Сярэдняе арыфметычнае

З пляцоўкі Вікіпедыя
Перайсці да: рух, знайсці

У матэматыцы і статыстыцы сярэдняе арыфметычнае — адна з найбольш распаўсюджаных мер цэнтральнай тэндэнцыі(руск.) бел., якая ўяўляе сабой суму ўсіх значэнняў, якія назіраліся, падзеленую на іх колькасць.

Прапанавана (разам з сярэднім геаметрычным і сярэднім гарманічным(руск.) бел.) яшчэ піфагарэйцамі[1].

Прыватнымі выпадкамі сярэдняга арыфметычнага з'яўляюцца генеральнае сярэдняе (генеральная сукупнасці) і выбарачнае сярэдняе (выбаркі).

Увядзенне[правіць | правіць зыходнік]

Пазначым мноства дадзеных X = (x1, x2, …, xn), тады выбарачнае сярэдняе звычайна пазначаецца гарызантальнай рысай над зменнай (\bar{x} \,, вымаўляецца «x з рысай»).

Для абазначэння сярэдняга арыфметычнага ўсёй сукупнасці выкарыстоўваецца грэчаская літара μ. Для выпадковай велічыні, для якой вызначана сярэдняе значэнне, μ ёсць імавернаснае сярэдняе ці матэматычнае чаканне выпадковай велічыні. Калі мноства X з'яўляецца сукупнасцю выпадковых лікаў з імавернасным сярэднім μ, тады для любой выбаркі xi з гэтай сукупнасці μ = E{xi} ёсць матэматычнае чаканне гэтай выбаркі.

На практыцы розніца паміж μ і \bar{x} \, у тым, што μ з'яўляецца тыповай неназіранай зменнай, таму што бачыць мага хутчэй выбарку, а не ўсю генеральную сукупнасць. Таму, калі выбарку прадстаўляць выпадковым чынам (у тэрмінах тэорыі імавернасцей), тады \bar{x} \, (але не μ) можна трактаваць як выпадковую зменную, якая мае размеркаванне імавернасцей на выбарцы (імавернаснае размеркаванне сярэдняга).

Абедзве гэтыя велічыні вылічаюцца адным і тым жа спосабам:

\bar{x} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i  =  \frac{1}{n} (x_1+\cdots+x_n).

Калі X — выпадковая пераменная, тады матэматычнае чаканне X можна разглядаць як сярэдняе арыфметычнае значэнняў у паўтаральных вымярэннях велічыні X. Гэта з'яўляецца праявай закона вялікіх лікаў. Таму выбарачнае сярэдняе выкарыстоўваецца для ацэнкі невядомага матэматычнага чакання.

У элементарнай алгебры даказана, што сярэдняе n+1 лікаў больш сярэдняга n лікаў тады і толькі тады, калі новы лік больш, чым старое сярэдняе, менш тады і толькі тады, калі новы лік менш за сярэдняе, і не змяняецца тады і толькі тады, калі новы лік роўны сярэдняму. Чым больш n, тым менш адрозненне паміж новым і старым сярэднімі значэннямі.

Заўважым, што маецца некалькі іншых «сярэдніх» значэнняў, у тым ліку сярэдняй ступені, сярэдняе Калмагорава, гарманічнае сярэдняе, арыфметыка-геаметрычнае сярэдняе і розныя сярэдне-ўзважаныя велічыні.

Прыклады[правіць | правіць зыходнік]

  • Для трох лікаў складзём іх і падзелім на 3 :
\frac{x_1 + x_2 + x_3}{3}.
  • Для чатырох лікаў складзём іх і падзелім на 4 :
\frac{x_1 + x_2 + x_3 + x_4}{4}.

Бесперапынная выпадковая велічыня[правіць | правіць зыходнік]

Для непарыўна размеркаванай велічыні f(x) сярэдняе арыфметычнае на адрэзку [a;b] вызначаецца праз вызначаны інтэграл:

\overline{f(x)}_{[a;b]} = \frac1{b-a} \int_{a}^b f(x) dx

Гл. таксама[правіць | правіць зыходнік]

Зноскі

  1. Cantrell, David W., "Pythagorean Means" from MathWorld

Спасылкі[правіць | правіць зыходнік]