Транспанаваная матрыца

З пляцоўкі Вікіпедыя
Перайсці да: рух, знайсці

Транспанаваная матрыца — матрыца A^T, атрыманая з зыходнай матрыцы A заменай радкоў на слупкі.

Фармальна, транспанаваны матрыца для матрыцы A памераў m \times n — матрыца A^T памераў n \times m, вызначаная як AAT[ij] = A[ji].

Напрыклад,

\begin{bmatrix}
1 & 2  \\
3 & 4 \end{bmatrix}^{\mathrm{T}} \!\! \;\!
= \,
\begin{bmatrix}
1 & 3  \\
2 & 4 \end{bmatrix}
     таксама      
\begin{bmatrix}
1 & 2 \\
3 & 4 \\
5 & 6 \end{bmatrix}^{\mathrm{T}}  \!\! \;\!
= \,
\begin{bmatrix}
1 & 3 & 5\\
2 & 4 & 6 \end{bmatrix} \;

Уласцівасці транспанаванай матрыцы[правіць | правіць зыходнік]

  • ~(A^T)^T= A
Двойчы транспанаваная матрыца А роўная зыходнай матрыцы А.
  • ~(A + B)^T = A^T + B^T
Транспанаваная сума матрыц роўная суме транспанаваны матрыц.
  • ~(AB)^T = B^TA^T
Транспанаваны здабытак матрыц роўны здабытку транспанаваных матрыц, узятых у зваротным парадку.
  • ~(\lambda A)^T=\lambda A^T
Пры транспанаванні можна выносіць скаляр.
  • ~\det A = \det A^T
Вызначнік транспанаванай матрыцы роўны вызначніку зыходнай матрыцы.

Звязаныя вызначэнні[правіць | правіць зыходнік]

Сіметрычная матрыца — матрыца , якая задавальняе суадносінам A^T=A. Для таго, каб матрыца А была сіметрычнай, неабходна і дастаткова, каб:

  • матрыца А была квадратнай,
  • элементы, сіметрычныя адносна галоўнай дыяганалі, былі роўныя.

Антысіметрычная (косасіметрычная) матрыца — матрыца, якая задавальняе суадносінам A^T=-A. Для таго, каб матрыца А была антысіметрычнай, неабходна і дастаткова, каб:

  • матрыца А была квадратнай,
  • элементы, сіметрычныя адносна галоўнай дыяганалі, былі роўныя па модулі і розныя па знаку,

Адсюль вынікае, што элементы галоўнай дыяганалі такой матрыцы (могуць) раўняюцца нулю.