Табліца вытворных

З пляцоўкі Вікіпедыя
Перайсці да: рух, знайсці
Раздзелы ў матэматычным аналізе
Фундаментальная тэарэма
Граніца функцыі
Непарыўнасць
Тэарэма Лагранжа

Знайсці вытворную функцыі можна некалькімі шляхамі: па азначэнні, па табліцы (папярэдне вылічаных вытворных) і з дапамогай правіл дыферэнцавання. Звычайна гэтыя спосабы ўжываюцца ў спалучэнні.

Гэты артыкул змяшчае спіс вытворных найпрасцейшых элементарных функцый, а таксама спіс правіл дыферэнцавання функцый.

Вытворныя найпрасцейшых функцый[правіць | правіць зыходнік]

Вытворныя ступенных функцый і мнагачленаў[правіць | правіць зыходнік]

  • Ступеневае правіла: няхай f(x) = x^n, тады для любога рэчаіснага паказніка n праўдзіцца роўнасць
    f'(x) = nx^{n-1}.
  • Адмысловым выпадкам ступеневага правіла ёсць так званае правіла сталай:
    калі функцыя f ёсць ста́лаю функцыяй (г. зн. для любых x значэнне функцыі аднолькавае і роўнае f(x) = c, дзе c некаторы нязменны лік), то яе вытворная f ёсць тоесным нулём:
    (c)' = 0.
  • Дзякуючы лінейнасці дыферэнцавання, карыстаючыся ступеневым правілам і правілам сталай можна знайсці вытворную любога мнагасклада:
     (a_n x^n + \dots + a_2 x^2 + a_1 x + a_0)' = n a_n x^{n-1} + \dots + 2 a_2 x + a_1 .
  • Вытворная модуля
     (|x|)' = \frac{x}{|x|} = \sgn x, \qquad x \ne 0.

Вытворныя паказнікавых і лагарыфмічных функцый[правіць | правіць зыходнік]

Табліца вытворных[правіць | правіць зыходнік]

Вытворныя трыганаметрычных функцый[правіць | правіць зыходнік]

 (\sin x)' = \cos x  (\arcsin x)' = { 1 \over \sqrt{1 - x^2}}, \qquad |x| < 1
 (\cos x)' = -\sin x  (\arccos x)' = -{1 \over \sqrt{1 - x^2}}, \qquad |x| < 1
 (\operatorname{tg} x)' = \frac{1}{\cos^2 x} = \sec^2 x = 1 + \operatorname{tg}^2 x  (\operatorname{arctg} x)' = \frac{1}{1 + x^2} \,
 (\operatorname{ctg} x)' = -\frac{1}{\sin^2 x} = -\csc^2 x = -(1 + \operatorname{ctg}^2 x)  (\operatorname{arcctg} x)' = -\frac{1}{1 + x^2}
 (\sec x)' = \sec x \cdot\operatorname{tg} x  (\operatorname{arcsec} x)' = { 1 \over |x|\sqrt{x^2 - 1}}, \qquad |x| > 1
 (\csc x)' = -\csc x \cdot\operatorname{ctg} x \,  (\operatorname{arccsc} x)' = -\frac{1}{|x|\sqrt{x^2 - 1}}, \qquad |x| > 1

Вытворныя гіпербалічных функцый[правіць | правіць зыходнік]

( \operatorname{sh} x )'= \operatorname{ch} x = \frac{e^x +
 e^{-x}}{2} (\operatorname{arsh} x)' = \frac{1}{\sqrt{x^2 + 1}}
(\operatorname{ch} x )'= \operatorname{sh} x = \frac{e^x - e^{-x}}{2} (\operatorname{arch} x)' = \frac{1}{\sqrt{x^2-1}}, \qquad x > 1
(\operatorname{th} x )'= \frac{1}{\operatorname{ch}^2 x} = \operatorname{sech}^2 x (\operatorname{arth} x)' = \frac{1}{1 - x^2}, \qquad |x| < 1
(\operatorname{cth} x )' = -\frac{1}{\operatorname{sh}^2 x} = -\operatorname{csch}^2 x (\operatorname{arcth} x)' = \frac{1}{1 - x^2}, \qquad |x| > 1
(\operatorname{sech} x)' = - \operatorname{th} x \cdot\operatorname{sech} x (\operatorname{arsech} x)' = -\frac{1}{x\sqrt{1 - x^2}}, \qquad 0 < x < 1
(\operatorname{csch} x)' = - \operatorname{cth} x \cdot\operatorname{csch} x (\operatorname{arcsch} x)' = -\frac{1}{|x|\sqrt{1 + x^2}}

Правілы дыферэнцавання[правіць | правіць зыходнік]

Вытворная сумы і рознасці (лінейнасць дыферэнцавання)[правіць | правіць зыходнік]

Для любых дыферэнцавальных функцый f і g і любых сталых a і b вытворная функцыі h(x) = af(x) + bg(x) па зменнай x раўняецца

 (a f(x) + b g(x))' = a f'(x) + b g'(x).

У Ляйбніцавых абазначэннях гэта можна запісаць як:

 \frac{d(af+bg)}{dx}  = a\frac{df}{dx} +b\frac{dg}{dx}.

Адмысловыя выпадкі:

(af)' = af' .
  • Вытворная суммы:
(f + g)' = f' + g'.
  • Вытворная рознасці:
(f - g)' = f' - g'.

Вытворная здабытку (правіла Ляйбніца)[правіць | правіць зыходнік]

Vista-xmag.png Асноўны артыкул: Правіла Ляйбніца

Вытворную здабытку дыферэнцавальных функцый f і g можна вылічыць па формуле

 (f(x) g(x))' = f'(x) g(x) + f(x) g'(x).

У Ляйбніцавых абазначэннях гэта правіла выглядае як:

\frac{d(fg)}{dx} = \frac{df}{dx} g + f \frac{dg}{dx}.

Вытворная дзелі[правіць | правіць зыходнік]

  • Вытворная функцыі h(x) = 1/f(x) для любой (ненулявой) дыферэнцавальнай функцыі f раўняецца
     \left(\frac{1}{f(x)}\right)' = -\frac{f'(x)}{[f(x)]^2}.
    Пры дапамозе Ляйбніцавых абазначэнняў гэта запісваюць у выглядзе:
     \frac{d(1/f)}{dx} = -\frac{1}{f^2}\frac{df}{dx}.
  • Вытворная дзелі дзвюх функцый. Калі f і g ёсць дыферэнцавальнымі функцыямі, і акрамя таго g ≠ 0, тады:
    \left(\frac{f}{g}\right)' = \frac{f'g - g'f}{g^2}.

Вытворная складанай функцыі (ланцуговае правіла)[правіць | правіць зыходнік]

Vista-xmag.png Асноўны артыкул: Дыферэнцаванне складанай функцыі

Вытворная складанай функцыі h(x) = f(g(x)) па зменнай x раўняецца

 (f(g(x)))' = f'(g(x)) g'(x).

У Ляйбніцавых абазначэннях ланцуговае правіла запісваюць як:

\frac{dh}{dx} = \frac{df(g(x))}{dg(x)} \cdot \frac{dg(x)}{dx}.

Аднак, часта пішуць прасцей, разглядаючы h як функцыю ад фармальнага аргумента g:

\frac{dh}{dx} = \frac{dh}{dg} \cdot \frac{dg}{dx}.

Вытворная адваротнай функцыі[правіць | правіць зыходнік]

Vista-xmag.png Асноўны артыкул: Вытворная адваротнай функцыі

Калі дыферэнцавальная функцыя f ма́е адваротную функцыю g (г.зн. праўдзяцца тоеснасці g(f(x)) = x і f(g(y)) = y), тады

g'(x) = \frac{1}{f'(g(x))}.

У Ляйбніцавых абазначэннях гэтае правіла мае выгляд

 \frac{dx}{dy} = \frac{1}{dy/dx}.

Заўвага: нельга блытаць паняцці функцыйна адваротнай функцыі і лікава адваротнай функцыі. Правіла з гэтага раздзела прыдатнае да функцыйна адваротнай функцыі. Для дыферэнцавання лікава адваротнай функцыі трэба карыстацца першым правілам з раздзела #Вытворная дзелі.

Вытворная складана-ступеневай функцыі[правіць | правіць зыходнік]

Няхай f і g ёсць дыферэнцавальнымі функцыямі, і акрамя таго f > 0, тады

(f^g)' = \left(e^{g\ln f}\right)' = f^g\left(g\frac{f'}{f} + g'\ln f\right).

Адмысловыя выпадкі:

  • Калі f(x) = xa, атрымліваем f′(x) = axa − 1 для любых рэчаісных паказнікаў a і любога дадатнага значэння зменнай x.
  • Калі g(x) = −1, формула для вытворнай складана-ступеневай функцыі ператвараецца ў формулу для вытворнай лікава адваротнай функцыі.

Гл. таксама[правіць | правіць зыходнік]

Крыніцы[правіць | правіць зыходнік]

  • Воднев В.Т., Наумович А.Ф., Наумович Н.Ф. Основные математические формулы / Под ред. Богданова Ю.С. — Минск: Вышэйшая школа, 1980.