Табліца вытворных

Раздзелы ў матэматычным аналізе

Фундаментальная тэарэма Граніца функцыі Непарыўнасць Тэарэма Лагранжа Дыферэнцыяльнае злічэнне Дыферэнцыял Вытворная Тэарэма Тэйлара Табліца вытворных Дыферэнцыяванне складанай функцыі Інтэгральнае злічэнне  Інтэграл Табліца інтэгралаў Неўласцівы інтэграл Метады інтэгравання Вектарны аналіз  Градыент Дывергенцыя Віхор Аператар Лапласа Тэарэма Грына Тэарэма Стокса Формула Астраградскага Функцыі некалькіх зменных  Частковая вытворная Кратны інтэграл Крывалінейныя інтэгралы Паверхневыя інтэгралы Матрыца Якобі

Знайсці вытворную функцыі можна некалькімі шляхамі: па азначэнні, па табліцы (папярэдне вылічаных вытворных) і з дапамогай правіл дыферэнцавання. Звычайна гэтыя спосабы ўжываюцца ў спалучэнні.

Гэты артыкул змяшчае спіс вытворных найпрасцейшых элементарных функцый, а таксама спіс правіл дыферэнцавання функцый.

Вытворныя найпрасцейшых функцый

Вытворныя ступенных функцый і мнагачленаў

• Ступеневае правіла: няхай $f(x) = x^n$, тады для любога рэчаіснага паказніка n праўдзіцца роўнасць

  $f'(x) = nx^{n-1}.$

• Адмысловым выпадкам ступеневага правіла ёсць так званае правіла сталай:

  калі функцыя f ёсць ста́лаю функцыяй (г. зн. для любых x значэнне функцыі аднолькавае і роўнае f(x) = c, дзе c некаторы нязменны лік), то яе вытворная f′ ёсць тоесным нулём:

  $(c)' = 0.$

• Дзякуючы лінейнасці дыферэнцавання, карыстаючыся ступеневым правілам і правілам сталай можна знайсці вытворную любога мнагасклада:

  $(a_n x^n + \dots + a_2 x^2 + a_1 x + a_0)' = n a_n x^{n-1} + \dots + 2 a_2 x + a_1 .$

• Вытворная модуля

  $(|x|)' = \frac{x}{|x|} = \sgn x, \qquad x \ne 0.$

Вытворныя паказнікавых і лагарыфмічных функцый

• Вытворная паказнікавай функцыі:

  $(e^x)' = e^x.$

• Вытворная паказнікавай функцыі з асновай b:

  $(b^x)' = {b^x \ln b}, \qquad b > 0.$

• Вытворная натуральнага лагарыфма:

  $(\ln x)' = \frac{1}{x}.$

• Вытворная лагарыфма з асноваю b:

  $(\log_b x)' = \frac{1}{x \ln b},\qquad b > 0, \quad b \ne 1.$

Табліца вытворных

Вытворныя трыганаметрычных функцый

$(\sin x)' = \cos x$	$(\arcsin x)' = { 1 \over \sqrt{1 - x^2}}, \qquad |x| < 1$
$(\cos x)' = -\sin x$	$(\arccos x)' = -{1 \over \sqrt{1 - x^2}}, \qquad |x| < 1$
$(\operatorname{tg} x)' = \frac{1}{\cos^2 x} = \sec^2 x = 1 + \operatorname{tg}^2 x$	$(\operatorname{arctg} x)' = \frac{1}{1 + x^2} \,$
$(\operatorname{ctg} x)' = -\frac{1}{\sin^2 x} = -\csc^2 x = -(1 + \operatorname{ctg}^2 x)$	$(\operatorname{arcctg} x)' = -\frac{1}{1 + x^2}$
$(\sec x)' = \sec x \cdot\operatorname{tg} x$	$(\operatorname{arcsec} x)' = { 1 \over |x|\sqrt{x^2 - 1}}, \qquad |x| > 1$
$(\csc x)' = -\csc x \cdot\operatorname{ctg} x \,$	$(\operatorname{arccsc} x)' = -\frac{1}{|x|\sqrt{x^2 - 1}}, \qquad |x| > 1$

Вытворныя гіпербалічных функцый

$( \operatorname{sh} x )'= \operatorname{ch} x = \frac{e^x + e^{-x}}{2}$	$(\operatorname{arsh} x)' = \frac{1}{\sqrt{x^2 + 1}}$
$(\operatorname{ch} x )'= \operatorname{sh} x = \frac{e^x - e^{-x}}{2}$	$(\operatorname{arch} x)' = \frac{1}{\sqrt{x^2-1}}, \qquad x > 1$
$(\operatorname{th} x )'= \frac{1}{\operatorname{ch}^2 x} = \operatorname{sech}^2 x$	$(\operatorname{arth} x)' = \frac{1}{1 - x^2}, \qquad |x| < 1$
$(\operatorname{cth} x )' = -\frac{1}{\operatorname{sh}^2 x} = -\operatorname{csch}^2 x$	$(\operatorname{arcth} x)' = \frac{1}{1 - x^2}, \qquad |x| > 1$
$(\operatorname{sech} x)' = - \operatorname{th} x \cdot\operatorname{sech} x$	$(\operatorname{arsech} x)' = -\frac{1}{x\sqrt{1 - x^2}}, \qquad 0 < x < 1$
$(\operatorname{csch} x)' = - \operatorname{cth} x \cdot\operatorname{csch} x$	$(\operatorname{arcsch} x)' = -\frac{1}{|x|\sqrt{1 + x^2}}$

Правілы дыферэнцавання

Вытворная сумы і рознасці (лінейнасць дыферэнцавання)

Для любых дыферэнцавальных функцый f і g і любых сталых a і b вытворная функцыі h(x) = af(x) + bg(x) па зменнай x раўняецца

$(a f(x) + b g(x))' = a f'(x) + b g'(x).$

У Ляйбніцавых абазначэннях гэта можна запісаць як:

$\frac{d(af+bg)}{dx} = a\frac{df}{dx} +b\frac{dg}{dx}.$

Адмысловыя выпадкі:

• Вытворная здабытку функцыі і сталай велічыні:

$(af)' = af' .$

• Вытворная суммы:

$(f + g)' = f' + g'.$

• Вытворная рознасці:

$(f - g)' = f' - g'.$

Вытворная здабытку (правіла Ляйбніца)

Асноўны артыкул: Правіла Ляйбніца

Вытворную здабытку дыферэнцавальных функцый f і g можна вылічыць па формуле

$(f(x) g(x))' = f'(x) g(x) + f(x) g'(x).$

У Ляйбніцавых абазначэннях гэта правіла выглядае як:

$\frac{d(fg)}{dx} = \frac{df}{dx} g + f \frac{dg}{dx}.$

Вытворная дзелі

• Вытворная функцыі h(x) = 1/f(x) для любой (ненулявой) дыферэнцавальнай функцыі f раўняецца

  $\left(\frac{1}{f(x)}\right)' = -\frac{f'(x)}{[f(x)]^2}.$

  Пры дапамозе Ляйбніцавых абазначэнняў гэта запісваюць у выглядзе:

  $\frac{d(1/f)}{dx} = -\frac{1}{f^2}\frac{df}{dx}.$

• Вытворная дзелі дзвюх функцый. Калі f і g ёсць дыферэнцавальнымі функцыямі, і акрамя таго g ≠ 0, тады:

  $\left(\frac{f}{g}\right)' = \frac{f'g - g'f}{g^2}.$

Вытворная складанай функцыі (ланцуговае правіла)

Асноўны артыкул: Дыферэнцаванне складанай функцыі

Вытворная складанай функцыі h(x) = f(g(x)) па зменнай x раўняецца

$(f(g(x)))' = f'(g(x)) g'(x).$

У Ляйбніцавых абазначэннях ланцуговае правіла запісваюць як:

$\frac{dh}{dx} = \frac{df(g(x))}{dg(x)} \cdot \frac{dg(x)}{dx}.$

Аднак, часта пішуць прасцей, разглядаючы h як функцыю ад фармальнага аргумента g:

$\frac{dh}{dx} = \frac{dh}{dg} \cdot \frac{dg}{dx}.$

Вытворная адваротнай функцыі

Асноўны артыкул: Вытворная адваротнай функцыі

Калі дыферэнцавальная функцыя f ма́е адваротную функцыю g (г.зн. праўдзяцца тоеснасці g(f(x)) = x і f(g(y)) = y), тады

$g'(x) = \frac{1}{f'(g(x))}.$

У Ляйбніцавых абазначэннях гэтае правіла мае выгляд

$\frac{dx}{dy} = \frac{1}{dy/dx}.$

Заўвага: нельга блытаць паняцці функцыйна адваротнай функцыі і лікава адваротнай функцыі. Правіла з гэтага раздзела прыдатнае да функцыйна адваротнай функцыі. Для дыферэнцавання лікава адваротнай функцыі трэба карыстацца першым правілам з раздзела #Вытворная дзелі.

Вытворная складана-ступеневай функцыі

Няхай f і g ёсць дыферэнцавальнымі функцыямі, і акрамя таго f > 0, тады

$(f^g)' = \left(e^{g\ln f}\right)' = f^g\left(g\frac{f'}{f} + g'\ln f\right).$

Адмысловыя выпадкі:

• Калі f(x) = x^a, атрымліваем f′(x) = ax^{a − 1} для любых рэчаісных паказнікаў a і любога дадатнага значэння зменнай x.
• Калі g(x) = −1, формула для вытворнай складана-ступеневай функцыі ператвараецца ў формулу для вытворнай лікава адваротнай функцыі.

Гл. таксама

• Вытворная функцыі

Крыніцы

• Воднев В.Т., Наумович А.Ф., Наумович Н.Ф. Основные математические формулы / Под ред. Богданова Ю.С. — Минск: Вышэйшая школа, 1980.