З Вікіпедыі, свабоднай энцыклапедыі
Сіметры́чны мнагачле́н — мнагачлен ад n зменных
F
(
x
1
,
x
2
,
.
.
.
,
x
n
)
{\displaystyle F(x_{1},x_{2},...,x_{n})}
, які не мяняе выгляду пры любых перастаноўках сваіх зменных. Інакш кажучы, калі адвольным чынам перанумараваць зменныя, сіметрычны мнагачлен застанецца тым жа.
Элементарныя сіметрычныя мнагачлены — мнагачлены віду
σ
k
(
x
1
,
x
2
,
…
,
x
n
)
=
∑
1
≤
j
1
<
j
2
<
…
<
j
k
≤
n
x
j
1
…
x
j
k
,
{\displaystyle \sigma _{k}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=\sum _{1\leq j_{1}<j_{2}<\ldots <j_{k}\leq n}x_{j_{1}}\dots x_{j_{k}},}
вызначаныя для
k
=
1
,
2
…
n
{\displaystyle k=1,2\ldots n}
, г.зн. такія:
σ
1
(
x
1
,
x
2
,
…
,
x
n
)
=
x
1
+
x
2
+
⋯
+
x
n
σ
2
(
x
1
,
x
2
,
…
,
x
n
)
=
x
1
x
2
+
x
1
x
3
+
⋯
+
x
n
−
1
x
n
⋯
σ
n
−
1
(
x
1
,
x
2
,
…
,
x
n
)
=
x
1
x
2
…
x
n
−
1
+
x
1
x
2
…
x
n
−
2
x
n
+
⋯
+
x
2
x
3
…
x
n
σ
n
(
x
1
,
x
2
,
…
,
x
n
)
=
x
1
x
2
…
x
n
{\displaystyle {\begin{array}{lcr}\sigma _{1}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})&=&x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}\\\sigma _{2}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})&=&{x_{1}}{x_{2}}+{x_{1}}{x_{3}}+\cdots +{x_{n-1}}{x_{n}}\\&\cdots &\\\sigma _{n-1}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})&=&{x_{1}}{x_{2}}\ldots {x_{n-1}}+{x_{1}}{x_{2}}\ldots {x_{n-2}}{x_{n}}+\cdots +{x_{2}}{x_{3}}\ldots {x_{n}}\\\sigma _{n}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})&=&{x_{1}}{x_{2}}\ldots {x_{n}}\\\end{array}}}
Дыскрымінант — мнагачлен віду
D
(
p
)
=
a
n
2
n
−
2
∏
i
<
j
(
α
i
−
α
j
)
2
,
{\displaystyle D(p)=a_{n}^{2n-2}\prod _{i<j}(\alpha _{i}-\alpha _{j})^{2},}
дзе
α
1
,
α
2
,
…
,
α
n
{\displaystyle \alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{n}}
— карані нейкага мнагачлена ад аднае зменнай:
p
(
x
)
=
a
0
+
a
1
x
+
.
.
.
+
a
n
x
n
.
{\displaystyle p(x)=a_{0}+a_{1}x+...+a_{n}x^{n}.}
Ступенныя сумы — сумы аднолькавых ступеней зменных, г.зн.
F
(
x
1
,
x
2
,
…
,
x
n
)
=
∑
i
=
1
n
x
i
α
{\displaystyle F(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{\alpha }}
Асноўная тэарэма тэорыі сіметрычных мнагачленаў [ правіць | правіць зыходнік ]
Асноўная тэарэма тэорыі сіметрычных мнагачленаў сцвярджае:
Любы сіметрычны мнагачлен можна прадставіць адназначным чынам у выглядзе мнагачлена ад элементарных сіметрычных мнагачленаў.
Ураўненні па ступенях Іншае Асноўныя паняцці Тэарэмы