Ступенная функцыя

Ступенныя функцыі з рознымі паказнікамі ступені

Ступе́нная, або ступе́невая фу́нкцыя — функцыя выгляду $y=x^a$, дзе $a$ (паказчык, або паказнік ступені) — некаторы рэчаісны лік. Да ступенных часта прылічваюць і функцыі выгляду $y=kx^a$, дзе k — нейкі множнік расцяжэння. Існуе таксама камплекснае абагульненне ступеневай функцыі. На практыцы паказнік ступені амаль заўсёды з'яўляецца цэлым ці рацыянальным лікам.

Рэчаісная ступенная функцыя

Абсяг вызначэння

• Калі паказнік ступені — цэлы лік, то ступенную функцыю можна вызначыць на ўсёй лікавай прамой (магчыма, акрамя нуля).
• Калі $a=\frac{p}{q}$, дзе $p, q$ - узаемна простыя лікі, $q>0$ - няцотны, то ступенная функцыя таксама вызначана пры любых рэчаісных x (магчыма, акрамя нуля).
• У агульным выпадку ступенная функцыя вызначана толькі пры $x>0$ (у абсяг вызначэння можа ўваходзіць і нуль, гл. ніжэй).
• Калі $a>0$, то функцыя вызначана таксама і пры $x=0$.
• Пры $a<0$ нуль ёсць асаблівым пунктам ступеннай функцыі.

Рацыянальны паказчык ступені

• Графікі ступеннай функцыі пры натуральным паказніку n называюцца парабаламі парадку n. Пры $a=1$ атрымліваецца лінейная функцыя $y=kx$, называная прамой прапарцыйнай залежнасцю.
• Графікі функцый выгляду $y=x^{-n}$, дзе n — натуральны лік, называюцца гіпербаламі парадку n. Пры $a=-1$ атрымліваецца функцыя $y=\frac {k}{x}$, называная адваротнай прапарцыйнай залежнасцю.
• Калі $a=\frac{1}{n}$, то функцыя ёсць арыфметычным коранем ступені n.

Прыклад: з трэцяга закону Кеплера вынікае, што перыяд T абарачэння планеты вакол Сонца звязаны з вялікай паўвоссю A яе арбіты наступным чынам: $T=kA^{3/2}$ (паўкубічная парабала).

• 

  Парабалы парадку n:

    $n=0$

    $n=1$

    $n=2$

    $n=3$

    $n=4$

    $n=5$

• 

  Гіпербалы парадку n:

    $n=-1$

    $n=-2$

    $n=-3$

Уласцівасці

• Функцыя непарыўная і бясконца дыферэнцавальная ва ўсіх кропках, у наваколлі якіх яна вызначана. Нуль, увогуле кажучы, ёсць асаблівым пунктам.

Напрыклад, функцыя $y=\sqrt{x}$ вызначана ў нулі і яго правым наваколлі, але яе вытворная $y=\frac{1}{2\sqrt{x}}$ у нулі не вызначана.

• На прамежку $(0, \infty)$ функцыя манатонна нарастае пры $a>0$ і манатонна спадае пры $a<0$. Значэнні функцыі на гэтым прамежку дадатныя.
• Вытворная:

$\left( x^a \right)^\prime = a x^{a-1}$.

• Першаісная:
  • Калі $a \ne -1$, то $\int x^a\,dx = \frac{x^{a+1}}{a+1} + C$
  • Калі $a = -1$, маем $\int \frac {dx}{x} = \ln |x| + C$

Камплексная ступенная функцыя

У агульным выпадку ступенная функцыя камплекснай зменнай z азначаецца як:

$y=z^c=e^{c \cdot \operatorname{Ln} (z)}$

Тут паказнік ступені c — некаторы камплексны лік. Значэнне функцыі, адпаведнае галоўнаму значэнню лагарыфму, называецца галоўным значэннем ступені. Напрыклад, значэнне $i^i$ роўнае $e^{-(4 k+1)\frac{\pi}{2}}$, дзе k — адвольны цэлы, а яго галоўнае значэнне роўнае $e^{i\ln(i)}=e^{-\frac{\pi}{2}}$.

Камплексная ступенная функцыя істотна адрозніваецца ад свайго рэчаіснага адменніку. З-за мнагазначнасці камплекснага лагарыфму яна, увогуле кажучы, таксама мае бясконца многа значэнняў. Аднак два выпадкі, важныя ў прыкладаннях, разглядаюцца асобна:

1. Пры натуральным паказчыку ступені функцыя $y=z^n$ адназначная і n-лістная.
2. Калі паказчык ступені — дадатны рацыянальны лік, г.зн. (нескарачальны) дроб $\frac{p}{q}$, то функцыя будзе мець q розных значэнняў.

Літаратура

• Математическая энциклопедия (в 5 томах) — М.: Советская Энциклопедия, 1982. — Т. 5. — С. 208-209.
• Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления, в трёх томах — изд. 6-е. — М.: Наука, 1966.

Гл. таксама

• Узвядзенне ў ступень
• Лагарыфм
• Мнагасклад

Вонкавыя спасылкі

• Ступенная функцыя