - бясконцыя дзесятковыя дробы, у тэорыі Дэдэкінда — сечывы ў мностве рацыянальных лікаў. Ва ўсіх гэтых падыходах у выніку мы атрымліваем нейкае мноства аб'ектаў (рэчаісных лікаў), які маюць пэўныя ўласцівасці: іх можна складваць, перамнажаць, параўноўваць між сабою. Да таго ж, калі высветлены ўласцівасці гэтых аб'ектаў, мы можам больш не звяртацца да гэтых пэўных канструкцый, з дапамогай якіх яны былі пабудаваны.

У матэматыцы істотнымі з'яўляюцца не пэўныя пабудаванні аб'ектаў, а толькі матэматычныя суадносіны між самімі аб'ектамі.

Чалавеку, які даследуе матэматычнае паняцце колькасці элементаў, няма розніцы, пра што казаць — пра тры яблыкі ці пра тры камяні, і іх ядомасць ці неядомасць не мае значэння. Падчас адцягнення ад неістотных прыкмет, г.зн. абстрагавання (лац.: abstractio — адцягненне), ён прыходзіць да таго агульнага, што ўласціва і тром яблыкам, і тром камяням — колькасці элементаў. Так узнікае адцягненае паняцце натуральнага ліку. З такога пункту гледжання тры яблыкі і тры камяні - два пэўных увасабленні, мадэлі адцягненага паняцця "лік тры".

Гэтак жа сама класы фундаментальных паслядоўнасцей рацыянальных лікаў, бясконцыя дзесятковыя дробы і сечывы ў мностве рацыянальных лікаў ёсць усяго толькі пэўнымі ўвасабленнямі рэчаіснага ліку. Само ж паняцце рэчаіснага ліку вызначаецца істотнымі для яго матэматычнымі суадносінамі. Як толькі яны вызначаны, адразу ж вызначана і паняцце рэчаіснага ліку.

Тут дарэчы прывесці знакамітае выказванне Д. Гільберта, заснавальніка паслядоўнага аксіяматычнага падыхода ў матэматыцы. Гільберт, маючы на ўвазе аксіяматычныя асновы геаметрыі, неяк заўважыў:

" Варта намагчыся таго, каб з аднолькавым поспехам можна было казаць замест пунктаў, прамых і пласкасцей пра сталы, стулы і піўныя кружкі.
Давід Гільберт[6]
"

Аксіёмы рэчаісных лікаў[правіць | правіць зыходнік]

Мноства \R называецца мноствам рэчаісных лікаў, а ягоныя элементы — рэчаіснымі лікамі, калі задавальняецца наступная сукупнасць умоваў, называная аксіяматыкай рэчаісных лікаў:

Аксіёмы поля[правіць | правіць зыходнік]

На мностве \R вызначана адлюстраванне (аперацыя складання)

+ : \R \times \R \to \R,

якая супастаўляе кожнай упарадкаванай пары элементаў a, b з \R некаторы элемент c з таго ж мноства \R, называны сумай a і b (сума элементаў a і b пазначаецца праз a+b).

Таксама, на мностве \R вызначана адлюстраванне (аперацыя множання)

\cdot : \R \times \R \to \R

якая ставіць у адпаведнасць кожнай упарадкаванай пары элементаў a, b з \R некаторы элемент a \cdot b, называны здабыткам a і b.

Пры гэтым выконваюцца наступныя законы.

Аксіёмы абелевай групы для складання:

\text{I}_{1}. Перастаўляльнасць (камутатыўнасць) складання. Для любых a, b \in \R

a + b = b + a
\text{I}_{2}. Спалучальнасць (асацыятыўнасць) складання. Для любых a, b \in \R

a + (b + c) = (a + b) + c
\text{I}_{3}. Існаванне нуля. Існуе элемент 0 \in \R, называны нулём, такі што для любога a \in \R

a + 0 = a
\text{I}_{4}. Існаванне супрацьлеглага элемента. Для любога a \in \R існуе элемент -a \in \R, называны процілеглым да a, такі што

a + (-a) = 0

Аксіёмы абелевай групы для складання:

\text{I}_{5}. Перастаўляльнасць множання. Для любых a, b \in \R

a \cdot b = b \cdot a
\text{I}_{6}. Спалучальнасць множання. Для любых a, b \in \R

a \cdot (b \cdot c) = (a \cdot b) \cdot c
\text{I}_{7}. Існаванне адзінкі. Існуе элемент 1 \in R, называны адзінкаю, такі што для любога a \in R

a \cdot 1 = a
\text{I}_{8}. Існаванне адваротнага элемента. Для любога a \in \R, a \neq 0 існуе элемент a^{-1} \in \R, які пазначаецца таксама як  1/a і называецца адваротным да a, такі што

a \cdot a^{-1} = 1

Аксіёмы колца для складання і множання:

\text{I}_{9}. Размеркавальны (дыстрыбутыўны) закон множання адносна складання. Для любых a, b, c \in \R

a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c
\text{I}_{10}. Нетрывіяльнасць поля. Адзінка і ноль — розныя элементы \R:

1 \neq 0

Аксіёмы парадку[правіць | правіць зыходнік]

Між элементамі \R вызначана дачыненне \leqslant, гэта значыць для любой упарадкаванай пары элементаў a,b з \R вызначана: выконваецца дачыненне a \leqslant b ці не. Пры гэтым справядлівыя наступныя ўласцівасці.

\text{II}_{1}. Рэфлексіўнасць (самадачыненасць). Для любого a \in \R

a \leqslant a

\text{II}_{2}. Антысіметрычнасць (проціперастаўляльнасць). Для любых a, b \in \R

(a \leqslant b) \and (b \leqslant a) \Rightarrow (a = b)

\text{II}_{3}. Транзітыўнасць (пераходнасць). Для любых a, b, c \in \R

(a \leqslant b) \and (b \leqslant c) \Rightarrow (a \leqslant c)

\text{II}_{4}. Лінейная ўпарадкаванасць. Для любых a, b \in \R

(a \leqslant b) \or (b \leqslant a)

\text{II}_{5}. Узгодненасць парадка са складаннем. Для любых a, b, c \in \R

(a \leqslant b) \Rightarrow (a + c \leqslant b + c)

\text{II}_{6}.Узгодненасць парадка з множаннем. Для любых a, b \in \R

(0 \leqslant a) \and (0 \leqslant b)\Rightarrow (0 \leqslant a \cdot b)

Аксіёмы непарыўнасці[правіць | правіць зыходнік]

\text{III}_{1}. Якія б ні былі непустыя мноствы A \subset \mathbb{R} и B \subset \mathbb{R}, такія што для любых двух элементаў a \in A і b \in B праўдзіцца няроўнасць a \leqslant b, існуе такі лік \xi \in \R, што для ўсіх a \in A і b \in B праўдзяцца суадносіны
a \leqslant \xi \leqslant b

Заўвагі да аксіёмаў[правіць | правіць зыходнік]

Гэтых аксіёмаў дастаткова, каб строга вывесці ўсе вядомыя ўласцівасці рэчаісных лікаў[7].

На мове сучаснай алгебры аксіёмы першай групы азначаюць, што мноства \R ёсць полем. Аксіёмы другой групы — што мноство \R ёсць лінейна ўпарадкаваным мноствам (\text{II}_{1}\text{II}_{4}), прычым дачыненне парадку ўзгоднена са структурай поля \text{II}_{5}\text{II}_{6}. Мноствы, якія задавальняюць аксіёмы першай і другой групы, называюцца упарадкаванымі палямі. Нарэшце, апошняя група, якая складаецца з адной аксіёмы, сцвярджае, што мноства рэчаісных лікаў мае ўласцівасць непарыўнасці, якое таксама называюць паўнатой. У выніку, можна даць раўназначнае азначэнне мноства рэчаісных лікаў.

Азначэнне. Мноствам рэчаісных лікаў называецца непарыўнае ўпарадкаванае поле.

Іншыя сістэмы аксіём рэчаісных лікаў[правіць | правіць зыходнік]

Існуюць і іншыя спосабы аксіяматызацыі рэчаісных лікаў. Напрыклад, замест аксіёмы непарыўнасці \text{III}_{1} можна выкарыстоўваць любую раўназначную ёй умову, ці сукупнасць умоваў. Напрыклад, у сістэме аксіём, прапанаванай Гільбертам, аксіёмы групаў \text{I} і \text{II}, па сутнасці, тыя ж, што і вышэйпрыведзеныя, а замест аксіёмы \text{III}_{1} выкарыстоўваюцца наступныя дзве ўмовы:

\text{III}_{1}'. Аксіёма Архімеда. Няхай a > 0[8] і b > 0. Тады элемент a можна паўтарыць складнікам концую колькасць разоў так, што ўтвораная ў выніку сума пераўзыдзе b:


a + a + \ldots + a > b

\text{III}_{2}'. Аксіёма паўнаты (у сэнсе Гільберта). Мноства \R немагчыма пашырыць ні да якага іншага мноства \R^{*} такім чынам, каб пры захаванні ўсіх папярэдніх дачыненняў паміж элементамі \R, для \R^{*} выконваліся б усе аксіёмы \text{I}\text{II}, \text{III}_{1}'..

Такім чынам, можна даць яшчэ адно раўназначнае азначэнне:

Азначэнне. Мноства рэчаісных лікаў ёсць найшырэйшым архімедавым упарадкаваным полем.

У якасці яшчэ аднаго прыклада аксіяматызацыі рэчаісных лікаў можна прывесці аксіяматыку Тарскага (англ.), якая складаецца ўсяго з 8 аксіёмаў.


Прыклады[правіць | правіць зыходнік]

  • Рацыянальныя лікі — 32, 36/29.
  • Ірацыянальныя лікі — \pi, \sqrt 2.

Крыніцы і заўвагі[правіць | правіць зыходнік]

  1. БЭ ў 18 т. Т. 9. Мн., 2002.
  2. 2,0 2,1 2,2 Даан-Дальмедико А., Пейффер Ж. Пути и лабиринты. Очерки по истории математики — С. 287-289.
  3. Рыбников К. А. История математики — Т. 2. — С. 196.
  4. Раз на мностве рэчаісных лікаў ужо ўведзена дачыненне лінейнага парадку, то мы можам вызначыць тапалогію лікавай прамой: у якасці адкрытых мностваў возьмем усемагчымыя аб'яднанні прамежкаў выгляду \{x: \alpha < x < \beta\}
  5. Рихард Дедекинд Непрерывность и иррациональные числа — Одесса, 1923.
  6. Рид К. Гильберт — С. 79.
  7. Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа Т. 1.
  8. няроўнасць a > 0 раўназначная па азначэнні сістэме няроўнасцей a \geqslant 0 і a \neq 0

Літаратура і спасылкі[правіць | правіць зыходнік]

  • С. Б. Стечкин. Большая Советская энциклопедия, ст. «Действительное число»
  • Кириллов, А. А. Что такое число? // Выпуск 4-й серии «Современная математика для студентов». — М.: Физматлит, 1993.
  • Понтрягин, Л. С. Обобщения чисел // Серия «Математическая библиотечка». — М.: Наука, 1965.

Гл. таксама[правіць | правіць зыходнік]

Шаблон:Іерархія лікаў