Ступенная функцыя

З пляцоўкі Вікіпедыя
Перайсці да: рух, знайсці
Ступенныя функцыі з рознымі паказчыкамі ступені

Ступе́нная, або ступе́невая[1] фу́нкцыяфункцыя выгляду y=x^a, дзе a (паказчык, або паказчык ступені) — некаторы рэчаісны лік[2]. Да ступенных часта прылічваюць і функцыі выгляду y=kx^a, дзе k — нейкі множнік расцяжэння[3]. Існуе таксама камплекснае абагульненне ступеневай функцыі. На практыцы паказчык ступені амаль заўсёды з'яўляецца цэлым ці рацыянальным лікам.

Рэчаісная ступенная функцыя[правіць | правіць зыходнік]

Абсяг вызначэння[правіць | правіць зыходнік]

  • Калі паказчык ступені — цэлы лік, то ступенную функцыю можна вызначыць на ўсёй лікавай прамой (магчыма, акрамя нуля).
  • Калі a=\frac{p}{q}, дзе p, q - узаемна простыя лікі, q>0 - няцотны, то ступенная функцыя таксама вызначана пры любых рэчаісных x (магчыма, акрамя нуля).
  • У агульным выпадку ступенная функцыя вызначана толькі пры x>0 (у абсяг вызначэння можа ўваходзіць і нуль, гл. ніжэй).
  • Калі a>0, то функцыя вызначана таксама і пры x=0.
  • Пры a<0 нуль ёсць асаблівым пунктам ступеннай функцыі.

Рацыянальны паказчык ступені[правіць | правіць зыходнік]

Прыклад: з трэцяга закону Кеплера вынікае, што перыяд T абарачэння планеты вакол Сонца звязаны з вялікай паўвоссю A яе арбіты наступным чынам: T=kA^{3/2} (паўкубічная парабала).

Уласцівасці[правіць | правіць зыходнік]

  • Функцыя непарыўная і бясконца дыферэнцавальная ва ўсіх кропках, у наваколлі якіх яна вызначана. Нуль, увогуле кажучы, ёсць асаблівым пунктам.

Напрыклад, функцыя y=\sqrt{x} вызначана ў нулі і яго правым наваколлі, але яе вытворная y=\frac{1}{2\sqrt{x}} у нулі не вызначана.

  • На прамежку (0, \infty) функцыя манатонна нарастае пры a>0 і манатонна спадае пры a<0. Значэнні функцыі на гэтым прамежку дадатныя.
  • Вытворная:

 \left( x^a \right)^\prime = a x^{a-1}.

Камплексная ступенная функцыя[правіць | правіць зыходнік]

У агульным выпадку ступенная функцыя камплекснай зменнай z азначаецца як[4]:

 y=z^c=e^{c \cdot \operatorname{Ln} (z)}

Тут паказчык ступені c — некаторы камплексны лік. Значэнне функцыі, адпаведнае галоўнаму значэнню лагарыфму, называецца галоўным значэннем ступені. Напрыклад, значэнне i^i роўнае e^{-(4 k+1)\frac{\pi}{2}}, дзе k — адвольны цэлы, а яго галоўнае значэнне роўнае e^{i\ln(i)}=e^{-\frac{\pi}{2}}.

Камплексная ступенная функцыя істотна адрозніваецца ад свайго рэчаіснага адменніку. З-за мнагазначнасці камплекснага лагарыфму яна, увогуле кажучы, таксама мае бясконца многа значэнняў. Аднак два выпадкі, важныя ў прыкладаннях, разглядаюцца асобна:

  1. Пры натуральным паказчыку ступені функцыя y=z^n адназначная і n-лістная[5].
  2. Калі паказчык ступені — дадатны рацыянальны лік, г.зн. (нескарачальны) дроб \frac{p}{q}, то функцыя будзе мець q розных значэнняў[4].

Крыніцы[правіць | правіць зыходнік]

  1. Матэматычная энцыклапедыя. Гал. рэд. В. Бернік. Мн.: Тэхналогія, 2001. с. 330.
  2. Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления, 1966, Том I, §48: Важнейшие классы функций.
  3. Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике. М.: Наука,1978. Стр. 312.
  4. 4,0 4,1 Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления, 1966, Том II, стр. 526-527.
  5. Свешников А. Г., Тихонов А. Н. Теория функций комплексной переменной — М.: Наука, 1967. — 304 с.

Літаратура[правіць | правіць зыходнік]

Гл. таксама[правіць | правіць зыходнік]

Спасылкі[правіць | правіць зыходнік]