Тапалагічная прастора

З пляцоўкі Вікіпедыя
Перайсці да: рух, знайсці

Тапалагічная прастора — мноства з дадатковай структурай пэўнага тыпу (так званай тапалогіяй); з'яўляецца адным з асноўных аб'ектаў (разам с непрарыўнымі адлюстраваннямі) вывучэння раздзела матэматыкі пад назвай тапалогія.

Гістарычна, паняцце тапалагічнага прасторы з'явілася як абагульненне метрычнай прасторы, якая у сваю чаргу абагульняе паняцці геаметрычнай прасторы і фігур.

Заданне тапалагічнай структуры, або тапалогіі, на мностве дае выразны матэматычны сэнс блізкасці, аддаленасці, аддзялення яго элементаў без выкарыстання лікавай велічыні адлегласці паміж імі.

У сучаснае вызначэнне структуры тапалагічнай прасторы увайшоў мінімальны набор уласцівасцяў сістэмы метрычных наваколляў, дастатковы для вызначэння такіх паняццяў, як непрарыўнасць, звязнасць і, ў большасці выпадкаў, сыходнасць ў самых агульных сітуацыях, калі метрычныя паняцці могуць быць ўжо непрыдатнымі.

Акрамя агульных выпадкаў, калі задаць адлегласць паміж пунктамі немагчыма, выкарыстанне тапалагічнай мовы часта спрашчае разважанні і аб метрычных прасторах, у тых выпадках, калі яны не залежаць ад канкрэтных лікавых значэнняў адлегласці.

Уласцівасці, якія залежаць толькі ад тапалагічнай структуры на мностве, называюцца тапалагічнымі уласцівасцямі і вывучаюцца ў раздзеле агульная тапалогія. Спалучэнне тапалагічнай структуры з іншымі структурамі, ці спецыфікацыя яе дадатковымі абмежаваннямі, прыводзіць да вылучэння розных другіх відаў уласцівасцяў, якія вывучаюцца ў іншых раздзелах тапалогіі ці сумежных дысцыплін.

Вызначэнне[правіць | правіць зыходнік]

Няхай дадзена мноства  X . Сістэма  \mathcal{T} яго падмноств называецца тапалогіяй на  X , калі выкананы наступныя ўмовы:

  1. Аб'яднанне адвольнага сямейства мностваў, якія належаць  \mathcal{T}, належыць  \mathcal{T}. Гэта значыць, што калі U_ {\alpha} \in \mathcal{T} \quad \forall \alpha \in A , то  \bigcup \limits_ {\alpha \in A} U_ {\alpha} \in \mathcal{T}.
  2. Перасячэнне канечнага сямейства мностваў, якія належаць  \mathcal { T } , належыць  \mathcal { T } . Гэта значыць, што калі  U_ {i} \in \mathcal { T } \quad i = 1, \; \ldots , \; n , то  \bigcap \limits_{i = 1}^n U_i \in \mathcal { T } .
  3.  X, \; \varnothing \in \mathcal { T } .

Пара  ( X, \; \mathcal { T } ) называецца тапалагічнай прасторай. Мноства, якія належаць  \mathcal { T } , называюцца адкрытымі мноствамі. Элементы мноства  X , на якім дана тапалогія, называюцца, як ў геаметрыі, пунктамі.