Сярэднеквадратычнае адхіленне

З пляцоўкі Вікіпедыя
Перайсці да: рух, знайсці

Сярэднеквадраты́чнае адхіле́нне (таксама квадраты́чнае адхіле́нне, квадраты́чная памы́лка, станда́ртнае адхіле́нне) — у тэорыі імавернасцей і матэматычнай статыстыцы найбольш распаўсюджаны паказчык рассейвання значэнняў выпадковай велічыні адносна яе матэматычнага спадзявання.

Квадратычнае адхіленне велічынь x1, x2, ..., xn ад велічыні a вызначаецца як

\sigma = \sqrt{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n \left(x_i-a\right)^2}.

Найменшае значэнне квадратычнае адхіленне мае, калі a роўнае сярэдняму арыфметычнаму x1, x2, ..., xn:

a = \bar{x} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i.

У гэтым выпадку квадратычнае адхіленне служыць паказчыкам рассеянасці мноства значэнняў.

У тэорыі імавернасцей, сярэднім квадратычным адхіленнем (або стандартным адхіленнем) выпадковай велічыні называецца квадратны корань з яе дысперсіі:

\sigma[X] = \sqrt{D[X]}.

На практыцы сярэднеквадратычнае адхіленне дазваляе ацаніць, наколькі значэнні ў мностве могуць адрознівацца ад сярэдняга значэння.

Асноўныя звесткі[правіць | правіць зыходнік]

Квадратычнае адхіленне вымяраецца ў адзінках вымярэння самой выпадковай велічыні і выкарыстоўваецца пры разліку стандартнай памылкі сярэдняга арыфметычнага, пры пабудове давяральных інтэрвалаў, пры статыстычнай праверцы гіпотэз, пры вымярэнні лінейнай узаемасувязі паміж выпадковымі велічынямі. Вызначаецца квадратычнае адхіленне як квадратны корань з дысперсіі выпадковай велічыні.

Сярэднеквадратычнае адхіленне:

\sigma=\sqrt{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n\left(x_i-\bar{x}\right)^2}.

Статыстычнае стандартнае адхіленне — ацэнка сярэднеквадратычнага адхілення выпадковай велічыні x адносна яе матэматычнага спадзявання на аснове нязрушанай ацэнкі яе дысперсіі:

s=\sqrt{\frac{n}{n-1}\sigma^2}=\sqrt{\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n\left(x_i-\bar{x}\right)^2},

дзе \sigma^2дысперсія; x_ii-ы элемент выбаркі; n — аб'ём выбаркі; \bar{x}сярэдняе арыфметычнае выбаркі:

\bar{x} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i  =  \frac{1}{n} (x_1+\ldots+x_n).

Варта адзначыць, што абедзве ацэнкі з'яўляюцца зрушанымі. У агульным выпадку нязрушаную ацэнку пабудаваць немагчыма. Але ацэнка на аснове ацэнкі нязрушанай дысперсіі з'яўляецца слушнаю.

Правіла трох сігм[правіць | правіць зыходнік]

Графік шчыльнасці імавернасці нармальнага размеркавання і працэнт пападання выпадковай велічыні на адрэзкі, роўныя сярэднеквадратычнаму адхіленню.

Правіла трох сігм (3σ) — практычна ўсе значэнні нармальна размеркаванай выпадковай велічыні ляжаць у прамежку \left(\bar{x}-3\sigma;\bar{x}+3\sigma\right). Больш строга — прыблізна з 99,73 %-най імавернасцю значэнне нармальна размеркаванай выпадковай велічыні ляжыць у згаданым прамежку (пры ўмове, што велічыня \bar{x} сапраўдная, а не атрыманая ў выніку апрацоўкі выбаркі).

Калі ж сапраўдная велічыня \bar{x} невядома, то трэба карыстацца не \sigma, а s. Такім чынам, правіла трох сігм ператвараецца ў правіла трох s.

Вытлумачэнне велічыні квадратычнага адхілення[правіць | правіць зыходнік]

Вялікае значэнне квадратычнага адхілення паказвае вялікі роскід значэнняў у мностве адносна сярэдняга значэння; маленькае значэнне, адпаведна, паказвае, што значэнні ў мностве групуюцца вакол сярэдняга значэння.

У агульным сэнсе квадратычнае адхіленне можна лічыць мераю нявызначанасці. Напрыклад, у фізіцы квадратычнае адхіленне прымяняецца для вызначэння хібнасці паслядоўнасці вымярэнняў якой-небудзь велічыні.

Гл. таксама[правіць | правіць зыходнік]

Літаратура[правіць | правіць зыходнік]

  • Квадратичное отклонение // Математическая энциклопедия / И. М. Виноградов (гл. ред.) — М.: Советская энциклопедия. — Т. 2.
  • Вентцель Е. С. Глава 14. Обработка опытов // Теория вероятностей — М.: Наука, 1969. — 576 с.
  • Боровиков, В. STATISTICA. Искусство анализа данных на компьютере: Для профессионалов / В. Боровиков — СПб.: Питер, 2003. — 688 с. — ISBN 5-272-00078-1..

Спасылкі[правіць | правіць зыходнік]